4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边） 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形“边角边（SAS）”判定定理，通过知识回顾（全等三角形定义与性质）和分组合作探究（按给定边、角条件画三角形并比较是否全等），搭建从性质到判定的学习支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点在于以探究式学习（如画两边夹角三角形验证全等）培养数学眼光中的创新意识，通过卡钳测量、风筝问题等实例训练数学思维的推理能力，课堂小结规范“摆条件、套定理、得结论”步骤强化数学语言表达。学生能提升几何推理严谨性，教师可高效突破SSA易错点与证明规范等教学重难点。

湘教版数学八年级上册4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）专项练习 一、核心知识点梳理 1. 边角边判定定理（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。这是三角形全等判定的第一个核心定理，适用范围广，是几何证明最常用的判定方法之一。定理核心关键：必须是两组对应边和两边的夹角对应相等，缺一不可，条件具有唯一性和严谨性。 2. 夹角的精准定义：两条对应边中间所夹的内角叫做夹角，夹角必须依附于两组对应边，顶点为两边的公共端点。需严格区分夹角与非夹角，避免误用边边角判定，这是SAS定理应用的核心重难点。 3. 定理应用思路：在证明三角形全等时，优先寻找题目已知的相等边、相等角，结合图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角相等），凑齐“两边夹一角”的判定条件，先证全等，再利用全等性质推导边角相等、线段平行、角度相等结论。 4. 定理拓展结论：利用SAS判定全等后，可直接得出全等三角形的对应边相等、对应角相等，进一步求解线段长度、角度大小，解决几何计算与简单证明题型，是衔接全等性质与综合几何推理的关键。 二、本章高频易错点汇总 1. 混淆夹角与非夹角：误用“边边角（SSA）”判定全等，即两组边和其中一边的对角相等，该条件无法判定三角形全等，是本节最高频错误。 2. 条件识别不全：忽略图形隐含条件，遗漏公共边、公共角、对顶角，无法凑齐SAS判定所需的三个条件，导致证明卡顿。 3. 对应关系错误：判定全等时，边、角对应关系混乱，不是对应边、对应夹角相等却强行套用SAS定理，推理逻辑不成立。 4. 证明书写不规范：未按“摆条件、套定理、得全等、推结论”的步骤书写，条件罗列杂乱，缺少关键推理依据，答题不严谨。 三、同步专项练习题 （一）选择题（每题5分，共20分） 1. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（） A. 两边相等 B. 两角相等 C. 两边及其夹角对应相等 D. 两边及其中一边对角相等 2. 根据SAS判定定理，判定△ABC≌△DEF不需要的条件是（） A. AB=DE B. ∠B=∠E C. BC=EF D. ∠A=∠D 3. 已知AB=AC，AD平分∠BAC，可利用SAS证明全等的三角形是（） A. △ABD≌△ACD B. △ABC≌△ACB C. △ABD≌△ADC D. 无全等三角形 4. 下列关于SSA与SAS的说法正确的是（） A. SSA可判定全等 B. SAS是两边夹一角 C. SAS无法判定全等 D. SSA与SAS判定效果一致 （二）填空题（每题6分，共24分） 1. 全等三角形判定定理边角边的简写为________，判定条件是________对应相等。 2. 两边及其中一边的对角对应相等，________（填“能”或“不能”）判定三角形全等。 3. 利用SAS证明全等时，必须保证相等的角是两组对应边的________。 4. 两个三角形满足AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，可判定________≌________。 （三）解答题（共56分） 1. （16分）已知：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC为公共边，求证：△ABC≌△ADC。 2. （20分）已知：AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF，并证明∠A=∠D。 3. （20分）已知：AC⊥BD，BC=DC，AC为公共边，求证：△ABC≌△ADC。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题解析 1. C 解析：SAS定理为两边及其夹角对应相等可判定全等，SSA无法判定，单独边或角相等不能判定全等。 2. D 解析：SAS需要两组对应边和夹角，AB=DE、∠B=∠E、BC=EF即可判定，无需∠A=∠D。 3. A 解析：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD为公共边，满足SAS，可证△ABD≌△ACD。 4. B 解析：SAS定义为两边夹一角，SSA不能作为全等判定依据，二者判定效果不同。 （二）填空题解析 1. SAS；两边及其夹角 解析：边角边定理标准简写与核心判定条件。 2. 不能 解析：边边角无判定依据，无法保证三角形形状、大小完全一致。 3. 夹角 解析：夹角是SAS定理成立的核心前提，非夹角不满足判定条件。 4. △ABC；△A'B'C' 解析：满足两组对应边及夹角相等，符合SAS全等判定条件。 （三）解答题解析 1. 证明：在△ABC和△ADC中，∵AB=AD（已知），∠BAC=∠DAC（已知），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SAS）。命题得证。 2. 证明：在△ABC和△DEF中，∵AB=DE（已知），∠B=∠E（已知），BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（SAS）。∴∠A=∠D（全等三角形对应角相等）。命题得证。 3. 证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°。在△ABC和△ADC中，∵BC=DC（已知），∠ACB=∠ACD（已证），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SAS）。命题得证。 五、专项总结 本节核心掌握SAS（边角边）全等判定定理，精准区分夹角与非夹角，牢记“两边夹一角可判全等、边边角不能判定全等”的核心规则。