第七讲 函数的性质讲义-2026年高中数学竞赛

第七讲 函数的性质 本节主要讨论函数的对称性、奇偶性、单调性、周期性。 1. 对称性 函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系。利用函数的对称性, 往往可以使得问题简化。 例 1 设函数 对一切实数 都满足 ① 且方程 恰有 6 个不同的实根。求这 6 个实根的和。 解 由题设的①式知，函数 的图象是关于直线 对称的，因而每两个关于 对称的根的和为 6 。于是这 6 个根的和为 。其实，下面的说法似乎更自然一些。 若 为 的根,则由①知 所以 也是 的根。于是可设这 6 个根为 。故它们的和为 18 。 例 2 已知 均为定义在 上的函数, 的图象关于直线 对称, 的图象关于点 中心对称,且 ,求 的值。 解 由条件知 ① ② 由 图象的对称性,可得 ,结合①知, ③ 由②、③解得 ，从而 例 3 已知函数 满足: ,函数 与 图象的交点为 ,求 的值。 解 因为 ,所以函数 的图象是关于点 对称的。 又函数 的图象也关于点 对称,故函数 与 图象的交点 也关于点 对称,所以 2. 奇偶性 设函数 的定义域为 ,且 是关于原点对称的数集。若对于任意的 ,均有 ,则称 是奇函数; 若对于任意的 ,均有 ,则称 是偶函数。 例 4 证明: 任何定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。 证明 设函数 的定义域是关于原点对称的,则 与 同时有意义。 易知有恒等式 令 ,则 是偶函数, 是奇函数。事实上,有 从而命题得证。 注 这个 和 是如何“构造”出来的呢? 其实, 和 是可以 “解”出来的。设 ,其中 是偶函数, 是奇函数。则 所以 。 例 5 已知函数 ,若 ,求 的值。 解 令 ,其中 。 由 可见,对一切 ,都有 ,所以 是奇函数。从而可得 即 。 例 6 设函数 的最大值为 ,最小值为 ,求 的值。 解 由已知得 。 令 ,则 为奇函数。 设 的最大值为 ,最小值为 ,则 。 又 ,所以 。 例 7 设 分别是定义在 上的奇函数、偶函数,且 若对 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围。 解 因为 ,又 分别是 上的奇函数、偶函数,所以 ,即 。由 可得 令 ,由 在 上为增函数, ,可得 。所以 , 由 对 恒成立,得 2) 对 恒成立。 即 对 恒成立。所以 由平均不等式 当 时等号成立,故 的最小值为 7,从而 的最小值为 10 。 故 ,即实数 的取值范围是 。 3. 单调性 函数的单调性可用函数值的比较给出证明。利用函数的单调性,可以比较实数的大小、证明一些不等式和确定某些函数的值域及最值。 例 8 证明: 函数 可以表示成为两个单调递增多项式函数之差。 证明 注意到恒等式 4. 而函数 都是单调递增的多项式函数,从而命题得证。 说明 一般地,任意实系数多项式可表示为两个单调递增的多项式函数之差。 例 9 若函数 在区间 上为增函数,求 的取值范围。 解 设 ,由函数 在区间 上为增函数知: (1) 当 时， 在区间 上为减函数，且 ，所以 ,这样的 不存在。 (2) 当 时， 在区间 上为增函数，且 ，所以 ,可得 。 综上可得, 的取值范围是 。 例 10 已知函数 的定义域为 ( 为实数)。 (1) 当 时,求函数 的值域; (2) 求函数 在区间 上的最大值及最小值，并求出当函数 取得最值时 的值。 解 (1) 当 时, ,任取 ,有 所以 ,故 在 上单调递增,所以函数 无最小值,当 1 时取得最大值 1,于是 的值域为 。 (3) 当 时，任取 ，有 所以 ,即 在 上单调递增,无最小值,当 时取得最大值 ; 当 时, ,于是: 当 ,即 时, 在 上单调递减,无最大值, 当 时取得最小值 ; 当 ,即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,无最大值,当 时取得最小值 。 5. 周期性 对于函数 ，如果存在一个不等于零的正数 ，使得当 取定义域中的每一个数时，均有 成立，那么称 是周期函数， 称为这个周期函数的周期。如果函数 的所有周期中存在最小正值 ，称 为周期函数 的最小正周期。 例 11 已知定义在 上的奇函数 的图象关于直线 对称,当 2 时, ,求 的值。 解 由 为奇函数,且其图象关于直线 对称,知 ,且 。所以 故 是以 8 为周期的周期函数。 又 。所以 例 12 已知 ，其中 是定义在 上，最小正周期为 2 的函数。若 在区间 上的最大值为 1,求 在区间 上的最大值。 解 依题意,有 因为 在区间 上的最大值为 1,所以 在区间 上的最大值为 3，在区间 上的最大值为 5，在区间 上的最大值为 7，在区间 上的最大值为 9 。 例 13 设函数 求函数 6 在区间 内的所有零点的和。 解 当 时, ,所以 ,此时当 时, ; 当 时, ,所以 0 ; 由此可得,当 。 下面考虑 且 时, 的最大值的情况。 当 时,由函数 的定义知 此时,当 时, 。 当 时,由函数 的定义知 由此可得,当 时, 。 综上,对于一切正整数 ,函数 在区间 上有 1 个零点,从而 在区间 上有 个零点,且这些零点为 ,所以当 时,所有这些零点的和为 。 学科网（北京）股份有限公司 $