第十五讲 三角恒等变形讲义-2026年高中数学竞赛

第十五讲三角恒等变形 三角恒等变形涉及化简、求值、三角恒等式证明等。变形过程中，需要熟 练把握各种三角公式。 1.三角式的化简、求值 例1若sinx+20°=cosx+10°+cosx-10°，求tanx。 分析按和角（差角）展开，将tanx表示出来。 解由条件得sinx cos:20°+cos xsin20°=2 COS X COS10°，所以 2/3 os20°+1sin20 tanx=2cos10'-sin20° sin20° tanx=2 =3. c0s20° C0s20 注本题属于“拆”角问题，所谓拆角，就是把已知的角一拆为二，以达到 相消的目的。 例2已知sinx+siny号cosX-cosy号，求cusx+小、5inx-y的 值。 解记 sinx+siny= 、1 ① cos x-cos y= ② ①2+②2，有 2.+2sinxsiny-2cosxcosy= +1 9251 -2cos x+yl=-75.cosx+y 由@有2sin生s-号，由②有-2mn义-号 2 2 2，两 式相除得am义-号，再出万能公式 2tan x-y 6 sin(x-y=- =5 1+an2水-y 17 2 1+9 25 例3求sin410°+sin450'+sin470°的值。 解方法一：遇到高次幂，一般采取降幂的策略。 sin410°+sin450°+sin470 41-2cs20+c0s220+1-2c0s10 +c0s2100°+1-2c0s140°+c0s2140°) =B-21c0s20+cos100+c0s140月 +c0s220°+cos2100°+c0s2140 (*) c0s20°+cos100°+c0s140°=2cos60°c0s40°+c0s140° =c0s40°+c0s140°=0， ① c0s220°+c0s2100°+c0s2140° =号1+c0s40+21+c0s200+号1+c0s280 =B+1cos40+os20°+c0s280l儿。 cos40°+c0s200°+cos280°=2c0s120°cos80°+c0s100°+180 =-c0s80°-c0s100°=0， cos20+cs2100+cos2140=3 ② 将0、@代入9t有sn10ss0+s70-3号 方法二：原式=sin410°+sin460°-10+sin460°+101 =n10+22cos10+6×cos10×in210+6sin10 4 9 ms10+sm210rcos10+8sn10 -g310+sn10-g 3.三角恒等式的证明 圆4证明等sing+3sin++3sn3c、1 3 30=4 3"sin -sina 3分 证明通过有限次反复运用三倍角公式3sinx-4sin3x=sin3x,有 3学-43sn9+n3g品-+ 3n 3 =33sn学-4n学433sng号+-+sin号 n3品43ng品+tsn号 =3"-Isin-a =...=3sin-4sin'=sina. 3 从而原等式成立。 2+CoS 例5求证：cos2n+1 4几+…+C0 2nm-1 2n+1 2n+12 证明令20“测 2sina cos COS4COS 2mr 2n+1 2n+1 2n+1 =(sin3a-sina+sin 5a-sin 3a+...+sin 2n+1a-sin 2n-1a =-sina+sin 2n+1a=-sina. 所以 COS- 2+c0s 4元++cos72nr=- 2n+1 2n+1 2n+12° 这里的思路是 X左边=a,-a+a-ag++c,-a-=a,-a1=x.右边。 注一个姊妹恒等式是： +cos2n+1 cos2n+1 3π+…+C0S 2n-1π=1 2n+12 例6设a、B为方程acosx+bsinx-c=0a、b不全为)的相异两根，且 a≠B+2kk∈Z·求证：cos2aE-c 2a2+b2 证明引入辅助角。令sin0后+s0a+市 b ,则原方程为 sin(o+x)=c Va+b 由已知得 sinlo+a=sinlp+BlFa+b· ① 因为Q≠B+2kk∈Z,所以Q+p≠B+p+2kk∈Z)。再由①知 Q+p+B+0=2k+1πk∈Z。 o+a-kn+I+a-B.sinl@+a)=tcos&-B. 22 2 故 cosB-sinloal-c 2 2+b2 例7已知实数A、B、C满足A+B+C=π，osA+cosB+CosC=1,求 证 1-cos A1-cos B1-cosC)=0. 证明因为C=π-A-B,cosA+cosB-cosA+B=1,所以 2cos A+BonA-B COS 2 2 |2cos2A+B-11, 2 2cosA+B cosA-B-cosA+B=0, 2 2 2 B0, 2cosA+B sin A sin 2 2 所以sn含=0或sin号-0或co-0. 2 若sn分-0则1-cosA=1-1-2sn经-2n合-0 若sh号-0则1-osB=1-1-2sm9-2sn9-0 若cs4B=0,则AB-k+受keZ,A+8=2+I,所以G=-2, 2 2 1-cosC=0。故1-cosA1-cosB1-cosC=0。 3.三角形中的恒等式 解三角形涉及与△ABC有关的量。常见的有： (I)内角和A+B+C=π： (2)△ABC中，设内切圆半径为r，外接圆半径为R,三角形面积为 S4，则 SA=2R sin A sin Bsin C, r=25ah-cam9-+c-b.ta-btg0,iam分： a+b+c 2 22 22 (3)tan A+tan B+tan C=tan A tan Btan C (4)射影定理：a=b cos C+ccos A,b=a cos C+ccosA,c=acos B+b cos A。 例8在△ABC中，2sin2AB-cos2C=1,三角形的外接圆半径R=2 2 (1)求C; (2)求S△ABc的最大值。 解0)由题设得2×1-os,A+B-2cosC-1=1, 2 1+cosC-2c0s2C+1=1, 所以2coC-cosC-1=0解得cosC=-1(舍去).故C= π。 3 (3)方法一：由正弦定理，c=2 RsinC=23。 由余弦定理cosC=02+b-C-。+b-12-12ab-12 2ab 2ab 2 2ab ,所以，ab≤ Sweobsinc 4ab≤3， 当A=B=石时等号成立，故(S△ABcx=3。 6 方法二因为5= ab,a=2 Rsin A=4sinA,b=4sinB,所以 4 ab=16sin A sin B=-8 cos(A+B)-cos A-B) =-4+8c0sA-B≤4， 当A=B=君时等号成立故5c=3。 例9设角A、B、C为三角形的三个内角，a、b、C分别为角 A、B、C的对边。求证：a-b1cot号+b-ccot号+lc-acot=0。 证明由正弦定理 a-b=sin A-sin B=2cos A+B.sin A-B=2sin C.sin A-B R 2 2 a-bcor号-2cos号sin42B-2sin4B.snA2 2 2 2 2 =C0sB-C0sA。 同理最b-cor子-asC-cosB,克c-alor =CosA-CosC。 上述三式相加，再两边同乘以R得 a-bico+lb-+lc-a-ot号=0. 2 例10在△ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,若b是a与c的等比中项， 且sinA是sinB-A与sinC的等差中项，求cosB的值。 解依题意 2sin A=sin B-A+sin C=sin B-A+sin B+A=2sin B cos A, 即 sin A=sin Bcos A, ① 故 a-sinA-CosA=btc- b sin B 2bc, 2ac=b2+c2-a2。 又由已知oc=-82,从而2b2=b+c2-d,d2+62=c,所以c=号，且 sinA=cosB,cosA=sinB,代入①式有cosB=sin Bsin B=sin'B=1-coS2B,解得 c0sB=15(舍去“负”，故cosB=51。 2 2