第二十三讲 数学归纳法的基本形式讲义-2026年高中数学竞赛

第二十三讲 数学归纳法的基本形式

与正整数 有关的命题常常用到数学归纳法。

用记号 表示一个含正整数 的命题,有

数学归纳法的基本形式 (第一数学归纳法): 设 是一个含正整数 的命题, 如果:

(I) 成立;

(II) 在 成立的假设下,可证明 成立。

那么 对任意正整数 成立。

通常将步骤( I )称为归纳奠基，将步骤( II )称为归纳过渡。两者不可缺其一。

第二数学归纳法: 设 是一个含正整数 的命题,如果:

(I) 成立;

(II) 在 对于所有适合 的正整数 成立的假定下,可以证明 成立。

那么 对任意正整数 都成立。

利用上面数学归纳法的基本形式及其变形, 下面介绍一些数学归纳法的证题技巧。

1. 从 到

运用数学归纳法时，证明的核心与难点多数情况下在于如何实现归纳过渡。根据题目特点,常常有两种途径,一种是从 出发,然后再利用归纳假设,它适用于从 中能分离出 形式的情形。另一种途径是直接由 出发，过渡到 ,某些命题用这种方法更简便。

例 1 实数列 满足: 。

证明: 。

证明 用数学归纳法证明。

当 时,命题显然成立。

假设命题对 成立,即有 。

设 ,则 是减函数, 于是 ,即命题对 也成立。

因此由数学归纳法原理知,对一切正整数 ,都有 。

例 2 对于正整数 ,试比较 与 的大小。

解 因为 ,所以,当 时, 。

下面证明: 。

因为 ,所以, 时命题成立。

假设 时命题成立,即 ,则当 时,欲证 ,

由归纳假设知, 只需证

从而命题在 时也成立。

综上所述,当 时, ,当 时, 。

例 3 设 是正整数,满足 。证明: 对

任意整数 ,存在指标集 ,满足 (对空指标集求和认为是零)。

证明 对 用数学归纳法。

当 时,只能 ,结论显然成立。

假设结论在 时成立,不妨设 ,则

所以

①

由于 ,因此

②

对任意整数 ,若 ,由①及归纳假设知存在指标集 ,使得 。

若 ,则由②知

对 用归纳假设知,存在指标集 ,使得 。 此时指标集 满足 。

所以，命题对 也成立。

例 4 设 是一实数列，且对任一非负整数 ，满足