第七讲 函数的性质讲义-2026年高中数学竞赛

第七讲 函数的性质

本节主要讨论函数的对称性、奇偶性、单调性、周期性。

1. 对称性

函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系。利用函数的对称性, 往往可以使得问题简化。

例 1 设函数 对一切实数 都满足

①

且方程 恰有 6 个不同的实根。求这 6 个实根的和。

解 由题设的①式知，函数 的图象是关于直线 对称的，因而每两个关于 对称的根的和为 6 。于是这 6 个根的和为 。其实，下面的说法似乎更自然一些。

若 为 的根,则由①知

所以 也是 的根。于是可设这 6 个根为 。故它们的和为 18 。

例 2 已知 均为定义在 上的函数, 的图象关于直线 对称, 的图象关于点 中心对称,且 ,求 的值。

解 由条件知

①

②

由 图象的对称性,可得 ,结合①知,

③

由②、③解得 ，从而

例 3 已知函数 满足: ,函数 与 图象的交点为 ,求 的值。

解 因为 ,所以函数 的图象是关于点 对称的。

又函数 的图象也关于点 对称,故函数 与 图象的交点 也关于点 对称,所以

2. 奇偶性

设函数 的定义域为 ,且 是关于原点对称的数集。若对于任意的 ,均有 ,则称 是奇函数; 若对于任意的 ,均有 ,则称 是偶函数。

例 4 证明: 任何定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。

证明 设函数 的定义域是关于原点对称的,则 与 同时有意义。 易知有恒等式

令 ,则 是偶函数, 是奇函数。

事实上,有

从而命题得证。

注 这个 和 是如何“构造”出来的呢? 其实, 和 是可以 “解”出来的。设 ,其中 是偶函数, 是奇函数。则

所以 。

例 5 已知函数 ,若 ,求 的值。

解 令 ,其中 。

由 可见,对一切 ,都有 ,所以 是奇函数。从而可得

即 。

例 6 设函数 的最大值为 ,最小值为 ,求 的值。

解 由已知得 。

令 ,则 为奇函数。

设 的最大值为 ,最小值为 ,则 。

又 ,所以 。

例 7 设 分别是定义在 上的奇函数、偶函数,且