第五章二次函数单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册二次函数单元卷，含选择、填空、解答题，覆盖概念、图像性质及实际应用，注重数学眼光、思维与语言的综合考查，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像平移|基础概念辨析，如第6题平移规律| |填空题|5/15|二次项系数、最值、取值范围|性质应用，如第13题顶点最值判断| |解答题|8/75|配方法、解析式求解、实际应用|综合情境设计，如23题跳长绳方案，体现模型意识与应用意识|

第五章二次函数单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A．y=2x+1 B．y=x²−3x+2 C． D． 2．二次函数 y=−2(x−1)²−3 的顶点坐标是（ ） A．(1,3) B．(1,−3) C．(−1,−3) D．(−1,3) 3．二次函数 y=x²−4x+3 的图象与 x 轴交点的个数为（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．二次函数 y=2x²−4x+1 的对称轴为 x=1，当 x=1 时函数取得（ ） A．最大值 1 B．最小值 −1 C．最小值 1 D．最大值 −1 6．把 y=x² 的图象向下平移 2 个单位、再向左平移 1 个单位，得到的解析式是（ ） A．y=(x−1)²+2 B．y=(x+1)²−2 C．y=(x+1)²+2 D．y=(x−1)²−2 7．关于 y=−(x−1)²+4，下列说法不正确的是（ ） A．开口向下 B．顶点为 (1,4) C．当 x>1 时 y 随 x 增大而增大 D．最大值为 4 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当拱顶离水面时，水面的宽度为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．二次函数 y=−3x²+2x−5 的二次项系数是________． 12．二次函数 y=2x²−4x+2 与 x 轴的交点个数为________个． 13．当 a=2 时，二次函数 y=ax²−12x+18 在顶点处取得最______值（填“大”或“小”），该最值为 0． 14．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是_______． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．用配方法把 y=−2x²+8x−5 化为顶点式，并写出开口方向、顶点坐标与对称轴． 17．已知二次函数过 A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3) 三点. （1）求此二次函数的解析式； （2）写出顶点坐标与对称轴. 18．如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值． 20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 21．对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．如图，一小球M（看成一个点）从斜坡上的O点处抛出，球的运动路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)小球落点为A，求A点的坐标； (3)在斜坡上的B点有一棵树（看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由， 23．根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学8名，左右摇绳员各1名； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．    素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2； （2）8名跳绳同学身高如表． 身高（） 1.60 1.70 1.75 人数 2 4 2        素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．    问题解决 任务1：确定长绳形状．如图4，以长绳触地点为原点建立直角坐标系，求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的表达式． 任务2：制定排列方案．以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学． 任务3：确定安全距离，身高为的体育老师也想参与跳绳活动，当体育老师跳进大绳时，屈膝落地，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是____________． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A B B C C B B 11．−3 12．1 13．小 14．或 15．①③⑤ 16．y=−2(x−2)²+3；向下；顶点(2,3)；对称轴 x=2 解：y=−2(x²−4x)−5=−2[(x−2)²−4]−5=−2(x−2)²+8−5=−2(x−2)²+3。 ∴ 开口方向：向下（a=−2<0）；顶点坐标：(2,3)；对称轴：x=2。 17．（1）y=x²−2x−3；（2）顶点(1,−4)，对称轴 x=1 解：（1）由 A、B 为 x 轴交点， 设 y=a(x+1)(x−3)，代入 C(0,−3)： −3=−3 a a=1， ∴ y=(x+1)(x−3)=x²−2x−3。 （2）y=x²−2x−3=(x−1)²−4，顶点坐标 (1,−4)，对称轴 x=1。 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 19．(1) (2)2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （2）求出将向左平移2个单位长度得，再代入二次函数的解析式计算即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； 函数解析式为：， 顶点坐标为； （2）解： 将向左平移2个单位长度得， 把代入得， ． 20．(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 21．(1)①④ (2)另一个平衡点为 (3)或 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可； 对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可； 对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可. 【详解】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点是“平衡点”． 故答案为：①④； （2）解：将点代入关系式， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为. ∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”， ∴， 即或， 解得或， 则， 所以另一个“平衡点”的坐标是； （3）解：或． ∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”， ∴， ∴或， 即或 当，且时， 解得； 当，且时， 解得． 所以a的取值范围是或． 22．(1) (2) (3) 解：小球M不能飞过这棵树，理由如下： 时，， 当时，， ∵， ∴小球M不能飞过这棵树． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）把分别代入和，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令， 解得：，， 当时，， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 23．任务1：；任务2：绳子在最高点时，长绳不会触碰到最外侧的同学；任务3： 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解题的关键． 任务1：按照题意建立的平面直角坐标系，易得抛物线的对称轴为轴，与轴交于点，并且经过点，设出相应的函数解析式，进而把点代入即可求得长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式； 任务2：8个同学，按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，易得最外侧同学所在的横坐标，代入（1）中得到的解析式，可得最外侧同学所在的地方抛物线的高度，计算出最外侧同学屈膝后的身高，与抛物线的高度比较即可判断绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学； 任务3：由题意得身高为的体育老师屈膝落地时高度为，代入抛物线解析式可得对应的横坐标，即可求得体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围． 【详解】解：任务1：由题意设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 任务2：由题意得，最外侧的同学距中心， 当时，， ∵， ∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最外侧的同学． 任务3：∵， 当时，则， 解得， ∴体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是． 故答案为：． 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $