第十四讲 三角函数的性质及应用讲义-2026年高中数学竞赛

第十四讲三角函数的性质及应用 1.正弦函数、余弦函数的有界性 我们知道，对任意实数x,有sinx≤1，cosx≤1，这条性质称为正弦函数、 余弦函数的有界性。在解题中，常常会用到 1±sinx2≥0，Asinx+Bcosx)A?+B 等式子。 例1当罩X≤受时，求y=sin2x+3 isin xcosx的取值范围。 2 解因为 y=sinx+93sinxcosx=1-cos2x3 2 n2x=n2xr 当导号时，骨2x晋是版m2x岩 的取值范围是 4 31 所以y的取值范围是 3 例2求两数f0-2g0∈R的值域。 解本题的方法很多，可用万能公式、数形结合、导数法等。记 y=fle)=,sine 2+cos 0 方法一由y20可得2y+ycos9=sin9,所以 2 y=sin0-ycos=1+y2sin(0+o). 由sin10+pjs1,得2ys+y所以ye 33 3’3 方法二：令tan =tteo,+m则 2t y=-1+i2 2t 2+162 3+t2 1+t2 用判别式法或平均不等式，可以求得 33 y∈-2,2 例2图 方法三：数形结合法。 y=-sin=sin0-0 cos0+2 cos0--2 可以看成是圆x2+y=1上的点与点-2,0的连线的斜率，由解析几何有 关知识可得 33 y∈ 如图所示。 3’3 方法四：导数法。 y=cos0(2+cos+sin0sin1+2cos0 (2+cos 0) 2+cos029 令y=0可得c=号从面有y∈3照。 3’3 方法五：根据题意知 y= sin0 21-cos'e cos0+2 cos0+22° 令t=cos0+2,则t∈1,3)，从而 y=1t2=f+46-3=-3+4-1 t2 t2”t 故y∈ 33 3’3 2.三角函数的奇偶性 正弦函数、正切函数都是奇函数，余弦函数、余切函数都是偶函数。 例3如果圆X+y=K至少覆盖函数x3sn受的一个最大值点和 一个最小值点，试求k的取值范围。 解因为fx=3sin为奇函数，图象关于原点对称，故圆x2+y=k2只需 覆盖fx的一个最值点即可。 令严-号解得f以的距原点最近的个最大值点P会，3· 依题意，解得k≥2。故k为满足k≥2的一切实数。 3.三角函数的单调性 我们常常用到的结论是：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx的单调区间。 例4在△ABC中，sinA=2。求sB+2cosC的取值范围。 2 解记f=c8+2cC:由条件知A-子或A-3。 当A=平时B=3买-C其中0<C<3妥此时 f=c0s3x-C+92c0sC 54 2 2 -sin C+ 2 cosC =sinc+e(0,1]。 4 当A3买时，B=晋-C其中0<C<牙此时 4 F-omc：小5zcmc-2nc32sc=5nlc+p 2 其中p=arctan3。 注到。e音函数g=5mlxg在b,号 上单调递增，在 2 0,4 上单调这减.又g10-322= 2 f∈(2,5]。 综上所述，f=cosB+V2cosC的取值范围是(0,1]U(2,V5]。 例5设函数fx、gx对所有x满足 fxgx<经： 证明：(1)cosf(x)>sing(x)； (2)cos cosx)>sin(sinx) 证明(1)不妨设gx>0。由已知 受+gxfx受-gx· 若fW20曲于wx在0，受 内是减函数得 cos fx>cos 径-gx=-singlx)。 若fx<0由于cosx在-，0 内是增函数得 2 cosf(x)>cos+g(x)=singlx). 2 综上所述，对所有的x,都有cos fx>sing x。 (②osx士sinso+)5inxs2<· 在(1)中令fx=cosx,gx=sinx,即得：cos(cosx>sin(sinx)。 4.对称性 例6已知函数fx=a+snx若 品-+ fo+f2019 2017 +f 2018 +f1=1010, 2019 2019 求实数a的值。 解因为ynx-号 关于点 成中心对称，所以y=fx关于点 对称，即fx+f1-x=2a所以 f+f 2 +f2019 …+f29 2017 +f 2018 +f1=2020a=1010, 2019 故a号 例7已知函数fxsn-cos+2sx5,求fx雨最小值 x 解由题设， 2sinnx-+2 f(x)= 4 x ≤X≤ 设g1x=2sin- 行经则g0,g1上是增函 4’4 数，在35 4’4 上是减函数，且y=gX的图象关于直线x=三对称。则对任意 4 f(x)= 9x1+2_9x+2、9x2+2 x, =f(x). f以在层上是减致所以层即在居到 4’4 上的最小值是45 5 5.周期性 关于周期函数有如下结论。设D是数集。 (I)设fx和gx分别是D上具有正周期T1和T2的两个函数，如 果存在正整数m1、m2,使得mT=m,T2,那么fx+gx与fxgx均为 D上的周期函数。 (2)存在D上的周期函数fx和gx,使fx+gx与fxgx都不 是周期函数。 例如，sinx和sin2x。 (3)存在D上的非周期函数fx、gx,使得fx+gx与fxgx 都是周期函数。 (4)周期函数不一定有最小正周期。 例如，狄利克雷函数Dx=L,x是有理数， 0,x是无理数。 例8求函数y=sin(cos x)的最小正周期。 解由诱导公式sin(cos(x+2π=sin(cos x)可知，2π是函数的周期。 假设最小正周期是T,0<T<2π。则 sincos(x+T=sincosx。 特别地，令x=0,sin(cosT=sin1。 另一方面，-1≤cosT<1,根据正弦函数的单调性sin cos T<sin1,这与 sin(cosT)=sin1矛盾。 故T不是函数的周期。故函数y=sin cos x的最小正周期是2π。 例9若43π是函数fx=cos nx·sin x的一个周期，求正整数n的 2021 所有可能取值。 解因为43π是函数fx=cos nx·sin x的一个周期，所以 2021 fx+43π=fx对任意实数x成立，故f43π=f0,即 c0s43msin43×2021m=0, n2 所以5in43x2021=0,故R143×2021,而43×2021=432×47，所以 n2 n=1,43° 创10设函数fx三sin+cos‘其中k是一个正整数。若对任意实 10 数a,均有{fx|a<x<a+1}={fx|x∈R},求k的最小值。 解山条件知TX-m告+oms祭-2sn合eo答 10 °10 -1-sinco 2a+3 54 54 其中当且仅当x=5m严m∈Z时，fx取到最大值。根据条件知，任意一 k 个长为1的开区间(a,a+1至少包含一个最大值点，从而5”<1，即k>5n。 k 反之，当k>5π时，任意一个开区间(a,a+1均包含fx的一个完整周期， 此时{fx|a<x<a+1}={fx|x∈R}成立。 综上可知，正整数k的最小值为5π+1=16。 例11已知数列{an满足：a1=0,对任意的n∈N,,都有an+1>an成立。 的数fin片x-oJ.xeIo.a.满延对于任点的实数me0,1), f,x=m总有两个不同的根，求数列{a,的通项公式。 解因为x∈an,an+1,所以x-an∈0，an+1-an。设x-an=t,即 gt=5in在te0,a,1-a,上满足对任意m∈[0,1，g1t1=m总有两个不 n 同的根，结合函数gt)的图象可知，周期为T=nm。 所以a,1a,=m,故a。-a1=n-1n,累加可得a,=nn,1r。 2 g(t)=sin片l y=m 2nn 3nπ 例11图