第二十九章 圆 单元基础卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学圆单元基础卷，覆盖点与圆位置关系、圆心角与弧、内接四边形等核心知识，结合月亮门、曲柄连杆机构等真实情境，适配单元复习，强化数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|点与圆位置关系、圆心角性质|基础概念辨析，如第2题考查圆心角与弧关系，培养几何直观| |填空题|5/15|直径与弦关系、扇形面积|结合动态问题，如第14题曲柄连杆路径长，发展空间观念| |解答题|8/75|四点共圆证明、扇环面积计算|综合探究，如第21题四点共圆条件推理，第22题纸杯扇环面积，提升推理能力与模型意识|

保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十九章 圆 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十九章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 2．下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 D．相等的弧所对的圆心角相等 3.如图，点A、B、C在上，已知，则的度数为（    ） A．80° B．70° C．60° D．50° 第3题 第4题 第5题 4.如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5.如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）．在圆形月亮门洞的截面中，表示门洞下沿宽度，D为弦的中点，经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C．已知，点C到点D的距离，则该圆形门洞的半径为（    ） A． B． C． D． 7.如图，正方形边长为6，圆的半径为1，将圆在正方形外侧无滑动的滚动一周，圆心走过的路径长度为（   ） A． B． C． D． 第6题 第7题 第8题 第9题 8.如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 9.如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，是的直径，，，则 ． 12如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为 ． 第11题 第12题 第13题 第14题 13．如图，在半径为2的中，，为弦，，连结，，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若，则的长为 ． 14曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长 为 mm． 15．如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值） 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 17.本小题分如图，的直径与弦交于点，，． (1)求的长． (2)当时，求的长． 18.本小题8分 如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 19.本小题8分如图，是的直径，是弦，与相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径 20本小题10分如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 21.本小题10分探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 22本小题12分（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 23本小题12分）如图，四边形内接于，是的直径，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)证明：； (3)过点作的垂线，垂足为点，连接，分别与，相交于点，，若，，请直接写出线段的长度． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学新教材第一学期第二十九章 圆基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版第二十九章，试卷总分：120分：考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 b 7 8 9 10 答案 A D D B D B A D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 0元 35-π 1.5412.813._2W514.3 15. 