第二十五讲 简单递归数列讲义-2026年高中数学竞赛

第二十五讲简单递归数列 1.递归数列的通项的求法 求递归数列的通项的常用方法有：迭代法、特征根法、待定系数法、数学归 纳法等，下面通过例题来介绍这些方法。 例1已知数列o满是a=1,a40,+1,n=1,2求数列a的通 项公式。 解由 n1三3a2+1, ① 可得 30n-1+1, ② ①、②两式相减得a1-a,号a,-an=2,3-,所以 010专a,a,-1a1-a-5=3 1 "3n-Taz-a. 由a=1得a:号所以a40,} ,结合①式便得 注本题所采用的解法是“迭代法”，其基本思想是对所给的递推式进行适 当的变形，以便能连续使用下标较小的项代替某些下标较大的项，最后在一般项 与初始项之间建立起某种联系，从而求得通项。 下面我们给出例1的另一种解法。 由 a写+1可得a0，引 ,所以数列 是以 口是分为首项言为公比的等比数列故 即 上述解法称为特征根法。对于递推式an+1=pan+q,其中p、q为常数， 网20，且p21。它的特征方程为2x+q=x,它的根（特征根）为入品。 则递推式可以写成a,1-A=pa,-A剂故a,=入+p-1{a-。 例2已知数列{a,满足a1=C,an+1=pan+qm,n=1,2,…,求数列{an的通 项公式。 解由题设可得an=pan-1+qn-1,an-1=pan-2+qn-2, 所以 pan-1=p an-2+pqn-2, p'an-2=p'an-3+p'q(n-3], …… p"-2a2=p-1a1+p-2q1。 把上面这些等式相加（除去an-1=pan-2+qn-2),得 a=p"-1a1+qn-1+pqn-2+…+p"-2q。 所以 C, n=1,} an= p"-1a1+qn-1+pqn-2+…+p”-2q,n≥2。 例3设数列{an满足：a1=1011,且对任意正整数n,均有 a+a++an=n an, 求a2021的值。 解由题设a1+a2++an=nan, a1ta2+…+an+1=n+1an+1, 两式相减得a1=n+1a1nan 故an+1三n,所以 an n+2 Q2021 dd2o2.d Q2020Q2019Q1 2020.2019..1.1011= 1 202220213 021 注本题将迭代与累乘相结合，这是一种有用的技巧。 例4在数列{an中，a1=1,an*1=3an-2n2+4n+4,n=1,2,…。 求数列{an的通项。 解本题的难点在于递推关系随着的变化而变化，受例1的启发，我们构 造一个与{a有关的，并且可求通项的数列。为此引进待定系数，设 an=1-x(n+1P+x2(n+1)+x3)=3 an-(xn2+xn+x3o 将它与所给的递推关系比较得 X1-3X1=-2, 2X1+X2-3X2=4, X1+X2+X3-3X3=4, 解方程组得，x1=1,x2=-1,x3=-2。所以原递推关系可以写成 a1-n+12-n+1-2=3a,-n2-n-2l, 于是，数列{0，-n2-n-2是一个首项为a,-12-1-2=3,公比为3的等 比数列，故a,-n2-n-2=3-3-=3所以a,=3”+n-n-2· 注本题直接应用迭代法较为困难，利用待定系数法帮助了我们找出适当的 关系，从而一举解决问题。 2an+6 数列{。1定义如下：a1=2,a+1=。1,n=1,2,…求数列 项公式。 解先求出特征根。令X=2x+6,得特征根X=3,X=-2。于是 x+1 013=20+6 -an+3 -3= a,+1 a+1' ① 01+2=20,+6 +2=40,+8 an+1 an+1' ② 两式相除，得1-3三-0,3，所以，01-3是一个公比为-1的等 an+1+2 4an+2 Qn+1+2 4 比数列，且首项为01-3-1，故 a1+24 所以 3-4”+2 an= -4-1 一般地，对于递推式a1=c0+B,其中、0、y为常数。考虑特征方程 a+y x=+,它的解为X、x2。 x+y 若X≠x,则0，x-0,.a--1 。 an-x2 a1-x2a-x2 若x1=x2,则g-x1a,-X+n1 a&-x19 例6设数列an满足a1=1,且对任意正整数n,有 a41+40,+7240. 