第四讲 集合的划分讲义-2026年高中数学竞赛

第四讲 集合的划分

我们可以用纵横交错的曲线将一个平面区域分割成互不重叠的块 (边界上的点仅属于其中的一块), 对于集合也可类似考虑。

定义 把一个集合 分成若干个非空的子集: ,如果:

(1) ;

(2) ,

那么这些子集的全体叫做集合 的一个划分,其中每一个子集叫做集合 的一个类。

集合的划分引出了大量有趣的数学问题, 同时也派生出了一系列数学方法。

1. 划分是一条必须遵循的解题准则

某些数学问题中的对象往往具有不同的性质, 这就要求我们在解题时进行分门别类的讨论。分类的准则就是我们关于集合划分的意义。

例 1 能否将集合 分拆成 3 个非空子集,使得每个子集中的元素和都是完全平方数?

解 答案是否定的。

用反证法。假设可以将集合 分拆成 3 个非空子集，使得每个子集中的元素和都是完全平方数,设 3 个子集的元素和分别为 ,则

又对任意整数 ,有 ,所以

矛盾!

例 2 求所有的正整数 ,使得可以将集合 分拆成 个 4 元子集: ,对于每个子集 中的

、 、 4 个元素而言,其中的一个元素等于另外 3 个元素的算术平均。

解 不妨设在每个子集中, 是 的算术平均,即 ,则有 ,所以

因此, 。

另一方面,当 时,集合 有满足条件的划分。记 ,则 ,可以将 分拆为如下 个子集:

_____

每个子集的第 4 个元素等于另外 3 个元素的算术平均。

2. 划分是一个行之有效的解题手段

有些数字问题似乎与划分无关, 其结论也不必分类表述, 但是在解题中如能采用划分的技巧，往往能拨开笼罩着问题的迷雾，找到自然、简洁的解法。

例 3 设 ，其中 是 个互不相同的有限集合 ,满足对任意 ,均有 。若 。证明: 存在 ,使得 属于 中的至少 个集合 (这里 表示有限集合 的元素个数)。

证明 不妨设 。设在 中与 不相交的集合有 个,重新记为 ,设包含 的集合有 个,重新记为 。由已知条件, ,即 ,这样我们得到一个映射

显然 是单映射,于是 。

设 。在 中除去 , 后,在剩下的 个集合中,设包含 的集合有 个 ,由于剩下的 个集合中每个集合与 的交非空,即包含某个 ,从而

不妨设 ,则由上式知 ,即在剩下的 个集合中, 包含 的集合至少有 个。又由于 ,故 , 都包含 ,因此包含 的集合个数至少为

(利用 ) (利用 )。

例 为 个正实数组成的集,对 的每个非空子集 ,令 为 的所有元素的和。证明: 集 可以拆分为 个子集,每个子集中最大数与最小数的比小于 2 。

证明 设 中的元素为 。令 ,

。根据 的定义，可知对于任意的非空子集 ， 属于某个 。在 中最大数与最小数相等 (等于 ),故其比为 。下面考虑 的情形。

若 ,则 中最大数与最小数之比小于

若 ,则由于满足 的集 必含有某个 ,所以 是 中的最小元素, 中最大数与最小数的比