2 三、_解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题7分) 解：(1)点B在⊙C外，理由如下： 在Rt△ABC中，AC=3,AB=5, .BC=VAB2-AC2=V53-32=4, BC>3.5,即B到圆心C的距离大于⊙C的半径， ∴.点B在⊙C外： -3分 (2)作CD⊥AB于D, S.=AB-CD CD=d=ACBC-3x4-2.4 AB 当⊙C与直线AB相交时，r>2.4. …4分 17.(本小题8分) 解：(1)如图，过点O作OF⊥CD于点F. :AB是⊙0的直径，AB=4, CB E 0 ∴.OA=OD=OB=2. ∠CD0=30°， 0FOD-1 DF=V0D2-0F2=V22-1P=5 .CD=2DF=25,即CD的长为2V5:: 4分 (2)BE=2-V2,0B=2, .OE=√2 又OF⊥CD,OF=1, .CF-DF=3.EF=JOR-OF-(-P=1 .CE=CF-EF=V5-L,即CE的长为V5-L. -4分 18本小题8分解：(1)：AEB与4DB关于直线4B对称， ∴.AE=AD,BE=BD: :O为AEB的圆心，OE⊥AB, &证=BE .AE=BE; .'AE AD=BE BD, ∴四边形ADBE为菱形： .4分 (2)设⊙O的半径为R, .AB=10cm,OE⊥AB, —2 :4C-4B=cm 1分 .D为OC的中点， ..OD=DC. 设OD=DC=x,则OC=2x …1分 :AEB与DB关于MB对称， .'CE=CD=x, .OE=R=OC+CE=2x+x=3x 1分 在RtAOAC中，由勾股定理得OAP=AC2+OC2, 即32=25+4x ,解得 =V5 :R=3r=3 5.故⊙0的半径为 3v5cm …1分 19.(本小题8分)(1)证明：如图所示，连接BC,BD, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90° 又：AC=AD,AB=AB」 :.Rt△ABC≌RtsABD(HL) ∴.∠CAB=∠DAB 又，AC=AD, .AB⊥CD: 4分 B (2)解：如图所示，连接OC, 3 ⊙ :AB⊥CD,AC=AD, CE=CD=4 2 AE=AC2-CE2=8. 设OA=OC=r,则OE=8-r, 在Rt△COE中，由勾股定理得OC2=OE2+CE2, 2=(8-r）2+42 解得r=5 .OC=5,即⊙0的半径为5.- --4分 20本小题10分(1)证明：，AB=CD, .AB=CD :.AB+AD=CD+AD」 即BD=AC, :.AC=BD: 4分 (2)解：如图，连接OB、OC, D F C ..AB=CD. 4 :AB=CD, .∠ACB=∠DBC, .'EB=EC, .OB=OC, ∴.E、O都在BC的垂直平分线上， EO⊥BC. 6分 21本小题10分)(1)解：如图2，作经过点A，C,D的⊙0，在劣弧AC上取一点E(不与A,C重 合)，连接AE,CE则∠AEC+∠D=180°（圆内接四边形对角互补） :∠B=∠D,.∠AEC+∠B=180°， 点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B,D在点A,C,E所确定的OO上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点A,B,C,E四点在同一个圆上，故答案为：①，③；--- --…每空2份，共4分 D ·0 图2 (2)解：在线段CD同侧有两点A,B,∠I=∠2，A,B,C,D四点共圆， .AD=AD,∠4=∠3=45°，故答案为：45°；-- 2分 (3)①证明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB, :E点与C点关于AD对称，∠ACD=∠AED,∠AED=∠ABD,A,D,B,E四点共圆： -2分 ②解：AD·AF=8,理由如下，如图，A,D,B,E四点共圆，∠FBD=∠DAE, :AE,AC关于AD对称，.LDAE=LDAC,.∠DAC=∠DBF, :LADC=LBDF,∠F=∠ACD,AB=AC,∠ABD=∠ACD,∠F=∠ABD, AB AD 又：∠BAD=∠FAB,△BADAFAB,AFAB,ADAF=AB2,:AB=22,AD·AF=8. -…2分 —5 22.本小题12分解：(1)该纸筒的侧面积为2 12x9=54(cm2） 故答案为：54；-- ---4分 (2)设OB=八，∠A0D=n°， n×2r×π n×2(r+AB)xπ 。= ..BC 3601 AD 360 n×2r×π :.'元nx2(+B)x元+AB Sg-0a失5awoB+Ba 1 ·扇环ABCD的面积为=S扇形On-S扇形aOC -o8+a0800安 1 1 1 rl 1 =30cm,=20cm,48 =8cm ∴，扇环ABCD的面积为2 ×8×(30+20)=200(cm2） -4分 (3)设图形ABCD的高为h, 自2利5=北。}团 ,AD等于EH的长，BC等于FG的长， :&=(0+BCEr h<AB,AB=CD=EF=GH, ∴h<EF, 5=(AD+BC)h S<8. —6 故答案为：<. 4分 23本小题12分) 解：(1)△ABC是等腰直角三角形，理由如下： 因为AB是OO的直径，∠CAB=45°， 所以∠ACB=90°， 则∠BAC=∠CAB=45° 故△ABC是等腰直角三角形； -4分 (2)过点C作CH⊥BD交BD于点H,过点C作CP⊥AD交AD的延长线于点P,如图所示： P E B 由(1)知△ABC是等腰直角三角形， 得AC=BC 因为BC=BC, 所以∠CDB=∠BAC=45° 在Rt△CDH中，∠DCH=∠CDB=45, 所以DH=CH 则DC2=DH+CH2=2DH, DH-DC 即 2 因为AB是⊙O的直径，CH⊥BD,CP⊥AP 所以四边形PDHC是矩形， 因为∠CDB=45°、 所以四边形PDHC是正方形， 则CH=PD 因为DC=DC 所以∠PAC=∠HBC, 因为AC=BC,∠APC=∠BHC=90° 所以△APC≌△BHC(AAS) 则AP=BH DH-DC 因为 2 4P-AD+DP-AD+DH=ADDC 所 2 BD-BH+DH-AP+DH-AD+CD+CD-AD+CD 2 …4分 (3)解：由(2)知四边形PDHC是正方形，连接OD,如图 E ◇、C D B 则∠BDE=45° 因为AD=6,CD=2,CH=DH 所以CH2+DH2=2, 解得CH=1, 因为(2)中，BD=AD+V2CD 所以BD=8, 在Rt△ABD中，AB=VAD2+BD2=10.OB=5 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2=100, 即BC=5W2, 因为过点B作CD的垂线，垂足为点E, 所以BE L DE DCHDCE 因为 2 BE-BDXCH-8x1-4V 所以 DC √2 则CE=3V2 因为∠BDE=45°，BE⊥DE 所以△BED是等腰直角三角形， 则DE=BE 因为OD=OB 所以OE是BD的垂直平分线， 即OG是△ABD的中位线， OG=AD=3 所以 2 则∠CEF=45°=∠OBF, 8 GE-DG=1BD-4 即 所以OE=OG+GE=3+4=7 因为∠CFE=∠OFB, 所以△CFE△OFB, CE CF EF 则OB OF BF 32_CF EF 即57-EF5√2-CF 5CF =212-32EF,30-3V2CF=5EF CF=152 解得： 7 ---4分 9保密大启用前 九年级数学新教材第一学期第二十九章 ·圆基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版第二十九章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前，填写好自已的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2.答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3.有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出 答题区域书写的答案无效。 4.请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1已知⊙0的半径是6，点P到圆心O的距离是5，则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙0内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 【答案】A 解：，⊙O的半径r=6,点P到圆心0的距离d=5, .d<r, 点P在⊙O内 故选：A. 2.下列说法中正确的是() A.三点确定一个圆 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧D.相等的弧所对的圆心角相等 【答案】D 解：，三点共线时不能确定一个圆，∴A错误： ,相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中成立，选项未指定条件，∴B错误： ,过弦（不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧，∴.C错误： ,相等的弧所对的圆心角相等，这是圆的基本性质，D正确： 故选D 3.如图，点A、B、C在⊙0上，已知∠AOB=100°，则∠ACB的度数为() B A.80° B.70° C.60° D.50 【答案】D 解：：AB=AB 1 ∠ACB=5∠AOB=×100°=50° 2 故选：D. 4.如图，⊙0中，OB=3,∠A0B=100°，则AB的长是() 0 5 5 10 A. π 6 B.3π C.3π D.2 【答案】B 100π×35 解：由题意得，AB的长是1803π 故选：B 5.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=150°，则∠BCD的度数为() D A.75° B.90° c.100° D.105° 【答案】D 解：∠BOD=150°， ·∠BAD=号∠B0D=750 2 ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°， .∠BCD=105° 故选：D 6在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）· 在圆形月亮门洞的截面中，AB表示门洞下沿宽度，D为弦AB的中点，DC经过圆心O并延伸至门洞项部 最高点C.已知AB=1.8m,点C到点D的距离CD=2.7m,则该圆形门洞的半径为() AD B A.1.3m B.1.5m C.1.6m D.1.8m 【答案】B 解：如图，连接OA, C A D B ,D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=1.8m, CD⊥AB,AD=BD=0.9m, 3 设拱门所在圆的半径为”， .OA=OC=r,而CD=2.7m, .OD=2.7-r, 产=0.9+(2.7- 解得：r=1.5, ∴.拱门所在圆的半径为1.5m 故选：B 7.如图，正方形边长为6，圆的半径为1，将圆在正方形外侧无滑动的滚动一周，圆心走过的路径长度为 A.24 B.32 C.24+2元 D.24+6元 【答案】c 解：正方形边长为6， .正方形周长为24， 圆转动时在四个角上共转动了360° ∴.圆心在四个角走过的路程为1×2-2π， ∴.圆心走过的路径长度为4×6+2π=24+2π」 故选：C. 8.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上，若 AB=1.∠B=60°，则点C走过的路径长为() 4 E 60° D B 3π √3π A. 3 B.6 D.π 【答案】A 解：如图， E 60° ∠BAC=90°，∠B=60° .∠C=30°， AB=1, .BC=2AB=2」 AC=BC2-AB 由旋转的性质得：AD=AB,AC=AE=V :∠B=60°， :.△ABD为等边三角形， .BD=AD=AB=1,∠BAD=60°，即旋转角为60°， .∠CAE=60° 0xπ×V3√3π 点c走过的路径长为 180 3· 故选：A. 5 9.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=I2.点P沿折线AB→BC运动，在DP上总有点Q满足 ∠AQD=90°CQ ,则的最小值为（) B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】c 解：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD=8,AD=BC=12,AD /BC. ∠AQD=90° ∴点Q在以AD为直径的⊙O上， “当C2O三点共线时，CQ取得最小值，如图， ⊙ O ,0n-片4D=6,CD=AB=8, .0C=V62+82=10. :.CQ=10-6=4 故选：C. 10.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，C为BD上一动点，且AD=AB,OO的半径为 2,有下说法：mC4平分∠BCD,@三角形4BD是等边三角形，回BD=25,08C+CD=4C:⑤四 ④1 6 边形1BCD 43 最大面积是 ·其中正确说法的个数是() 0° B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 解：AD=AB, .AB=AD .∠ACD=∠ACB,即CA平分∠BCD,故①正确： :四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠BAD+∠BCD=180° .∠BCD=120°， .∠BAD=60°， AD=AB, ,三角形ABD是等边三角形，故②正确： 如图，连接OD、OB,过点O作OE⊥BD, D E B 则 OBE乙ABD=309 .⊙0的半径为2， ..OE=10B=1 .BE=VOB2-0E2=√3 :BD=2BE=23,故③正确： 如图，在AC上截取CF=CD,连接DF, 1 D B .∠DCF=60° ∴△DCF是等边三角形， ∴.DF=DC,∠FDC=60°， :∠ADF+∠BDF=∠ADB=60°，∠BDF+∠BDC=∠FDC=60°， .∠ADF=∠BDC, 在△ADF和△BDC中， AD=BD ∠ADF=∠BDC DF=DC △ADF≌△BDC(SAS) ..AF=BC, :AC=AF+CF=DC+BC,故④正确： 如图，连接AO,并延长AO交BD于点M, D A B :△ABD是等边三角形， w=r-0-5nw-0w-an-w BD=25 .AB=BD=23 在Rt△ABM中， AM=VAB2-BM=25-(5=3 So80aM=x25x3=35 1 ∴.