第九讲 函数的最大值与最小值讲义-2026年高中数学竞赛

第九讲函数的最大值与最小值 设函数fx)的定义域为D,若存在x∈D,使得对任意x∈D,都有 flx)sf(x,,则称fx。为函数fx在D上的最大值，简记为f· 若存在∈D,使得对任意x∈D,都有fx≥fx,则称fxo为函数 fx在D上的最小值，简记为f血。 求最大值和最小值的问题涉及的知识面较广，解法也多种多样。在许多情 况下可以归结为证明不等式。 1.配方法 利用平方数恒大于或者等于0，将所求的函数或者代数式配成若干个平方 式及一些常数的代数和形式，然后求最值。 例1设x、y是实数，求u=x+y+y-x-2y+3的最小值。 解因为 u=x2+y-1x+y2-2y+3 +y-1x+y+y-2y*8-y x*+y-2y*1*2 y-122. 又当x=0,y=1时等号成立。所以u的最小值为2。 例2求函数y=2x+x+1的最大值和最小值。 x2+X+1 解将函数变形为关于x的一元二次方程： yx2+x+1=2x2+x+1, y-2x2+y-1x+y-1=0。 当y=2时，x=-1。 当y≠2时，由于方程必有实数解，所以判别式△≥0，那么有 △=y-12-4y-2y-1=-3y2+10y-7≥0， 解得 1≤y号： 当X=-2时，函数取得最大值了，当x=0时，函数取得最小值1。 注对于某些特殊形式的函数的最值问题，如能经适当的代数变形，使目标 函数（即要求最值的函数）出现在一个有实根的一元二次方程的系数之中，可利 用判别式△≥0来求得函数的最值。也有人把这种方法称为判别式法。 例3设a、b、C、d是实数，求 a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd+a+b+c+d 的最小值。 解令x=a+b+c+d,则 a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd+a+b+c+d =la+b+c+d+a+1+b+1+c+1+(d+1-2 ab*c*d+a*1+1b+rc*1+d+1f-2 =+x*42x*号眉 当Q=b=c=d=青时，等号成立. 所以，款求的最小值为号· 2换元法 引入适当的参数换元，把复杂的目标函数变形为较为简单的函数形式，或者 将不易求最值的函数形式转化为容易求最值的函数形式。 例4已知0°≤a≤90°，求y=V5-4sina+sina的最小值和最大值。 解令x=/5-4sina。因为0≤sina≤1，所以1≤xs5,且sina=5-x 4 。于是 y=x+5x=-x-4x-5 44 =x-2+吴 41 所以，当X=2时，y的最大值为是，当X=1时，y的最小值为2。 例5设实数x、y满足x2+y2=1,求y2-x2+4y的最大值。 解因为x+y=1,作代换x=cosa,y=sina,则 y2+4xy-x2=2sin 2a-cos2a<22+12=5, 当a=方rcan}时等号成立，所以最大值为G, 网6设1是三个不全罗的实数，求 的最大值。 解引入两个参数、阝，且a、阝均为正数，则有 a2x2+y2≥2ay,B2y2+z2≥2Byz。 所以w≤号x+云，2z≤y+。因此 B y+2≤gx+)+py+2. 2 令号名+p=日样得a=5,8-2 5 .故刘+2z≤5+y+. 即y+22<5。解方程组 ax-Iy, 2a x2+y2+2≤ 2 可得一组解x,y,z=(1,5, xy+2yz 2,即当x=1,y=5,z=2时，X+y+2 V5 V5 取2 。从而它的最大值为2。 3利用不等式求最值 利用不等式取等号，可以得到一个最值问题的解。 例7设a、b、c为非负实数。记S=a+2b+3c,T=a+b2+c3。 (1)求T-S的最小值： (2)若S=4，求T的最大值。 解(1)注意到b,c≥0，由平均值不等式得 b2+1≥2b,c3+1+1≥3c3.11=3c。 从而T-S=b2-2b+c3-3c≥-1-2=-3。 当a为任意非负实数，且b=C=1时，T-S取到最小值3。 )由a,b,c≥0及S=a+2b+3c=4,可知0≤b≤2,0≤c≤1。所 2b-b2=b2-b≥0,3c-c3=c3-c2≥0。 从而T=a+b2+c3≤a+2b+3c=S=4。 当a=4,b=c=0(或a=0,b=2,c=0)时，T取到最大值4。 例8设实数a1,a2,,a2016满足9a>11a1i=1,2,,2015)。求 a1-aa2-a-a201s-ao16a2016-a 的最大值。 解令P=a,-aa,-a-aos-a6a6-a· 由已知得，对=1,2，2015均有a-号c-a≥0。 若Q2016-a1≤0，则P≤0。 以下考虑a2o16-a>0的情况。约定a2017=a1。由平均不等式得 D2≤6a-ai+1=2016名01041 2626,2-1 2016 1 24a,+1-a,2 ≤20162 1*20162- 2016 441 所以P≤ 1 42016。 三1】二0<0日7八X三步工y￥王日三0二·二D二0上— 2,…,2015),此时P=- 1 42016。 综上所述，所求最大值为4o6· 1 例9设a,b,c,d,e≥-1，a+b+c+d+e=5。 