第二十三讲 数学归纳法的基本形式讲义-2026年高中数学竞赛

第二十三讲 数学归纳法的基本形式 与正整数 有关的命题常常用到数学归纳法。 用记号 表示一个含正整数 的命题,有 数学归纳法的基本形式 (第一数学归纳法): 设 是一个含正整数 的命题, 如果: (I) 成立; (II) 在 成立的假设下,可证明 成立。 那么 对任意正整数 成立。 通常将步骤( I )称为归纳奠基，将步骤( II )称为归纳过渡。两者不可缺其一。 第二数学归纳法: 设 是一个含正整数 的命题,如果: (I) 成立; (II) 在 对于所有适合 的正整数 成立的假定下,可以证明 成立。 那么 对任意正整数 都成立。 利用上面数学归纳法的基本形式及其变形, 下面介绍一些数学归纳法的证题技巧。 1. 从 到 运用数学归纳法时，证明的核心与难点多数情况下在于如何实现归纳过渡。根据题目特点,常常有两种途径,一种是从 出发,然后再利用归纳假设,它适用于从 中能分离出 形式的情形。另一种途径是直接由 出发，过渡到 ,某些命题用这种方法更简便。 例 1 实数列 满足: 。 证明: 。 证明 用数学归纳法证明。 当 时,命题显然成立。 假设命题对 成立,即有 。 设 ,则 是减函数, 于是 ,即命题对 也成立。 因此由数学归纳法原理知,对一切正整数 ,都有 。 例 2 对于正整数 ,试比较 与 的大小。 解 因为 ,所以,当 时, 。 下面证明: 。 因为 ,所以, 时命题成立。 假设 时命题成立,即 ,则当 时,欲证 , 由归纳假设知, 只需证 从而命题在 时也成立。 综上所述,当 时, ,当 时, 。 例 3 设 是正整数,满足 。证明: 对任意整数 ,存在指标集 ,满足 (对空指标集求和认为是零)。 证明 对 用数学归纳法。 当 时,只能 ,结论显然成立。 假设结论在 时成立,不妨设 ,则 所以 ① 由于 ,因此 ② 对任意整数 ,若 ,由①及归纳假设知存在指标集 ,使得 。 若 ,则由②知 对 用归纳假设知,存在指标集 ,使得 。 此时指标集 满足 。 所以，命题对 也成立。 例 4 设 是一实数列，且对任一非负整数 ，满足 证明: 对所有非负整数 ,存在整数 ,使得 。 证明 当 时,由题设, ,得 或 1 。这时可取 或 1,从而当 时结论成立。 设 时结论成立,即当 时,存在整数 ,使得 。 为方便书写,记 ,则 。 对于 ,如果 ,那么 ,所以 ,解得 当 时, ; 当 时, ; 当 时, 即结论在 时也成立,从而对一切非负整数 ,结论成立。 2. 从 入手 有时从 直接导出 并不容易,我们可设法从 入手,从中分离出 的形式或转化为一些简单命题的组合。 例 5 已知 、 是正实数，满足 ，求证:对一切正整数 ，都有 证明 由 及 ,得 ,所以 。 当 时,结论显然成立。 假设当 ( 为某个正整数)时结论成立,即 则当 时,有 从而当 时,结论也成立。 所以由数学归纳法知命题得证。 注 记 。本题中,从 前进到 的路径较为隐蔽，因此我们改从 退回到 ，即先从 的形式中分离出 的形式，然后援引归纳假设。 例 6 设 是整数,满足 ,以及对所有的下标 ,有 与 的最小公倍数不超过 。证明: 对 ,均有 。 证明 当 时, ,即命题在 时成立。 假设 ,下证 。 若 ,则 。 若 ,即 ,则 。 因为 ,及 而 ,所以 是整数,从而 。于是 ,即当 时命题也成立。 故由数学归纳法知,对一切 ,都有 。 注 这里是对 进行归纳,而不是对 (已给的常数)进行归纳,请注意。 3. 灵活运用起点 第一数学归纳法可以推广为: 设 是一个含有正整数 的命题,如果 (I) ,当 时成立; (II) 在 成立的假定下,可以证明 成立, 那么 对一切大于或等于 的正整数 都成立。 非负整数 称为起点。合理运用起点主要有如下三种:一是前移起点，二是后移起点,三是由 向 中寻找 向 过渡的方法。 例 7 证明: 可将任意一个正三角形分割成 个等腰三角形。其中 是大于 2 的整数。 证明 时,分割是容易的,如图所示。 例 7 图 对于 ,有两种分割方法,如图所示。而其中的每一种分割方法都含有一个等腰直角三角形，于是作此等直角三角形的高便把原三角形分割成 6 个等腰三角形，进而可得 7 个, 8 个, …… 假设 时结论成立,即已将正三角形分割成 个等腰三角形,一个等腰直角三角形,那么这个正三角形能分成 个等腰三角形,其中也有等腰直角三角形。从而对一切正整数 ，命题成立。 注 在本题中,当 时,情况发生了质的变化,出现了等腰直角三角形。因此, 才是真正有用的起点。 例 8 证明: 在 中可以取出 个整数,使得其中无三项成等差数列。 