第十二讲 函数方程讲义-2026年高中数学竞赛

第十二讲 函数方程 我们称含有未知函数的等式为函数方程, 例如 等都是函数方程,其中 是未知函数。 如果一个函数 对其定义域内自变量的一切值均满足所给的方程,那么称 为这个函数方程的解。 例如: 是 的解, 是 的解。需要注意的是，函数方程的解可以是一个函数，也可以是一类函数。 寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程。 有关函数方程的问题在数学中占有重要地位。我们这里主要讨论不含极限运算的简单的函数方程, 即使是这种函数方程, 也没有统一的分类和一般的解法。并且, 这些题目大都比较抽象, 解决这类问题要对函数的本质特征有深刻的理解, 同时要用一些灵活多样的解题技巧, 因而它在国内外数学竞赛中颇受命题者的青睐。下面通过例题和习题来介绍一些函数方程的解法和技巧。 1. 变量代换 变量代换的基本思想如下: 将函数中的自变量适当地以别的自变量代换 (在代换时应注意使函数的定义域不发生变化), 得到一个新的函数方程, 然后设法求未知函数。 例 1 设 为 的函数,且对任意实数 有 ① 求 。 解 在①式中，以 代换 ，得 ② 由①、②消去 ，得 ，即 所以, 。 经检验, 是函数方程的解。 注 1 本题中为什么会用 代换 ? 因为我们希望能求出 的表达式。研究两个二次函数 和 ,由于 ③ ④ 发现在同一坐标系此两二次函数的图象关于直线 对称。这说明作代换 后③与④的表示式正好互换。于是便用 代换 。 注 2 这里的“检验”是解函数方程的一个组成部分,因为求 时,首先假定了方程存在解 ,这样求出的 只是满足必要性。也就是说,只要函数方程有解, 求出的 才是函数方程的解,如果函数方程无解,则求出的 并不是原函数方程的解。因此，需检验充分性。有时，所得解显然满足方程，就省略了检验过程。 例 2 已知 是偶函数， 是奇函数，并且 求 和 。 解 由题设知, 和 的定义域为 。用 代换方程中的 ,并将原方程与所得的方程联立得 解方程组得 经检验, 是函数方程的解。 例 3 求所有满足如下条件的函数 与 ,对任意实数 ,均有 解 令 代入题设方程,得 。于是 即 。令 则对任意的 ,都有 。因此, 恒等于一个常数。因此, 满足题设方程的函数是 其中 为常数。 注 当所给的函数方程中含有两个不同的变量时,一般先设法代换掉一个变量, 然后设法求出函数的表达式。 例 4 证明: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 ,满足条件: (1) 对所有非零实数 ; (2) 对所有 的非零实数对 ,有 。 证明 显然适合条件 (1)、(2)。下面证明唯一性。即设 满足条件(1)、(2)，则 。 在条件(2)中，令 ，得 ① 在(2)中以 代换 代换 ，得 ② 综合①、②式，得 ③ ③式在 时成立，所以在 时也成立。 由条件(1)及③式，当 时， ④ 从③、④式中消去 ，得 。 例 5 设 是一个给定的实数，求所有函数 ,使得对一切 ，均有 解 用 代替方程中的 ,可得 。 在这个方程的两边乘以 后减原始方程,可得 。 因此,当 时,由题意得 ,经检验这是解。 而当 时,由题意得 对一切正实数 均成立,这不可能。 故此时满足题意的 不存在。 2. 特殊值 根据所给的条件, 灵活地选取适当的自变量的特殊值, 简化函数方程, 逐步靠近未知的结果。 例 6 已知函数 的定义域为 。且对任意实数 均有 成立。求证: 是偶函数。 证明 通过取特殊值代入来解决这个问题。 令 ,得 ,再令 代入,得 , 因为 ,所以 。于是 ,即 ,故函数 是偶函数。 