第九讲 函数的最大值与最小值讲义-2026年高中数学竞赛

第九讲 函数的最大值与最小值

设函数 的定义域为 ,若存在 ,使得对任意 ,都有 ,则称 为函数 在 上的最大值,简记为 。

若存在 ,使得对任意 ,都有 ,则称 为函数 在 上的最小值,简记为 。

求最大值和最小值的问题涉及的知识面较广, 解法也多种多样。在许多情况下可以归结为证明不等式。

1. 配方法

利用平方数恒大于或者等于 0 , 将所求的函数或者代数式配成若干个平方式及一些常数的代数和形式, 然后求最值。

例 1 设 是实数,求 的最小值。

解 因为

又当 时等号成立。所以 的最小值为 2 。

例 2 求函数 的最大值和最小值。

解 将函数变形为关于 的一元二次方程:

当 时, 。

当 时,由于方程必有实数解,所以判别式 ,那么有

解得

1  

当 时,函数取得最大值 ,当 时,函数取得最小值 1 。

注 对于某些特殊形式的函数的最值问题, 如能经适当的代数变形, 使目标函数 (即要求最值的函数) 出现在一个有实根的一元二次方程的系数之中,可利用判别式 ≥0 来求得函数的最值。也有人把这种方法称为判别式法。

例 3 设 是实数，求

的最小值。

解 令 ,则

,

当 时,等号成立。

所以，欲求的最小值为 。

2   换元法

引入适当的参数换元, 把复杂的目标函数变形为较为简单的函数形式, 或者将不易求最值的函数形式转化为容易求最值的函数形式。

例 4 已知 ,求 的最小值和最大值。

解 令 。因为 ,所以 ,且 。 于是

所以,当 时, 的最大值为 ; 当 时, 的最小值为 2 。

例 5 设实数 满足 ,求 的最大值。

解 因为 ,作代换 ,则

当 时等号成立，所以最大值为 。

例 6 设 是三个不全为零的实数，求 的最大值。

解 引入两个参数 ,且 均为正数,则有

所以 。因此

令 ,解得 。故 ,