分析 当 时,只有数 1、2,取出来即 个数。 当 时,在1,2,3,4,5中取 个数 ,则其中无三数成等差数列。 当 时,在 中取 个数 ,则其中无三数成等差数列。其实它们可以是这样得到的: 取 时的 4 个数 ,以及它们分别加上 后得到的 4 个数10,11,13,14。 由于对任意数 ,使得 不成等差数列的充分必要条件是 不成等差数列。从而当 时,在 中,可取 时的 8 个数,以及它们分别加上 后所得的 8 个数,即 1, 从上面的分析,我们寻找到了从 向 过渡的途径。 证明 当 时,取 即可。 假设 时,取出的 个满足题意的整数集合为 。对于 ,令集合 则 ,且 中的最大元素不超过 。 现在证明 中的任意三个数都不成等差数列。 用反证法。若不然, 中的某三个数 成等差数列,由归纳假设, 不能都在 中,也不能都在 中,故必有 ,即 1 所以 故 。另一方面, 即 ,矛盾。 所以, 中无三个数成等差数列。于是证明了命题。 2 加大步长 通常,我们是用由 成立 (或由 成立) 去推出 成立。即每次以“步长”为 1 由 向 过渡。但有些命题,在 成立的前提下,只能推出 成立。这时，只需在奠基时验证 个起点即可，然后按步长 前进。 例 9 证明: 对一切正整数 ,不定方程 都有正整数解。 证明 当 时,取 ; 当 时,取 ,即可使它们满足方程，故知命题在 和 2 时成立。 假定当 时， ， ， 是一组正整数解；那么当 时，只要取 ,就有 ,知它们恰为方程的一组正整数解。 所以当 时,命题也成立。 由于我们采用了两个起点，所以可以用跨度 2 跳跃。这表明对一切正整数 ，不定方程都有正整数解。 例 10 设 为不小于 6 的整数,证明可将一个正方形分成 个较小的正方形。 证明 因为一个正方形可以等分为 4 个小正方形, 因此要将小正方形的数目增加 3 个是容易做到的, 所以我们采用步长为 3 。 当 时,可按图所示方式进行分割,所以知命题成立。假设对某个 ,已将正方形分为 个小正方形,那么只要在将其中一个小正方形等分为 4 个更小的正方形,即可得到 个小正方形。 例 10 图 所以知命题对一切整数 都成立。 例 11 对怎样的正整数 ,集合 可以分成 5 个互不相交的子集,每个子集的元素和相等? 解 先找一个必要条件: 如果 能分成 5 个互不相交的子集,各个子集的元素和相等, 那么 能被 5 整除。所以 或 。 显然, 时,上述条件不是充分的。下用数学归纳法证明 时,条件是充分的。 当 ,即 时,我们把集合 和 作如下分拆: 当 时,即 时,有 因为若集合 能分成 5 个互不相交的子集，并且它们的元素和相等， 那么 也能分成 5 个元素和相等但互不相交的子集。 事实上,如果 ,那么令 , , ,则 并且 。 。 假设命题对于 成立。由上面讨论知,命题对于 也成立。 从而证明了对于 ,当 时,集合 可以分成 5 个元素和相等的互不相交的子集。 上面的例子,是由 进到 ,即以步长为 2 前进,有时候,步子可能更大，视具体情况而定。 3 加强命题 有些时候,要直接证明所给的命题不太容易,我们可采取证明比原命题更强的命题, 通常有两种情形:一是将原命题一般化, 二是把原命题的结论加强, 从而使得有利于应用数学归纳法。 苏联数学家辛钦曾说过:“在数学归纳法的证明中，假设命题当 时成立，再来证明它当 时也成立，因此，命题越强，在 的情况下所给的条件也越多，而对数 ， 要证明的东西也越多，但是在许多问题中，条件较多显得更为重要。” 例 12 设 ,求证: 当 时,有 证明 把命题加强为当 时,有 。 当 时，左边 ，右边 ，命题成立。 假设命题在 时成立，即 。 当 时,有 即 时命题也成立。 所以，由数学归纳法知，加强的命题成立，从而原命题成立。 例 13 若 ，求证: 证明 加强命题,将命题一般化: 求证: 对于 ,有 当 时,因为 ,从而 时命题成立。 假设命题在 时成立,当 时,利用归纳假设及 时的结论,有 即 时命题也成立。 所以，由数学归纳法知，加强的命题成立，从而原命题成立。 例 14 证明: 存在正整数的无穷严格递增数列 ,使得对所有正整数 ,都有 是完全平方数。 证明 我们加强命题,证明存在正整数的无穷严格递增数列 ,使得对所有正整数 ,都有 是奇数的平方。 当 ,取 ,则 是奇数的平方。 假设 时命题成立,即有 个严格递增的正整数 ,使得 是一个奇数的平方,记为 ,令 ,则 所以 。且 也是奇数的平方。 于是, 时命题也成立。从而对一切正整数 ,加强的命题成立,故原命题成立。 注 加强命题,能得到一个较强的归纳假设,有时候便于从 过渡到 。 学科网（北京）股份有限公司 $