第三讲 最小数原理讲义-2026年高中数学竞赛

第三讲 最小数原理

集合理论的重要性在于它的方法论意义。我们知道, 有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的, 其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质, 能为解题提供方便, 而利用这种极端性的依据之一就是本节所要介绍的有关集合的一个非常重要的原理。

最小数原理 I 设 是正整数集的一个非空子集,则 中必有最小数。

最小数原理 II 设 是实数集的一个有限的非空子集,则 中必有最小数。

推论 设 是实数集的一个有限的非空子集,则 中必有最大数。

在应用最小数时, 我们应注意到事实 1、2、3，其中对 1、2 应积极加以利用:

事实 1 有限个数中一定有最大数和最小数;

事实 2 无限个正整数中有最小数;

事实 3 无限个实数不一定有最大数或最小数。

1. 用最小数原理解决存在性问题

由于最小数原理实际上是一个存在性定理, 因而与大量存在性问题的证明有着密切的关系。运用最小数原理处理存在性问题的关键首先是构造满足某种性质的数集 ,然后利用 中的最小数证明命题。

例 1 设 为整数的非空集，满足:

(1)  如果 ,那么 ;

(2)  如果 ，那么 ， 。

求证:在 中存在一个整数 ，使得 由 的所有倍数组成。

证明 若 ，则命题显然成立。

若 ,设 为 中所有正数组成的集合，则 (这是因为， 非空，存在非零 ,由条件 (1) 可知, ,在 、 中至少有一个为正)。从而 中有最小数,记为 。由 (2), ,即 。

另一方面,对任意的 有 。由 (1) 知 。 再由 是属于 的最小正整数,故只可能 ,即 。所以 。

因此 命题成立。

例 2 称平面上的一个点集是 “好的”, 如果其中任意三个点不能构成等边三角形的三个顶点。设 是平面上由 个点构成的集合,求证: 存在 的子集 ,使得 ,且 是“好的”。

分析 我们将所有“好的”子集中元素个数最多的那个取出来, 它必然要满足结论。利用最大性就可以给出其元素个数的估计。

证明 设 是 的所有“好的”子集中元素个数最多的一个,只需证明 。

当 时,命题显然成立。

当 时,对 中的任一点 ,由 的最大性知,存在 中的两个点 , 使得 是等边三角形。又对于 中的任两点 ,至多存在 中的两个点, 使得它们分别与 构成等边三角形的三个顶点。所以 ,即

故 。

注 表示集合 与集合 的差集,即 。

例 3 设 是正实数,满足对任意 ,均有 。

证明: 存在正实数 ,使得 ,且

证明 记 ,则这样的 满足要求。

因为 ,所以

因为 ,所以 。

又因为 ,所以 ,而 ,从而 。

例 4 在平面上任给 个点,其中任意三点不共线,并把其中 个点染成红色, 个点染成蓝色。求证:可以一红一蓝地把它们连成 条线段，使这些线段互不相交。

证明 因为总共只有 个点,将红点与蓝点一一配对的方法只有有限种(实际上为 种,即第一个红点可与 个蓝点中的某一个配对,有 种可能, 第二个红点与剩下的 个蓝点中的某一个配对,有 种可能, ,第 个红点与剩下的一个蓝点配对,有 1 种可能)。

对于每一种配对方法,都会得到这 条线段的长度和,这种和数只有有限个(其实不超过 个)，由原理 II 知,其中必有一个是最小的。下面来证明，这时候这 条线段是互相不相交的。