当△BCD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大， ∴当点C在BD的中点时，△BCD的面积最大， ⊙0的半径为2， ∴.点C到线段BD的最大距离是2×2-3=1， 8 BDX1=1x23x1=3 ∴.△BCD的最大面积是2 2 :四边形ABCD的最大面积是Sm+S.cm=35+5=45,故⑤正确： 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个 故选：C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 1.如图，8是O0的直径，∠B0C=42,BC=CD=D ,则∠A0E= B 【答案】54 解：BC=CD=DE, .∠C0D=∠D0E=∠B0C=42°， ,AB是直径， ∠AOB=180° ∠A0E=180°-42°×3=54°， 故答案为：54. 12)如图，已知⊙0的半径为5，圆心角∠AOD与∠BOC互补，若弦CD=6,则弦AB的长为一 C 【答案】8 解：过A点作直径AE,连接BE,如图，则：AE=2×5=10, C E 由题意：∠A0D+∠BOC=180°， ∴.∠AOB+∠COD=180°， 9 ∠AOB+∠BOE=180°， ∴.∠BOE=∠COD ∴BE=CD=6, AE为直径， .∠ABE=90°， 在Rt△ABE中，AE=10,BE=6, AB=V102-62=8, 故答案为：8. 13.如图，在半径为2的⊙0中，AB,AC为弦，∠CAB=90°，连结OA,OB,过点C作A0的垂线， 交A0的延长线于点D.若AB=2OD,则AC的长为一· D 【答案】 25 解：如图，连接CO,过点O作OE⊥AB交AB于点E, D B .∠CAB=90° CB是直径，经过点O, .OA=OB,OE⊥AB, .AB=2BE ,O为CB中点，E为BA中点， ∴.OE为△CBA的中位线， 2 AB=20D 10- :.OD=BE; 在RIACOD和Rt△OBE中， CO=OB OD=BE, RiACOD RiAOBE(HL) 2 1 CD=OE=AC .∠D=90°， sin∠CAD= 2 .∠CAD=30°，∠OAB=90°-30°=60°， :.△OAB为等边三角形， ∴.AB=OB=2. :CA=VCB2-AB2=4-2=2 2v5 故答案为： 14曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱 动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆PQ带动曲轴做圆周运 动.静止时，活塞处于点Q处，且0，P,Q三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，己知 1600元 OP=40mm,且完成一次进气过程，Op扫过的扇形面积为3mm,则完成一次进气过程中，点p运 动的路径长为 mm. 11 曲轴截面 连杆 活塞 汽缸 80元 【答案】3 解：如图， 曲轴截面 连杆 活塞 汽缸 … 设Q0与⊙0交于点M,完成一次进气过程，OP扫过的扇形为扇形OPM, 设∠POM=n, 1600元 -mm2, :完成一次进气过程，OP扫过的扇形面积为3 :mr×402_1600r 360 3 ,解得n=120, .∠POM=120°， 由题意得，完成一次进气过程，点P运动的路径即为PM, 120×2m×40_80(mm）】 ∴·点P运动的路径长为360 3 80元 故答案为：3 15.如图，在菱形ABCD中，分别以点A、C为圆心，AD、CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E, F.若B=5 ∠ADC=120° ,则图中阴影部分的面积为一· (结果不取近似值) 33-π 【答案】2 解：构造扇形ABD,扇形CBD,连接BD, 12 :菱形ABCD既是中心对称图形，也是轴对称图形， “.S第形BD=S扇形CBD, :S花腰=S前形ABD十S扇形CBD一S菱形ABCD, ∴.S花据=2S扇形ABD-S菱形BcD, S用影=S扇形HBD一S花程=S角形BD-(2S扇形BD一S菱形4BCD)=S菱形BCD一S扇形BD, 在菱形ABCD中，AB‖CD,AD=AB ∴.∠DAB=180°-∠ADC=180°-120°=60°， “.S扇形ABD= 604B 60x) 360-3602,AD=AB=BD=3 令AC,BD交于点O, 在R1aAB0中，∠BA0=30°， OB=B=5 2 2AO=VAB2-BO=号 -)BDA0=x×3-35 :S.AB S50=25.m=2×1 3W53W3 24 42, ·S阴影=S菱形ABCD-S扇形ABD= 35元3W3-π 222」 35-π 故答案为： 2 A 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题7分)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5,以C为圆心画圆. 