第十二讲 函数方程讲义-2026年高中数学竞赛

第十二讲  函数方程

我们称含有未知函数的等式为函数方程, 例如

等都是函数方程,其中 是未知函数。

如果一个函数 对其定义域内自变量的一切值均满足所给的方程,那么称 为这个函数方程的解。

例如: 是 的解, 是 的解。需要注意的是，函数方程的解可以是一个函数，也可以是一类函数。

寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程。

有关函数方程的问题在数学中占有重要地位。我们这里主要讨论不含极限运算的简单的函数方程, 即使是这种函数方程, 也没有统一的分类和一般的解法。并且, 这些题目大都比较抽象, 解决这类问题要对函数的本质特征有深刻的理解, 同时要用一些灵活多样的解题技巧, 因而它在国内外数学竞赛中颇受命题者的青睐。下面通过例题和习题来介绍一些函数方程的解法和技巧。

1. 变量代换

变量代换的基本思想如下: 将函数中的自变量适当地以别的自变量代换 (在代换时应注意使函数的定义域不发生变化), 得到一个新的函数方程, 然后设法求未知函数。

例 1 设 为 的函数,且对任意实数 有

①

求 。

解 在①式中，以 代换 ，得

②

由①、②消去 ，得 ，即

所以, 。

经检验, 是函数方程的解。

注 1 本题中为什么会用 代换 ? 因为我们希望能求出 的表达式。研究两个二次函数 和 ,由于

③

④

发现在同一坐标系此两二次函数的图象关于直线 对称。这说明作代换 后③与④的表示式正好互换。于是便用 代换 。

注 2 这里的“检验”是解函数方程的一个组成部分,因为求 时,首先假定了方程存在解 ,这样求出的 只是满足必要性。也就是说,只要函数方程有解, 求出的 才是函数方程的解,如果函数方程无解,则求出的 并不是原函数方程的解。因此，需检验充分性。有时，所得解显然满足方程，就省略了检验过程。

例 2 已知 是偶函数， 是奇函数，并且

求 和 。

解 由题设知, 和 的定义域为 。用 代换方程中的 ,并将原方程与所得的方程联立得

解方程组得

经检验, 是函数方程的解。

例 3 求所有满足如下条件的函数 与 ,对任意实数 ,均有

解 令 代入题设方程,得 。于是

即 。令

则对任意的 ,都有 。因此, 恒等于一个常数。因此, 满足题设方程的函数是

其中 为常数。

注 当所给的函数方程中含有两个不同的变量时,一般先设法代换掉一个变量, 然后设法求出函数的表达式。

例 4 证明: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 ,满足条件: