第五讲 集合中元素的性质讲义-2026年高中数学竞赛

第五讲 集合中元素的性质 关于集合中元素性质的问题并不是一个新课题, 例如前面的最小数原理就是一个关于集合中元素性质的定理。涉及集合中元素的性质问题主要有本节所要讨论的三类。 1. 集合中全部元素的性质 已知集合 ,如果由性质 能推出 中每个元素都满足的性质 , 那么性质 就是性质 的推论。设 ,显然有 。 例 1 已知 ,设 。求证: 。 证明 先看分母。因 ,要证明 能分别被 与 整除。由于 是连续 个正整数的乘积,故必含有 个偶数,即 。又因为 而 ,可知 是 的一部分因子的乘积。所以, 是正整数,即 。 例 2 设 ,这里 是整数,且 。令集合 求证:对任何 。 证明 分两种情形讨论。 (1) 若 ，则 。因 ，结论显然成立。 (2) 若 ，因 ，故 1 ① 任取 ,令 ,则 但由不等式①，有 ，即 ② 于是,由②式知 。 2 集合中某些元素的相关性质 有些集合的元素之间有一种天然的联系，探寻这种联系的工作是很诱人的。 例 3 设 为一个 元集合。证明: 可将 的全体子集排成一列,使得前后两个子集的元素都仅相差 1 个。 证明 这实际上是要 的子集族 的元素的某种“有序性”。对 的阶数 用数学归纳法。 当 时,有 ,将它的两个子集排列成 ,即可满足要求,命题成立。 假设当 时,命题成立。当 时, 它是由集合 添加元素 而形成的。 的子集个数为 。 由归纳假设知,可将 的全体子集排成满足题设要求的一列,不妨设 就是这样的一个排列。我们来看排列 它恰好由 的 个不同子集排成,且任意两个相邻子集的元素都仅相差 1 个。可见当 时,命题也成立。 所以，对任意的正整数 ，所述命题成立。 例 4 设 为给定的整数， 。对任意 元的数集 ，作 的所有 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 ，求 的最大值。 解 的 元子集共有 个。每个子集都有一个元素和，于是共有 个元素和。这说明 。 取集合 ，则 的所有 元子集的元素和都互不相同。 这是因为每个 元子集的元素和等于一个不超过 位的有 个数码“ 1 ”的二进制数,不同的 元子集所对应的二进制数不同,从而和也不同。 所以,这个集合 所成的集合 满足: 。 综上所述, 的最大值为 。 3 集合的真子集的性质 设集合 。如果 中的某些元素 (不是全部) 具有局部性质 ,那么这样的元素构成 的一个真子集 。显然 。 数学竞赛中一类有趣的问题是从集合 中分离出所有满足性质 的元素或求 。解决这类问题常常需要借助集合划分的技巧。 例 5 已知集合 ，对 ，将 中所有元素的和记为 。将 分为互不相交的两个子集 、 ，且 。若 ,求 的所有值。 解 由 ,且 ,故 所以 。 (1) 若 ，令 ，设 则 满足要求。 (2) 若 ，令 ，设 则 满足要求。 综上所述， 或 。 例 6 考查集合 的所有这样的子集:子集中的任何两个正整数均不相邻。证明: 这些子集中元素的乘积的平方和等于 (例如,当 时,有 。 证明 我们对 应用数学归纳法。当 时,由 知结论成立。 假设小于 时结论成立。现将 的所有满足题设的子集分成两组:第一组中诸子集均不含有 ,第二组中诸子集都含有 。 第一组正好是 时的情形,由归纳假设知其诸子集中各元素乘积的平方和等于 。 第二组除去 后的每个子集都划去元素 正好是 时的情形 (因 与 相邻，所以 不在此类子集中)，故所有这样的子集中各元素乘积的平方和等于 将上述二者相加,即得 。这说明对任意的正整数 结论成立。 例 7 给定整数 。证明: 集合 能写成两个不相交的非空子集的并,使得每一个子集均不包含 个元素 ,满足 。 证明 定义 令 。下面证明 即为满足题目要求的两个子集。 首先, ,且 。 其次,如果 中存在 个元素 满足 则 ① 不妨设 。由于 ,故 。 这 个数中至少有 个在 中。根据抽屉原理,必有某个 含有其中至少两个数,设最小的一个为 ,则 ,而 。于是 。所以 ,与①矛盾。 故 中不存在 个元素满足题中假设。 同理, 中亦不存在这样的 个元素。这表明 即为满足题中要求的两个子集。 例 8 已知集合 都是由正整数组成的集合,且 ,集合 满足以下条件: 若 ,且 ,则必有 ,定义 试确定 的最小值。 解 记 , 则 。可以证明: 。 事实上,设存在 ,则存在 ,使得 但是 ,由此得 ,则 , 又 ,则必有 ,这不可能。 因为若成立,则 ,由此得 ,即 中最多只有一个元素,矛盾,故 。 由容斥原理 另一方面,令 ,则容易验证: 若 ,则 ,因此 。 综上所述, 的最小值为 200 。 学科网（北京）股份有限公司 $