第十四讲 三角函数的性质及应用讲义-2026年高中数学竞赛

第十四讲  三角函数的性质及应用

1. 正弦函数、余弦函数的有界性

我们知道,对任意实数 ,有 ,这条性质称为正弦函数、 余弦函数的有界性。在解题中, 常常会用到

1 

等式子。

例 1 当 时,求 的取值范围。

解 因为

当 时, ,故 的取值范围是 。 所以 的取值范围是 。

例 2 求函数 的值域。

解 本题的方法很多, 可用万能公式、数形结合、导数法等。记

方法一: 由 ,可得 ,所以

2 

由 ,得 ,所以 。

方法二: 令 ,则

用判别式法或平均不等式,可以求得 。

                      

例 2 图

方法三:数形结合法。

可以看成是圆 上的点与点 的连线的斜率,由解析几何有关知识可得 ,如图所示。

方法四:导数法。

令 ,可得 ,从而有 。

方法五:根据题意知

令 ,则 ,从而

故 。

2. 三角函数的奇偶性

正弦函数、正切函数都是奇函数，余弦函数、余切函数都是偶函数。

例 3 如果圆 至少覆盖函数 的一个最大值点和一个最小值点,试求 的取值范围。

解 因为 为奇函数,图象关于原点对称,故圆 只需覆盖 的一个最值点即可。

令 ,解得 的距原点最近的一个最大值点 。

依题意，解得 。故 为满足 的一切实数。

3. 三角函数的单调性

我们常常用到的结论是: 的单调区间。

例 4 在 中, 。求 的取值范围。

解 记 。由条件知 或 。

当 时, ,其中 ,此时

当 时, ,其中 ,此时

其中 。