求数列{an的通项公式。 解令b=-1+24aneN,则a-,又用n+1替换n得 24 1,代入a,的递推公式可知1=1+ b-1 an+1= +4. -+bn 化简得 24 2416 24 4b+1=b+6bn+9。 ① 显然{b每项均为正数，对①开方得2b+1=bn+3,即对任意正整数n,有 b1-3=b。3 2。 +92克*9 又6-3=1+24a-3=2,所以b,=b3+3 进一特：随项会式粉a骨号片 2.线性递归数列 一般地，称由初始值a1,Q2,…,ak及递推关系 an+k=入1an+k-1+2an+k-2+…+入kan+fn 所确定的数列为k价常系数线性递归数列，其中入1，入2，，n为常数，且 入x≠0。当fn=0时，称为常系数齐次线性递归数列。 把对应于常系数齐次线性递归数列 an+k=10n+k-1+20+k-2+…+入kan ① 的方程 X=λ1X-1+入2X-2+…+入x ② 称为其特征方程，方程的根称为特征根。 有如下定理。 定理1若递推关系①对应的特征方程 x=入1x-1+入2x-2+…+入入k≠0 有k个相异根1，x2,…,xk,则数列an的通项公式为 an=C1x+C2x+…+Ckxk, 其中C1,C2,…,Ck是如下线性方程组 C1X+C2x2++CkXk=a1, C1Xi+C2X吃++CkX=a2, C1X+C2x+…+Ckx=ak 的唯一解。 定理2若递推关系①对应的特征方程 X=入1x-1+入2x-2+…+入k入k≠0 有k重根1则数列a,的通项公式为a,=c,+c,n++cn-2其中 C’c2,“,Ck是如下线性方程组 C1+C2+…+Ck1=a1, C1+2c2+…+2k-1c2=a2g …………………… C,+kC2+…+k-1ckλ=a 的唯一解。 定理3若递推关系①对应的特征方程 X=入1X-1+入2x-2+…+入k入k≠0 有m个相异根X,X,,X其中x为k重根，且2k=k则数列a i=1 的通项公式为 an=p1nx+p2nx+…+Pm(nxm，其中 n∈N,p,lnl=c1+czn++ck,nk-1≤i≤ml,系数c1≤ism,lsj≤k)由如下 方程组 p11x1+p21x2+…+pm1xm=a1, p12x+p22x3+…+pm2x元n=a2, ………………………………………… pi(kxi+p2(kx++pm(k)xm=ag 确定。 例7已知数列{an满足：a1=3,a2=8,且an+2=2an+1+2an,n=1,2,…,求 数列{an的通项公式。 解递推式对应的特征方程是x2=2x+2,它的两个根是x1,2=1±3，于是 a=c1+/3+c21-3”, 于是 c11+9/3+c21-V3=a1=3, c11+3+c21-3}=a2=8, 2+3.3-2 解得c走2g2天3·所03+231+R33238 6 6 例8设数列{an满足：a1=1,a2=2,an+2+an+1+an=0,求数列{an的通项 公式。 解对应递推关系的特征方程为x+x+1=0,其特征根为 X=os号+sin号X=cos号-sn2号。 3 3 3 于是a,=A1cos2m+isin2n7+A,c0s2n-isin2m。 3 3 3 3 将初始条件代入可得 A 3 +2 13: i+A2 i=1, 22 13. 1,3 -22 +A2 i=2, 22 解得A,=9+3 6 ,A2=-9-3i 6 。所以 cos 2isin 2mi cos 2misin2n 6 3 3 6 3 3 =-3cos 2nm-3 sin 2m -sin 33 3 注若特征方程x=℃x+C2有两个复数根 X=rcos日+isin9,X,=rcs日-isin9),则通项为a,=rA,cosn0+A2sinn9。 例9设数列{an满足：a1=a2=1,a3=2, 3an+3=4an+2+an+1-2an,n=1,2,…。 求数列{an的通项公式。 解其特征方程为3父-4父-X+2=0持征根为名1（仁重根。为=号， 所以 ,h+Ar+A-引 由a1=a2=1,a3=2,得 46- A1+2A+4A,=L, 9 A,=2, A1+3A27 解附A=云4号A=哥。因ta, 1+15n-