第三讲 最小数原理讲义-2026年高中数学竞赛

第三讲 最小数原理 集合理论的重要性在于它的方法论意义。我们知道, 有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的, 其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质, 能为解题提供方便, 而利用这种极端性的依据之一就是本节所要介绍的有关集合的一个非常重要的原理。 最小数原理 I 设 是正整数集的一个非空子集,则 中必有最小数。 最小数原理 II 设 是实数集的一个有限的非空子集,则 中必有最小数。 推论 设 是实数集的一个有限的非空子集,则 中必有最大数。 在应用最小数时, 我们应注意到事实 1、2、3，其中对 1、2 应积极加以利用: 事实 1 有限个数中一定有最大数和最小数; 事实 2 无限个正整数中有最小数; 事实 3 无限个实数不一定有最大数或最小数。 1. 用最小数原理解决存在性问题 由于最小数原理实际上是一个存在性定理, 因而与大量存在性问题的证明有着密切的关系。运用最小数原理处理存在性问题的关键首先是构造满足某种性质的数集 ,然后利用 中的最小数证明命题。 例 1 设 为整数的非空集，满足: (1) 如果 ,那么 ; (2) 如果 ，那么 ， 。 求证:在 中存在一个整数 ，使得 由 的所有倍数组成。 证明 若 ，则命题显然成立。 若 ,设 为 中所有正数组成的集合，则 (这是因为， 非空，存在非零 ,由条件 (1) 可知, ,在 、 中至少有一个为正)。从而 中有最小数,记为 。由 (2), ,即 。 另一方面,对任意的 有 。由 (1) 知 。 再由 是属于 的最小正整数,故只可能 ,即 。所以 。 因此 命题成立。 例 2 称平面上的一个点集是 “好的”, 如果其中任意三个点不能构成等边三角形的三个顶点。设 是平面上由 个点构成的集合,求证: 存在 的子集 ,使得 ,且 是“好的”。 分析 我们将所有“好的”子集中元素个数最多的那个取出来, 它必然要满足结论。利用最大性就可以给出其元素个数的估计。 证明 设 是 的所有“好的”子集中元素个数最多的一个,只需证明 。 当 时,命题显然成立。 当 时,对 中的任一点 ,由 的最大性知,存在 中的两个点 , 使得 是等边三角形。又对于 中的任两点 ,至多存在 中的两个点, 使得它们分别与 构成等边三角形的三个顶点。所以 ,即 故 。 注 表示集合 与集合 的差集,即 。 例 3 设 是正实数,满足对任意 ,均有 。 证明: 存在正实数 ,使得 ,且 证明 记 ,则这样的 满足要求。 因为 ,所以 因为 ,所以 。 又因为 ,所以 ,而 ,从而 。 例 4 在平面上任给 个点,其中任意三点不共线,并把其中 个点染成红色, 个点染成蓝色。求证:可以一红一蓝地把它们连成 条线段，使这些线段互不相交。 证明 因为总共只有 个点,将红点与蓝点一一配对的方法只有有限种(实际上为 种,即第一个红点可与 个蓝点中的某一个配对,有 种可能, 第二个红点与剩下的 个蓝点中的某一个配对,有 种可能, ,第 个红点与剩下的一个蓝点配对,有 1 种可能)。 对于每一种配对方法,都会得到这 条线段的长度和,这种和数只有有限个(其实不超过 个)，由原理 II 知,其中必有一个是最小的。下面来证明，这时候这 条线段是互相不相交的。 例 4 图 用反证法。假定此时有两条线段 和 相交,其中 、 是红点, 是蓝点,设它们的交点为 (如图)。由于 所以,当我们将 与 配对, 与 配对,其他的保持不变时, 条线段的长度和就减少了,矛盾。因此,这时候 条线段是互不相交的。 说明 本题所要证明的是“存在性”命题。利用最小数原理处理存在性问题的基本方法是:取最小(或最大)构造所存在的东西，然后用反证法证明。 例 5 平面上有不全在一条直线上的 个点。证明: 必有一条直线恰好仅通过这 个点中的两个点。 证明 对这 点中的任意三点 ,可计算 到直线 的距离,这样的距离个数是有限的,且由条件知这些距离值中存在正值,故有最小正值 。 例 5 图 如图，不妨设 个点中的三个点 、 、 满足: 到直线 的距离为 。我们证明 上不存在这 个点中的其他点。 反之,假设 上还有这 个点中的一点 。