例 7 已知函数 满足: 对任意实数 ,都有 且 ,求 的值。 解 令 ,得 。 令 ,得 。 所以 。 令 ,得 。 令 ,得 。 所以, 。于是, 。 例 8 设 是定义在整数集 上的函数,且满足如下条件: (1) ; (2) 。 求 。 解 在条件 (2) 中令 ,得 ,即 ① 在①式中用 代换 ，得 ② 由①、②式，得 ，即 。 因此, 是周期为 4 的周期函数。取 代入 ① 式,得 。所以 例 9 设函数 ,且对任意实数 均有 ① 又 ,但 不恒等于零。 (1) 确定函数 的奇偶性; (2) 证明: 是周期函数。 解(1)用 代换①式中的 ，得 。因为 不恒等于 0,故 。 再分别用 代换①式中的 ,得 , 所以 。故 是偶函数。 (3) 分别用 代换①式中的 ,得 所以 ② 用 代换②式中的 ，得 。所以 即 是以 为周期的周期函数。 3. 递归法 函数方程的递归解法，是一种借助数列对函数方程加以研究的方法。设 是定义在正整数集 上的函数。如果存在一个递推关系 和初始条件 ,当知道了 的值,由 可以唯一地确定 的值,我们就称 为递归函数。递推法主要解决递归函数。 例 10 已知定义在正整数集 上的函数 满足: ,且 。求 。 解 对应的特征方程为 ,解得 。所以 由初始条件 ,得 解之,得 。因此 。 这就是著名的斐波那契数列。 例 11 定义在正整数集 上的函数 满足 ,及 ① 其中 为常数。求 。 解 反复利用①式，可得 易知 ② 上式用数学归纳法容易证得。在②式中令 ，便得 应该指出，“递归”的方法并不仅仅解决递归函数的问题。 4. 待定系数法 当函数方程中的未知函数是多项式时，可以用待定系数法。 例12 求满足下列函数方程的所有多项式函数 : 5. 解 设 。将它代入题设函数方程, 得 6. ① 比较上式两端 的最高次幂的指数,得 。所以, 或 1 。 当 时,① 式为 ,所以 。故 。 当 时,① 式为 , 比较两端 的同次幂的系数,得 解之,得 。 经检验, 和 均满足原函数方程。 例 13 求所有满足 的非零多项式 。 解 令 ,则 于是原函数方程化为 。设 若 中至少有一个不为 0,设 是使 的最大整数。于是 ① ② 比较①、②式中 的系数，得 。这与 ， 矛盾。从而 。于是 。 故 。于是 。 所求的多项式为 。 7. 柯西方法 用柯西方法解函数方程的步骤是:先求出对于自变量取所有自然数值时函数方程的解具有的形式, 然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这种形式, 从而得到函数方程的解。 例 14 设函数 在 上连续,并且对任意的 与 ,有 ① 证明: 必为指数函数 (其中 为某一正数),或 恒等于零。 证明 形如 的指数函数显然满足 ① 式。现在要证明满足 ① 式的连续函数,除非 ,否则必存在正数 ,使得 。 对于任意实数 ,有 。 若有一点 ,使 ,则对任意实数 ,有 因而当 时,必有 。 由①式容易推得(可用数学归纳法证明):对任意实数 和任意正整数 ，有 ② 把上式中的 换为 ，则 ，从而 。 在这个结果中用 代换 并用②式，得 。 这就证明了关系式 ③ 对正有理数 以及任意实数 成立。 在③式中，让 取一个正的递减而趋于 0 的数列，取极限 (固定 ，让 按上述方式趋于 0 ),因 在 处连续,得 ④ 在①式中令 ,得 。所以 , 这说明③式对负的有理数也成立。连同④式，知③式对任意有理数 均成立。 对于无理数 ,可以取收敛于 的有理数数列 ,代入③式后取极限 ,由 的连续性得 。 于是③式对无理数以至实数 都成立。 在③式中令 。得 ，其中 为任意实数。记 ， 把 换成 ，便得 。 学科网（北京）股份有限公司 $