第十五讲 三角恒等变形讲义-2026年高中数学竞赛

第十五讲 三角恒等变形

三角恒等变形涉及化简、求值、三角恒等式证明等。变形过程中, 需要熟练把握各种三角公式。

1. 三角式的化简、求值

例 1 若 ,求 。

分析 按和角(差角)展开,将 表示出来。

解 由条件得 ,所以

注 本题属于“拆”角问题，所谓拆角，就是把已知的角一拆为二，以达到相消的目的。

例 2 已知 ,求 的值。

解 记

①

②

，有

2. 

由 ① 有 ，由 ② 有 ，两式相除得

，再由万能公式

例 3 求 的值。

解 方法一:遇到高次幂，一般采取降幂的策略。

(*)

①

②

将①、②代入(*)式，有 。

方法二:原式

3. 三角恒等式的证明

例 4 证明恒等式: 。

证明 通过有限次反复运用三倍角公式 ,有

从而原等式成立。

例 5 求证: 。

证明 令 ,则

所以