熟练挖掘图形中公共边、公共角、垂直直角、对顶角等隐含条件，规范书写全等证明步骤，明确“条件充足、定理对应、结论严谨”的答题逻辑。SAS是初中几何最基础、最常用的全等判定方法，是后续其他判定定理学习、几何综合证明、线段与角度推导的核心基础。同学们需彻底规避SSA误用、夹角识别错误、对应关系混乱等问题，养成规范推理、步步有据的几何思维，扎实筑牢全等几何证明的核心根基。（全文1324字） 湘教版（新教材）数学八年级上册 4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边） 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/19 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 三角形 学习目标 学习目标 1.经历探索三角形全等条件的过程 2.培养学生识图、分析图形的能力； 3.能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题. 1. 什么叫全等三角形？ 能完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 2. 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3. 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角. A B C D E F 知识回顾 ① AB = DE ③ CA = FD ② BC = EF ④∠A =∠D ⑤∠B =∠E ⑥∠C =∠F 3 A B C D E F ① AB = DE ③ CA = FD ② BC = EF ④∠A =∠D ⑤∠B =∠E ⑥∠C =∠F 如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 思考：两个三角形至少需要满足其中的几组元素相等才能说明它们全等呢？ 4 分组合作探究 每个小组选择一种边和角的相等条件，根据给出的条件，每位组员画出对应的三角形，互相比较画出的三角形是否全等，将结果记录在教材的表格中。 推进新课 （1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等 不一定全等 3 cm 4 cm 不一定全等 3 cm 4 cm 不一定全等 30° 6 cm （5）有两个角分别相等的两个三角形 （3）有两条边分别相等的两个三角形 （4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形 6 cm 30° 60° 30° 30° 60° （1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等 不一定全等 不一定全等 不一定全等 （5）有两个角分别相等的两个三角形 （3）有两条边分别相等的两个三角形 （4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形 当两个三角形只有一条边（或一个角）相等时，两个三角形不一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形也不一定全等. 能否再添加适当条件，从而保证两个三角形全等? 用量角器和刻度尺画一个三角形，使它的两条边长分别为2cm，2.5cm，并且这两条边的夹角为50°.将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？ 50° 2 cm 2.5 cm 50° 2 cm 2.5 cm 50° 2 cm 2.5 cm 我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. （1）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图. A B C A′ B′ C′ A B C 将△ABC放到△A′B′C′上，使点B与点B′重合，BC落在射线B′C′上，点A与点 A′在BC的同侧，则由BC= B′C′可得，点C与点C′重合. 又∠B =∠B′，则射线BA与射线B′A′重合，由BA= B′A′可得，点A与点A′重合. 于是△ABC与△A′B′C′完全重合，从而△ABC≌△A′B′C′. （2）△ABC 和△A′B′C′ 的位置关系如图（顶点B与顶点B′ 重合）. A B′(B) C A′ C′ 将△ABC作绕点B的旋转， 旋转角等于∠C′BC， 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. B′(B) C A′ C′ A ∵BC＝B′C′， ∴线段BC的像与线段B′C′重合. ∵∠ABC＝∠A′B′C′， ∴∠C′BC =∠A′BA. 又∵BA=B′A′， ∴在上述旋转下， BA 的像与B′A′重合， 从而AC的像就与A′C′重合， 于是△ABC的像就是△A′B′C′. 由于旋转不改变图形的形状和大小， ∴△ABC≌△A′B′C′. （3）△ABC 和△A′B′C′ 的位置关系如图. A B C A′′ B′(B′′) C′′ A′ C′ 将△ABC作平移， 使顶点B的像B″和顶点B′重合， 根据情形（1），（2）的结论得△A″B″C″≌△A′B′C′， 因此△ABC≌△A′B′C′. 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. （4）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图. B C A B′ A′ C′ 在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′. A′′ B C A B′ A′ C′ 将△ABC作关于直线BC的轴对称， △ABC在轴对称下的像为A′′BC，由于轴对称不改变图形的形状和大小， 因此△ABC≌△A′′BC， A′′ B C A B′ A′ C′ 根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′， 因此△ABC≌△A′B′C′. 1．[湘潭市期中]如图，已知 ，能直接用 “边角边”证明 的条件是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 18 2. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁 四个三角形中，与 全等的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 19 返回 3. 