第八讲 二次函数讲义-2026年高中数学竞赛

第八讲 二次函数 二次函数在中学数学中起着十分重要的作用。 下面我们通过一些例题来介绍一些方法和技巧，加深学生对有关概念和知识的理解，提高解题能力。 1. 含参数的二次函数 对于二次函数 ,当 固定时,此二次函数唯一确定,它的图象是一条抛物线; 若 固定, 可以在某个范围内变动,则它的图象是 “一族” 抛物线。对于 的不同取值范围和条件,得到的抛物线族就具有不同的特征。如何确定这些特征,就因题而异了。 例 1 设函数 ,若 在闭区间 上恒为非负数, 求实数 的取值范围。 解 在闭区间 上恒为非负等价于 在 上的最小值非负。 (1) 当 ,即 时, 在 上是增函数,最小值为 。 于是应有 ,得 ,与 矛盾,所以在此范围的 不合题意。 (2) 当 时， 在 的最小值为 此时应 。 (3)当 ,即 时， 在 上是减函数，最小值为 ,于是应有 ,得 ,又 ,所以此时 。 综上所述，所求 的范围是 。 例 2 设二次函数 ,方程 的两个根 满足 。 (1) 当 ，求证: ； (2) 设函数 的图象关于直线 对称，求证: 。 解 (1) 设 ,欲证 ,只须证 即 ,两边除以 ,只须证 。由题目条件知,上式是成立的,故命题得证。 (3) 因为函数 的图象关于直线 对称，所以 。又 、 是 的两个根,所以 。于是欲证 ,只须证 ,而 ,最后一式小于 0 显然成立,故命题得证。 注 在第 (1) 小题的证明中, 由条件, 得到了一个恒等式 其余全为已知条件。在第 (2) 小题的证明中, 由条件得到了两个恒等式: 例 3 已知开口向上的抛物线 的图象与如下三条直线 的每一条都至多有一个交点,求 的最大值。 解 由 ,得 ,所以 。 由 及 得, ,所以 。 由 及 得, ,所以 即 ,所以 。 容易验证,抛物线 与直线: 中的每一条都至多有一个交点。 综上所述， 的最大值为 5 。 2. 二次函数的最值 例 4 已知二次函数 满足 。求 的最小值。 解 若 ,则 ,这与 产生矛盾! 所以 。 由于 ,故横坐标为 与 的点关于对称轴 对称。于是 ,化简得到 。 所以 的最小值是 。 例 5 设 为实数, ,且使得二次函数 满足: 对任意 ,恒有 。求 的最大值。 解 由于 ,故 ,故 。 我们将 改写成 ,分别估计其中每一项的上界。首先, 由条件可知 ① ② 于是,由①、②及 可知, ,因此 ,从而 另一方面,取 ,此时 ,验证知对任意 , ,有 ,符合条件。 综上所述， 的最大值为 7 。 例 6 已知函数 定义域为 。当 时, ,且当 时, 的最大值为 10 。 (1) 求 在 上的最小值； (2) 若存在实数 ，使得 对任意 恒成立,求实数 的最小值。 解(1)由题设知 在 上恒成立。 当 时， 在 上恒成立。 若 ,则 。若 ,取 ,则 ,矛盾。 若 ,则取 ,则 ,矛盾。 当 时,取 ,则 由于 ,则 ,即 矛盾。 当 时,取 ,则 由于 ,则 ,即 矛盾。 综上, ,且 。 由于当 时, 的最大值为 10 。所以 ,故 。函数的解析式为 ，所以 在 上的最小值为 1 。 (3) 令 ，则 于是 所以 ,故 所以 。 下面证明 成立。由等号成立的条件解得 故 。 当 时, ,则 成立。 综上, 的最小值为 。 3. 二次方程的根的分布 作为二次函数的一个重要应用, 利用抛物线可以研究一元二次方程根的分布。抛物线 上 值为零的点的横坐标即为二次方程 的实根，利用二次函数来研究二次方程实根的情况，需要掌握如下结论: 设二次函数 的图象与 轴交点的横坐标为 和 。 (1) 的条件为 且 ； (2) 的条件为 且 ； (3) 的条件为 ； (4) 的条件为 且 ; (5) 和 只有一个在 和 之间的条件为 ，或 例 7 若关于 的方程 的一根大于 -2 而小于 0,另一根大于 1 而小于 3 , 求 的取值范围。 解法一 由于二次函数 的图象开口向上,于是二次方程 如有两个不相等的实根,则两个根必位于二次函数 的对称轴的两侧。并且在对称轴左侧,函数递减; 在对称轴右侧,函数递增。所以有 反之,在这种情况下,此方程必有两个满足题设条件的不同实根。 解此不等式组得 。 解法二 由求根公式,此方程的两根为 。由题设可得 解得, 。 例 8 已知实数 和正实数 使得二次三项式 有两个不同的实根, 且恰好有一个根落在区间 中。证明: 刚好有一个根在区间 中。 证法一 设 。若恰好有一个根落在区间 中,则有 ,即 。于是 若 ,则 在区间 中恰好有一个根。 若 ,则 有一个根为 或者 ,一个根为 -1 或者 1,并且 1 (否则,在区间 中就有两个根),所以, 在区间 中恰有一个根。 证法二 设 的两个根为 ,并且 。 于是由韦达定理可得 ,即在区间 中恰有一个根 。 例 9 设函数 ,若 满足 2 使得 ,求 的取值范围。 例 9 图 解 因为 所以 的图象如图所示。 在 时是递减的,在 时是递增的。函数图象与 轴的交点为 。所以 又 ,且 ,所以 。 综上所述， 的取值范围是 。 4. 利用二次函数的性质解题 例 10 设二次函数 有两个不同的实数根,并且对任意实数 ,均有 证明: 至少有一个负根。 证明 令 ,于是对所有实数 ,均有 ,所以,由二次函数的图象性质知, 的图象是开口向上的抛物线。 若 的两个根都是非负数,则 的图象顶点横坐标 ,于是 矛盾! 所以, 至少有一个负根。 例 11 已知对于任意的 ,都有 ,求证:对于任意的 ,都有 。 解 令 ,由 可得 又因为 ,故当 时, 例 12 设定义域为 的函数 若函数 有 7 个零点,求实数 的值。 例 12 图 解 作出函数 的图象,如图所示。设 ,则函数 可转化为 。 由函数有 7 个零点,结合图象,可知函数 必有一个零点为 4,代入 得 解得 或 。 代入检验,当 时, 或 。 有 3 个不同实根, 有 2 个不同实根,不符合题意; 当 时, 或 。 有 4 个不同实根, 有 3 个不同实根,符合题意。故 。 学科网（北京）股份有限公司 $