第十一讲 函数的迭代讲义-2026年高中数学竞赛

第十一讲 函数的迭代 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说。夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成 5 份，收藏起自己的一份后又去睡觉了。第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成 5 份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了。第三、第四、第五只猴子也都是这样:先吃掉一个，剩下的刚好分成 5 份。问这堆桃子最少是多少个？ 这个题有许多种解法,下面介绍一种。 设桃子的总数为 个。第 只猴子吃掉一个并拿走一份后,剩下的桃子数目为 个,则 且 。设 。于是 由于剩下的桃子数都是整数,所以, 。因此,最小的 为 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。一般地，设 : 是一个函数,对任意的 ,记 .......................... 则称 为 的 次迭代,并称 为 的迭代指数。 如果 有反函数,则记为 。于是迭代指数可以取所有整数。 对于一些简单的函数,它的 次迭代是容易得到的。 若 ,则 。 若 ,则 。 若 ,则 。 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。并且，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。 例 1 已知 是一次函数，且 。求 的解析式。 解 设 ,则 。所以 比较等式两边关于 的系数得 解之,得 ,或 。 因此,所求的一次函数为 或 。 例 2 设 。证明: 存在正整数 ,使得 能被 10 整除。 证明 因为 ,所以 因为 ,所以 。由裴蜀定理,存在正整数 ,使得 10 记 ,则由 ,可知 11 因此,取 ,则 。从而命题得证。 注 裴蜀定理是: 设正整数 互质,则存在正整数 ,使得 例 3 设集合 ，函数 满足对一切 ， 有 。 (1) 证明:对任意 ，均有 ； (2) 求所有这样的函数 的个数。 解(1)用反证法。若存在 ,使得 ,则 矛盾! 故命题得证。 (3) 对满足条件的函数 ，考虑任一 。 若 (即 是 的不动点),则显然有 。 若 ,设 。由 (1) 知 。又显然 (否则将有 ,矛盾),于是 即 限制在集合 上是一个“三轮换”。 对 ,用 表示在 上可分解为 个三轮换和 个不动点的函数 的个数。显然 。 由于限制在三元集 上的三轮换可以是 , 也可以是 ,共两种情况,因此 综上可知,满足条件的函数 的个数为 。 一般地,若函数 ,则可以把它写成 因而 ........................................... 这里的 是方程 的根。我们称 的根为函数 的不动点。 则 是 的不动点。 如果 是函数 的不动点,那么 也是函数 的不动点。用数学归纳法是容易证明的。利用不动点,我们可以求得 的 次迭代式。 例 4 设 ,求 。 解 令 ,则 。于是 下面介绍求函数 的 次迭代表达式的一个非常重要的方法一一相似法。 若存在一个函数 以及它的反函数 ,使得 我们就称 通过 和 相似,简称 和 相似,其中 称为桥函数。 如果 与 相似,即 ,则 用数学归纳法可以证明: 这样一来,便把 的 次迭代问题化为 的 次迭代问题。 例 5 若 ，求 。 解 令 ,则 ,此时 而 ,所以 这个迭代结果，就是切比雪夫多项式。 例 6 设 ,计算 。 解 先将 变形为 取 ,则 。而 所以 一般来说，要找出 与 的桥函数不是一件容易的事，往往需要对 进行仔细观察、变形，并利用经验来找。 例 7 试求一个函数 ,使得 。 解 令 ,则 。于是 令 ,则 。于是取 则 故 即为所求。 学科网（北京）股份有限公司 $