第八讲 二次函数讲义-2026年高中数学竞赛

第八讲 二次函数

二次函数在中学数学中起着十分重要的作用。

下面我们通过一些例题来介绍一些方法和技巧，加深学生对有关概念和知识的理解，提高解题能力。

1. 含参数的二次函数

对于二次函数 ,当 固定时,此二次函数唯一确定,它的图象是一条抛物线; 若 固定, 可以在某个范围内变动,则它的图象是 “一族” 抛物线。对于 的不同取值范围和条件,得到的抛物线族就具有不同的特征。如何确定这些特征,就因题而异了。

例 1 设函数 ,若 在闭区间 上恒为非负数, 求实数 的取值范围。

解 在闭区间 上恒为非负等价于 在 上的最小值非负。

(1)  当 ,即 时, 在 上是增函数,最小值为 。

于是应有 ,得 ,与 矛盾,所以在此范围的 不合题意。

(2)  当 时， 在 的最小值为

此时应 。

(3)当 ,即 时， 在 上是减函数，最小值为 ,于是应有 ,得 ,又 ,所以此时 。

综上所述，所求 的范围是 。

例 2 设二次函数 ,方程 的两个根 满足 。

(1)  当 ，求证: ；

(2)  设函数 的图象关于直线 对称，求证: 。

解 (1) 设 ,欲证 ,只须证

即 ,两边除以 ,只须证 。由题目条件知,上式是成立的,故命题得证。

(3)  因为函数 的图象关于直线 对称，所以 。又 、 是 的两个根,所以 。于是欲证 ,只须证 ,而 ,最后一式小于 0 显然成立,故命题得证。

注 在第 (1) 小题的证明中, 由条件, 得到了一个恒等式

其余全为已知条件。在第 (2) 小题的证明中, 由条件得到了两个恒等式:

例 3 已知开口向上的抛物线 的图象与如下三条直线 的每一条都至多有一个交点,求 的最大值。

解 由 ,得 ,所以 。

由 及 得, ,所以 。

由 及 得, ,所以

即 ,所以 。

容易验证,抛物线 与直线: 中的每一条都至多有一个交点。

综上所述， 的最大值为 5 。

2. 二次函数的最值

例 4 已知二次函数 满足 。求 的最小值。

解 若 ,则 ,这与 产生矛盾! 所以 。

由于 ,故横坐标为 与 的点关于对称轴 对称。于是 ,化简得到 。

所以 的最小值是 。

例 5 设 为实数, ,且使得二次函数 满足: 对任意 ,恒有 。求 的最大值。

解 由于 ,故 ,故 。

我们将 改写成 ,分别估计其中每一项的上界。首先, 由条件可知