13— C B (1)当⊙C的半径为3.5时，点B与⊙C有怎样的位置关系： (2)当⊙C与直线AB相交时，求OC的半径r. 解：(1)点B在⊙C外，理由如下： 在Rt△ABC中，AC=3,AB=5, BC=VAB2-AC=V52-32=4, :BC>3.5,即B到圆心C的距离大于⊙C的半径， ∴点B在⊙C外： (2)作CD⊥AB于D, D B 王⊙·B=2A-○ CD-d=AC-BC=3x4=24 AB 5 当⊙C与直线AB相交时，r>2.4. 17.本小题8分)如图，⊙0的直径AB与弦CD交于点E,AB=4,∠CD0=30° (I)求CD的长. (2)当 E=2-√2 、CE 时，求的长， 解：(1)如图，过点O作OF⊥CD于点F. AB是⊙0的直径，AB=4, -14 B D ..OA=OD=OB=2. :∠CD0=30° OF=OD=1 DF=V0D2-0F2=22-12=V5, ∴CD=2DF=2W5,即CD的长为2W5: (2)BE=2-V2,OB=2, 0E=2」 又OF⊥CD,OF=1, .CF=DF-.EF=OE-OF-(2-=1 .CE=CF-EF=V5-l,即CE的长为5-1 18.(本小题8分 如图。B与D关于直线对琳，0为圆心， OE⊥AB A B (1)求证：四边形ADBE为菱形： (2)若D为OC的中点且AB=10cm,求⊙0的半径. 解：(1)：AB与ADB关于直线AB对称。 .AE AD,BE BD: :O为AEB的圆心，OE⊥AB, -15— :征=E .AE=BE ∴，AE=AD=BE=BD, .四边形ADBE为菱形； .4分 (2)设⊙O的半径为R, .AB=10cm,OE⊥AB, AC=号AB=Scm .…00…1分 D为OC的中点， ..OD=DC, 设OD=DC=x,则OC=2x, .1分 EB与DB关于MB对称， ..CE=CD=x, OE=R=00+C=2=3... 在RtAOAC中，由勾股定理得OAP=AC2+OC2, 即3=25+4 x=5 ,解得 :R=3x=35 故00的半径为 v5cm .1分 CD AC、ADAC=AD 19.本小题8分)如图， MB是0的直径，CD是弦，MB与CP相交于点B,连 AB⊙O D B (I)求证：AB⊥CD 2诺4C=45,CD=8,求O0的半径 16- (1)证明：如图所示，连接BC,BD, .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90° 又，AC=AD,AB=AB, :.Rt△ABC≌RteABD(HL) ∴，∠CAB=∠DAB」 又AC=AD, .AB⊥CD: A E B (2)解：如图所示，连接OC, A E B :AB⊥CD,AC=AD, CE-CD-4 2 .AE=AC2-CE2=8, 设OA=OC=r,则OE=8-r, 在Rt△COE中，由勾股定理得OC2=OE+CE2, :2=(8-r）+4 解得r=5」 .0C=5,即⊙0的半径为5. AB、CD⊙O AC BD E AB=CD 20本小题10分)如图， 是的两条弦，与相交于点， 17 D (1)求证：AC=BD (2)连接BC,作直线EO,求证：EO⊥BC, (1)证明：，AB=CD, .AB=CD」 .AB AD CD+AD, 即BD=AC .'AC=BD. (2)解：如图，连接OB、OC, D .AB=CD. .AB=CD .∠ACB=∠DBC, .EB=EC. .OB=OC. ∴，E、O都在BC的垂直平分线上， .EO⊥BC 21.(本小题10分探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的 四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究 【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么 A,B,C,D四点在同一个圆上 【探究展示】如图2，作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合)，连接 AE,CE,则∠AEC+∠D=180°（依据1）；：∠B=∠D,.∠AEC+∠B=180°， 18 ∴点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B,D都在点A,C,E所确定的⊙O上（依据2）；∴点A,B,C,E四点在同一个圆上： 【反思归纳】①圆内接四边形对角互补：②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；④同圆中，同弧所对的圆周角相等： (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1： ；依据2： (从框内选一个选项，直接填序号) (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2=70°，∠3=45°，则∠4的度数为： 【拓展探究】(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,点D在BC上（不与BC的中点重 合)，连接AD.