第二十五讲 简单递归数列讲义-2026年高中数学竞赛

  第二十五讲  简单递归数列

1. 递归数列的通项的求法

求递归数列的通项的常用方法有:迭代法、特征根法、待定系数法、数学归纳法等， 下面通过例题来介绍这些方法。

例 1 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。

解 由

①

可得

②

①、②两式相减得 ，所以

由 得 ,所以 ,结合①式便得

注 本题所采用的解法是“迭代法”，其基本思想是对所给的递推式进行适当的变形, 以便能连续使用下标较小的项代替某些下标较大的项, 最后在一般项与初始项之间建立起某种联系，从而求得通项。

下面我们给出例 1 的另一种解法。

由 可得 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,故

即

上述解法称为特征根法。对于递推式 ,其中 为常数, , 且 。它的特征方程为 ,它的根 (特征根) 为 ,则递推式可以写成 ,故 。

例 2 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。

解 由题设可得 ,

所以

......................................

把上面这些等式相加 (除去 ),得

所以

例 3 设数列 满足: ,且对任意正整数 ,均有

求 的值。

解 由题设 ,

两式相减得 ,

故 ,所以

注 本题将迭代与累乘相结合,这是一种有用的技巧。

例 4 在数列 中, 。

求数列 的通项。

解 本题的难点在于递推关系随着 的变化而变化,受例 1 的启发,我们构造一个与 有关的,并且可求通项的数列。为此引进待定系数,设

将它与所给的递推关系比较得

解方程组得, 。所以原递推关系可以写成

于是,数列 是一个首项为 ,公比为 3 的等比数列,故 ,所以 。

注 本题直接应用迭代法较为困难, 利用待定系数法帮助了我们找出适当的关系，从而一举解决问题。

例 5 数列 定义如下: ,求数列 的通项公式。

解 先求出特征根。令 ,得特征根 。于是

①