小明用同种材料制 成的金属框架如图所示，已知 ，， ，其中 框架的质量为， 的质量 为 ，则整个金属框架的质量为 ( ) D A. B. C. D. 举一反三 20 结论 由此得到判定两个三角形全等的基本事实： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. （可简写成“边角边”或“SAS”）. 边角边定理 文字语言： 几何语言： AB = A′B′， ∠A =∠A′， AC =A′C′ ， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SAS）． A B C || | ||| A′ B′ C′ | || ||| 在△ABC 和△ A′B′ C′中， 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）． 提示 今后在解决有关两个三角形全等的问题时，一般只需用全等三角形的判定定理进行证明即可. 如图，AB和CD相交于点O，且AO＝BO，CO＝DO. 求证：△ACO≌△BDO. 证明 在△ACO和△BDO中， AO = BO， ∠AOC =∠BOD，（对顶角相等） CO = DO， ∴ △ACO≌△BDO.（边角边） 例题 2 证明的书写步骤： 1. 准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； 2. 三角形全等书写三步骤： （1）写出在哪两个三角形中； （2）摆出三个条件用大括号括起来； （3）写出全等结论. 结 小 纳 归 “两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法。 A B C C′ A B C A B C′ 发现：顶点 C 可能存在两个位置，两个三角形不一定全等. 【结论】是假命题. 练 习 1.如图，将两根钢条AA'和BB′的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具(卡钳).只要量出A'B'的长，就得出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？ 此工具是根据三角形全等制作而成的. ∵O是AA'，BB'的中点， ∴AO = A′O， BO = B′O， 又∵∠AOB与∠A'OB'是对顶角， ∴∠AOB =∠A′OB’， 在△AOB和△A'OB′中， 证明： 当堂检测 AO = A′O（已证） ∠AOB=∠A′OB′ （已证） BO=OB ′ （已证） ∴△AOB≌△A′OB′ (SAS)， ∴A′B'= AB， ∴只要量出A'B'的长度，就可以得到工件 的内径AB的长度. 当堂检测 2.如图，AD//BC，AD = BC.问：△ADC 和 CBA 是全等三角形吗？为什么？ △ADC≌△CBA， 理由如下：∵AD∥BC ∴∠DAC=∠BCA ∵在△ADC和△CBA中 AD=BC（已知） ∠DAC=∠BCA（已证） AC=CA（公共边） ∴△ADC≌△CBA(SAS) 证明： 当堂检测 3.已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点. 求证：BE=CF. ∵AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点， ∴AE=AF， 在△ABE和△ACF中 AE=AF（已证） ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∴△ABE≌ △ACF(SAS) ∴BE=CF 证明： 当堂检测 4.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF. 求证：△AFD ≌ △CEB. F A B D C E 证明： ∵AD//BC， ∴ ∠A=∠C， ∵AE=CF， 在△AFD和△CEB中， AD=CB ∠A=∠C AF=CE ∴△AFD≌△CEB（SAS）. ∴AE+EF=CF+EF， 即 AF=CE. (已知）， (已证）， (已证）， 当堂检测 5.如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，求证：BC=AD. A B C D 证明:在△ABC与△BAD中 AC=BD， ∠CAB=∠DBA， AB=BA， ∴△ABC≌△BAD（SAS）， (已知) (已知) (公共边) ∴BC=AD （全等三角形的对应边相等）. 当堂检测 31 5.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH， ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流. E F D H 解：能.在△EDH和△FDH中 ，　　 ED=FD，（已知） 　 ∠EDH=∠FDH，（已知） 　 DH＝DH，（公共边） ∴△EDH≌△FDH（SAS）， ∴EH=FH.(全等三角形对应边相等） 当堂检测 4. 在测量一个小口圆形容 器的壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法 进行测量，其中， ，测得 ，，用和 表示圆形容器的壁 厚是_________. 返回 举一反三 33 5.如图，在 的方格中，每个小方格的边长 均为1，则与 的数量关系是 ____________ ____. 举一反三 34 【点拨】如图， 在与 中， 所以 （边角边）.所以 . 又因为 ，所以 . 返回 举一反三 35 6. 如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，AB与EC交于点D，FB与EC交于点M. (1)EC与BF有什么数量关系？并说明理由． 【解】EC＝BF.理由： 因为AE⊥AB，AF⊥AC，所以∠BAE＝∠CAF＝90°. 所以∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAF. 举一反三 36 举一反三 (2)试判断EC与BF的位置关系，并说明理由． 【解】EC⊥BF.理由：由(1)知△AEC≌△ABF， 所以∠AEC＝∠ABF. 因为∠BAE＝90°，所以∠AEC＋∠ADE＝90°. 又因为∠ADE＝∠BDM，所以∠ABF＋∠BDM＝90°. 所以∠BMD＝180°－(∠ABM＋∠BDM)＝180°－90°＝90°，所以EC⊥BF. 举一反三 38 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 三角形全等的判定方法“边角边” ①已知两边，找“夹角”； ②已知一角和该角的一边，找这角的另一边. 注意 课堂小结 谢谢观看 THANKS 在△AEC和△ABF中， 所以△AEC≌△ABF(边角边)，所以EC＝BF. $