第四讲 集合的划分讲义-2026年高中数学竞赛

第四讲 集合的划分 我们可以用纵横交错的曲线将一个平面区域分割成互不重叠的块 (边界上的点仅属于其中的一块), 对于集合也可类似考虑。 定义 把一个集合 分成若干个非空的子集: ,如果: (1) ; (2) , 那么这些子集的全体叫做集合 的一个划分,其中每一个子集叫做集合 的一个类。 集合的划分引出了大量有趣的数学问题, 同时也派生出了一系列数学方法。 1. 划分是一条必须遵循的解题准则 某些数学问题中的对象往往具有不同的性质, 这就要求我们在解题时进行分门别类的讨论。分类的准则就是我们关于集合划分的意义。 例 1 能否将集合 分拆成 3 个非空子集,使得每个子集中的元素和都是完全平方数? 解 答案是否定的。 用反证法。假设可以将集合 分拆成 3 个非空子集，使得每个子集中的元素和都是完全平方数,设 3 个子集的元素和分别为 ,则 又对任意整数 ,有 ,所以 矛盾! 例 2 求所有的正整数 ,使得可以将集合 分拆成 个 4 元子集: ,对于每个子集 中的 、 、 4 个元素而言,其中的一个元素等于另外 3 个元素的算术平均。 解 不妨设在每个子集中, 是 的算术平均,即 ,则有 ,所以 因此, 。 另一方面,当 时,集合 有满足条件的划分。记 ,则 ,可以将 分拆为如下 个子集: _____ 每个子集的第 4 个元素等于另外 3 个元素的算术平均。 2. 划分是一个行之有效的解题手段 有些数字问题似乎与划分无关, 其结论也不必分类表述, 但是在解题中如能采用划分的技巧，往往能拨开笼罩着问题的迷雾，找到自然、简洁的解法。 例 3 设 ，其中 是 个互不相同的有限集合 ,满足对任意 ,均有 。若 。证明: 存在 ,使得 属于 中的至少 个集合 (这里 表示有限集合 的元素个数)。 证明 不妨设 。设在 中与 不相交的集合有 个,重新记为 ,设包含 的集合有 个,重新记为 。由已知条件, ,即 ,这样我们得到一个映射 显然 是单映射,于是 。 设 。在 中除去 , 后,在剩下的 个集合中,设包含 的集合有 个 ,由于剩下的 个集合中每个集合与 的交非空,即包含某个 ,从而 不妨设 ,则由上式知 ,即在剩下的 个集合中, 包含 的集合至少有 个。又由于 ,故 , 都包含 ,因此包含 的集合个数至少为 (利用 ) (利用 )。 例 为 个正实数组成的集,对 的每个非空子集 ,令 为 的所有元素的和。证明: 集 可以拆分为 个子集,每个子集中最大数与最小数的比小于 2 。 证明 设 中的元素为 。令 , 。根据 的定义，可知对于任意的非空子集 ， 属于某个 。在 中最大数与最小数相等 (等于 ),故其比为 。下面考虑 的情形。 若 ,则 中最大数与最小数之比小于 若 ,则由于满足 的集 必含有某个 ,所以 是 中的最小元素, 中最大数与最小数的比 总之, 中最大数与最小数之比小于 2,所以 是符合要求的拆法。 本例中以 与 的大小关系分类相当于给每一类增加了一个条件，从而降低了证明的难度。 3. 集合的划分问题 例 4 是一个求已知集合满足某种条件的划分问题。集合的划分问题中更多的是所谓存在性问题，解决这类问题常常要用到最小数原理、反证法和数学归纳法等。 例 5 试确定所有的正整数 ,使得集合 可以分成 5 个互不相交的子集，且每个子集中元素之和相等。 解 我们先找一个必要条件,若 能分成 5 个互不相交的子集,且每个子集的元素之和相等, 则 能被 5 整除,所以 或 。 显然,当 时,上述条件不是充分的。下面用数学归纳法证明,当 时,条件是充分的。 当 ,即 时,把集合 作如下拆分: 当 ,即 时,有 。 若集合 能分成 5 个互不相交的子集，且它们各自的元素和相等，则 (或 ) 也能分成 5 个互不相交的子集，且它们每个的元素和相等。事实上，若 其中 、 互不相交， 的元素和与 的元素和相等，则令 于是 ,且 与 互不相交, 每个子集 的元素和相等。 假设对于 ,命题正确,由上面的讨论知,对于 2) 命题也成立,从而证得了当 或 时,集合 可以分成 5 个互不相交的子集,且它们各自元素的和相等。 例 6 (1)证明:正整数集 可以表示为三个彼此不相交的集合的并，且使得: 若 ,且 或 5,则 属于不同的集合; (2)证明:正整数集 可以表示为四个彼此不相交的集合的并，且使得:若 ， ,且 或 5,则 属于不同的集合。并说明: 此时将 拆分为三个彼此不相交的集合的并集时,命题不成立。 证明 (1) 令 , 则 彼此的交为空集,且 ,并且此时属于同一集合的两个元素之差为 3 的倍数，不等于 2 或 5 。这是一种满足题设条件的取法。 (2) 令 。同上讨论,可知命题成立。 假设可以将 表示为三个集合 (彼此不相交)的并集,使得: 对任意的 ,则 ,从而 或 。不妨设 ,则 且 ,故 。依此类推,可知 。这时,9 属于 中任何一个集合均导致矛盾。 例 7 求最小的和次小的正整数 ,使集合 可以分为 个互不相交的三元组 ,其中 。 解 这 个三元组 的元素之和为 (1) 若 为偶数，则必须 。 (2) 若 为奇数，则必须 ，从而 ，13， 。 当 时，可分为 5 组: , 14); 当 时,可分为 8 组: , 。 例 8 将正整数集拆分为两个不相交的子集 ,满足条件: (1) ； (2) 中没有两个不同元素，使它们的和形如 ； (3) 中也没有两个不同元素，其和具有上述形式。 证明:这种拆分可以以唯一的方式实现，并确定 1987、1988、1989 所属的子集。 证明 因为 ,所以 。设对小于 的数均有唯一的归属,且满足条件(1)、(2)、(3)。考虑 ，总有自然数 ，使 。 若 ,因 ,故 。这时,对 中任一元素 ,有 而 ,所以 不能写成 的形式。条件( 1 )、( 2 )、( 3 )成立。 若 ,而 ,故 。这时,对 中任一元素 , 条件(1)、(2)、(3)成立。 若 ,则 。必须令 与 在不同集中。这时, 设 与 在同一集中,则 ,而 (因 )。所以条件(1)、(2)、(3)仍然成立。 这说明所说的拆分可以唯一地实现。 由于 ,而 ,所以 。 同理可知 。 学科网（北京）股份有限公司 $