作 到 的垂线段 ，则由抽屉原理， 、 、 中至少有两点落在垂足 的同侧,不妨设这两个点是 ,且 。 然而,此时 到直线 的距离小于 ,与 的最小性矛盾。 从而,直线 恰好通过这 个点中的两个点。 注 该问题是 1893 年由英国数学家西尔韦斯特(J. J. Sylvester)在《教育时代》杂志上提出的。该问题看似简单，但直到 1933 年，才由加拉伊(T. Gallai)解决了厄尔多斯(P. Erdös)独立提出的同样问题。上述证法是凯利(L. M. Kelly)在大约 1944 年时给出的。 本问题有一个对偶命题: 在平面上给定 条两两不平行的直线,若对于它们中任何两条直线的交点,都有这 条直线中的另一条过这个点,则这 条直线共点。 例 6 求所有的整数 ,使得存在正整数 和 ,满足 。 解 对于固定的 ,在满足 的 中,取一组 使得 最小, 则关于 的一元二次方程 的一根为 。设另一根为 ,则由 知 ,且 ,因此 。 又 ,由 的假定知 ,因此 中必有一个为 , 不妨设 ，这样就有 。 所以 ,从而 。 取 知 可取到，取 知 可取到。 所以 。 2. 最小数原理与反证法相结合 例 7 任给一个 行 列的实数矩阵 一次操作指的是同时改变某一行或某一列的所有数的符号, 其余数均不变。求证, 可经过有限次操作,使得每一行、每一列的所有数之和均为非负数。 解 首先, 无论经过多少次操作, 矩阵中每个元素的绝对值不变, 所以矩阵中所有 个数之和 至多 种可能的取值，故在操作所能达到的一切 的值中，必有最大者。 取一个使 达到最大的矩阵,我们证明此时每一行、每一列的所有数之和均为非负数。 不然的话,不妨设第 行各数之和小于 0,则对该行再进行一次操作,新矩阵中第 行各数之和大于 0,而其余数字保持不变,于是新矩阵中各数之和必大于 ,与 的最大性矛盾！ 故命题成立。 例 8 某地区网球俱乐部有 20 名成员, 举行 14 场单打比赛, 每人至少上场一次。 求证:必有 6 场比赛，其 12 个参赛者各不相同。 证明 以无序对 表示参加第 场的比赛选手，并记 设 为 的一个非空子集,且 中所含选手对中出现的所有选手互不相同。显然这样的子集存在有限多个。设这种子集中元素个数最多的一个为 。 显然，只需证明 。 假设 。由于 是 的选手互异的集合中元素最多的集合，故 中未出现过的 20-2 r 名选手之间互相没有比赛,否则与 的定义矛盾。这意味着这 20-2 r 名选手所参加的比赛一定是同 中 名选手进行的。由于已知每名选手至少参加一场比赛,故除了 中的 场比赛之外,至少还要进行 场比赛,即总的比赛场数至少为 。这与比赛总场次为 14 矛盾。这就证明了 。 例 9 平面上有 个点,其中任意三点不共线,且任意三点构成的三角形的面积都小于 1 。证明: 存在一个面积小于 4 的三角形包含这 个点。 分析 同例 7 一样, 我们先通过取极端(最大)情况构造一个面积小于 4 的三角形,然后用反证法证明这个三角形包含了这 个点。 证明 取 个点中任意三点作一个三角形,三角形的个数是有限的(实为 1) 个)，每一个三角形都有一个面积，取其中面积最大的一个记为 。 由于每个三角形的面积都小于 1,所以 。 例 9 图 过顶点 分别作对边的平行线,得到一个 ,如图所示。显然 。 下面证明 包含了这 个点。用反证法。设 外还有这 个点中的一点,设为 ,如图所示。则 这与 的面积最大矛盾。于是 即为所求。 3. 最小数原理与无穷递降法相结合 所谓无穷递降法是这样一种解题模式: 在对问题作适当假设的前提下, 构造某个无穷递降过程,但从问题本身看, 这个过程应当是有限的, 从而产生了矛盾, 这说明假设不对，从而肯定了原命题的正确性。有时候我们可以让这个无穷递降的过程从某个最小(或最大)的元素出发，这样就把最小数原理与无穷递降法联系在一起了。 例 10 证明: 方程 ① 没有正整数解 。 证明 假设方程①有正整数解，设 是方程①的所有正整数解中 最小的一组解。由于 所以 是偶数,故 是偶数。设 ,则 ,即 4. 所以 是偶数。设 ,则 ,即 ,所以 也是偶数。设 ,代入上式得 。所以 也是 ① 的一组正整数解，且 ，矛盾。故方程①没有正整数解 、 、 。 学科网（北京）股份有限公司 $