求S=a+bb+cc+dd+elle+a的最小值与最大值。 解先求S的最小值，仅需考虑S<0的情况。 (I)若a+b、b+c、c+d、d+e、e+a四正一负，由对称性，不 妨设a+b<0。 注意到a+b+c+d+e=5,且a+b≥-2，由平均不等式得 (b+cllc+dld+elle+a)sb+c)+c+dj+(d+e)+le+al 4 10-a-b ≤34=81， 4 从而S≥-2×81=-162。 (2)若a+b、b+c、c+d、d+e、e+a二正三负，由于 -2≤a+b=5-c-d-e≤8， 同理有-2≤b+c,c+d,d+e,e+a≤8，故此时S2-23×8=-512。 (3)若a+b、b+c、c+d、d+e、e+a均为负数，则a+b+c+d+e<0< 5,矛盾！故这种情况不可能发生。 综上可知S≥-512。 当a=b=c=d=-1,e=9时，S取到最小值-512。 再求S的最大值，仅需考虑S>0的情况。 ()若a+b、b+c、c+d、d+e、e+a均为正数，由平均不等式 得 S (a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e]+(e+al5 =32。 (2)若a+b、b+c、c+d、d+e、e+a三正二负，由对称性，仅 需考虑下述两类情形： (2.1)a+b,b+c<0且c+d,d+e,e+a>0。此时有 -2≤a+b<0,-2≤b+c<0,0<d+e≤8， axledleals 2 从而S≤-2×-2×8×9=288。 (2.2)a+b,c+d<0且b+c,d+e,e+a>0。 此时，注意到e=5-a-b-c-d≤7-b-c<7,由平均不等式得 S≤ [-a-b)+(b+c)+(-c-d)+(d+e)+(e+al5 5 s/2e5 Γ5 <35<288。 (3)若a+b、b+c、c+d、d+e、e+a一正四负，由对称性，不妨设 a+b>0,则0>b+c+c+d+e+a=5tc≥4，矛盾！故这种情况不会发生。 综上可知S≤288。 当a=b=c=-1,d=e=4时，S取到最大值288。 4.利用函数性质 若函数fx在a,b上是递增函数，则fx在a,b)上的最大值为fb), 最小值为fa；若函数fx在a,b)上是递减函数，则fx在a,b上的最 大值为fa,最小值为fb。 若函数fx满足：当x≤x时，fx是增函数，当x≥x,时，fx是减函 数，则fx是函数fx的最大值，若函数fx满足：当x≤x时，fx是 减函数，当x≥x,时，fx是增函数，则fxo是函数fx的最小值。 例10设a,b,c∈-1,2，求S=a+b+c-abc的最大值与最小值。 解暂时固定b、c,将S看成a的函数 fa=1-bca+b+c。 注意到fa为一次函数或常值函数，故当a∈【-1,2时，fa的最大值与 最小值必会在f-1、f2中出现。换言之，在考虑S的最值时，可将a调整 到边界值-1或2，而不影响结果。 类似地，可逐步将b、c也调整到边界值一1或2。从而仅需考察 a,b,c∈{-1,2}的情形。 当a、b、c都取-1时，S=-2; 当a、b、c中两个取一1、一个取2时，S=-2; 当a、b、c中一个取-1、两个取2时，S=7; 当a、b、c都取2时，S=-2。 综上，S的最大值为7，最小值为-2。 注本题中，利用S的表达式关于每个变量Q、b、c的线性结构，通过局部 调整，可将无穷多种a,b,C的取值情形归结为少数几个取边界值的特殊情形， 再分别计算这些情形下的S值，从中选出最大与最小的即可。 例11设n≥2是正整数，x∈0,2，i=1,2,,n,证明：二次函数 f(x)=nx2-2 的最小值不超过n。 证法一只需证明 44空 2 4n 1 令gn=r2- a-f区 立店22 2x+2x-xx-2 叉x+2x≥0，xx,-2s0,i=1,2,,n,所以4，≤0。从而恒有gn≥0， 即①式成立。于是命题得证。 证法二由题设知 fx=x-x12+x-x22+…+x-xn2。 由于x∈0,2，i=1,2,,n,所以0≤l1-xs1,0≤1-x≤1。于是 f1=1-x2+1-x2}+…+1-xn2≤n。 所以fx的最小值fmnx≤f1≤n。 注证法一直接用fx的最小值去和n比较，设法证明了fmnx≤n。而 证法二则是先证明f1≤n,然后利用fmnx≤f1证明了命题。证法一比较自 然，证法二比较巧妙，望读者仔细体会。 例12给定实数a>1,求函数fx=a+s血X4+sinX的最小值。 1+sinx atsin xi4 tsin xl1sinx 1+sinx 3a-1+a+2. 1+sinx 当1<a≤子时，0<3a-1s2,此时 f(x)=1+sinx 3a-1+a+2≥23a-1+a+2, 1+sinx 且当sinx=3a-1-1∈(-1,1])时不等式等号成立，故 fmin(x=23a-1+a+2。 当a心号时，30->2，此时“耐克”函数yt+301在 t (0,3a-1]内严格单调递减，故此时 fax=f2+3l01+o+2-5a+l 2 2 综上所述，fnx= 231a-1+a+2,1<a≤3 5a+1 7 a> 2 3。