第五讲 集合中元素的性质讲义-2026年高中数学竞赛

第五讲 集合中元素的性质

关于集合中元素性质的问题并不是一个新课题, 例如前面的最小数原理就是一个关于集合中元素性质的定理。涉及集合中元素的性质问题主要有本节所要讨论的三类。

1. 集合中全部元素的性质

已知集合 ,如果由性质 能推出 中每个元素都满足的性质 , 那么性质 就是性质 的推论。设 ,显然有 。

例 1 已知 ,设 。求证: 。

证明 先看分母。因 ,要证明 能分别被 与 整除。由于 是连续 个正整数的乘积,故必含有 个偶数,即 。又因为

而 ,可知 是 的一部分因子的乘积。所以, 是正整数,即 。

例 2 设 ,这里 是整数,且 。令集合

求证:对任何 。

证明 分两种情形讨论。

(1)  若 ，则 。因 ，结论显然成立。

(2)  若 ，因 ，故

1  

①

任取 ,令 ,则

但由不等式①，有 ，即

②

于是,由②式知 。

2   集合中某些元素的相关性质

有些集合的元素之间有一种天然的联系，探寻这种联系的工作是很诱人的。

例 3 设 为一个 元集合。证明: 可将 的全体子集排成一列,使得前后两个子集的元素都仅相差 1 个。

证明 这实际上是要 的子集族 的元素的某种“有序性”。对 的阶数 用数学归纳法。

当 时,有 ,将它的两个子集排列成 ,即可满足要求,命题成立。

假设当 时,命题成立。当 时,

它是由集合 添加元素 而形成的。 的子集个数为 。 由归纳假设知,可将 的全体子集排成满足题设要求的一列,不妨设

就是这样的一个排列。我们来看排列

它恰好由 的 个不同子集排成,且任意两个相邻子集的元素都仅相差 1 个。可见当 时,命题也成立。

所以，对任意的正整数 ，所述命题成立。

例 4 设 为给定的整数， 。对任意 元的数集 ，作 的所有 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 ，求 的最大值。

解 的 元子集共有 个。每个子集都有一个元素和，于是共有 个元素和。这说明 。

取集合 ，则 的所有 元子集的元素和都互不相同。

这是因为每个 元子集的元素和等于一个不超过 位的有 个数码“ 1 ”的二进制数,不同的 元子集所对应的二进制数不同,从而和也不同。

所以,这个集合 所成的集合 满足: 。

综上所述, 的最大值为 。

3   集合的真子集的性质

设集合 。如果 中的某些元素 (不是全部) 具有局部性质 ,那么这样的元素构成 的一个真子集 。显然 。

数学竞赛中一类有趣的问题是从集合 中分离出所有满足性质 的元素或求 。解决这类问题常常需要借助集合划分的技巧。

例 5 已知集合 ，对 ，将 中所有元素的和记为 。将 分为互不相交的两个子集 、 ，且 。若 ,求 的所有值。

解 由 ,且 ,故