作点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交AD的延长线于F,连接AE,DE, 求证：A,D,8,E四点共圆：②考B=25,D 的值是否会发生变化，若不变化，求出其 值；若变化，请说明理由. D D 3少 E 图1 图2 图3 图4 (1)解：如图2，作经过点A,C,D的⊙0，在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合)，连接AE, CE则∠AEC+∠D=180°（圆内接四边形对角互补） ,∠B=∠D,.∠AEC+∠B=180°， ∴，点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个项点共圆） ∴点B,D在点A,C,E所确定的⊙0上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆） ∴点A,B,C,E四点在同一个圆上，故答案为：①，③： D E B 图2 (2)解：，在线段CD同侧有两点A,B,∠1=∠2，A,B,C,D四点共圆， 19 AD=AD,∠4=∠3=45°，故答案为：45°： (3)①证明：：AB=AC,∠ABC=∠ACB, :E点与C点关于AD对称，∠ACD=∠AED,∠AED=∠ABD,∴A,D,B,E四点共圆； ②解：AD·AF=8,理由如下，如图，A,D,B,E四点共圆，∠FBD=∠DAE, :AE,AC关于AD对称，∴.∠DAE=∠DAC,.∠DAC=∠DBF, :∠ADC=∠BDF,∠F=∠ACD,AB=AC,∠ABD=∠ACD,∠F=∠ABD, AB AD 又：LBAD=∠FAB,△BAD△FAB,AFAB,.ADAF=AB2,:AB=2V2,AD·AF=8. 12cm cm 22(本小题12分)(1)某冰激凌纸简展开后得到半径为，弧长为 的扇形，则该纸筒的侧面积为 _cm'; (2)如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环ABCD(可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的 部分)，其中4D的长为30cm C的长为20cm,4B的长为8cm.求扇环4BCD的面积： (3)知图②，梯形46CD面积为3，扇环EFGH面积为，且4D等于丽的长，BC等于元的长， 51 MB=CD=EBF=GH,则S S2 (选填“>”、“<”或“=”) B B E C ① ② 解：)该纸筒的侧面积为212×9=54m) 故答案为：54： (2)设OB=八，∠AOD=n° nx2(r+AB)xπ AD 360 20 n×2r×π :'元nx2(G+AB)x元7+AB BC, SawowSmo(B+AB) 1 BC . ∴扇环ABCD的面积为=S扇形On-S扇形BoC =号oB+A8H。01 1 1 1 1 rl。+ABl。 1 1 2”+24B2+24B1 1 54+）】 2 =30cm,20cm8cm ÷扇环BCD的面积为2×8x(30+20)=20(cm) 1 (3)设图形ABCD的高为h, 由2得5，-2+}F 10 ,AD等于EH的长，BC等于FG的长， S:=(AD+BCYEF 2 ..h<AB,AB=CD=EF=GH, ..h<EF, 8-40+aCh .8<S.. 故答案为：<， ABCD -⊙0ABa⊙0 ∠CAB=45° 23(本小题12分)如图，四边形内接于， “是的直径， 21- E (1)判断△ABC的形状，并说明理由； 2)证明： BD=AD+2CD 包过点°作C”的垂线，垂足为点E,连接OE,分别与BC,BD相交于点P,G,若1D=6,CD=5 CD 请直接写出线段CF的长度， 解：(1)△ABC是等腰直角三角形，理由如下： 因为AB是⊙0的直径，∠CAB=45°， 所以∠ACB=90°」 则∠BAC=∠CAB=45°」 故△ABC是等腰直角三角形： (2)过点C作CH⊥BD交BD于点H,过点C作CP⊥AD交AD的延长线于点P,如图所示： P E D B 由(1)知△ABC是等腰直角三角形， 得AC=BC 因为BC=BC 所以∠CDB=∠BAC=45° 在Rt△CDH中，∠DCH=∠CDB=45°. 所以DH=CH, 则DC2=DH2+CH=2DH2, 1￥c 即 因为AB是OO的直径，CH⊥BD,CP⊥AP 22 所以四边形PDHC是矩形， 因为∠CDB=45° 所以四边形PDHC是正方形， 则CH=PD 因为DC=DC 所以∠PAC=∠HBC, 因为AC=BC,∠APC=∠BHC=90° 所以△APC≌△BHC(AAS) 则AP=BH DH=DC 因为 2 4P-AD+DP-AD4DH-ADDC 所 2 D-BH+DH-AP+DH=AD CD+ CD=AD+√2CD 即 2 2 (3)解：由(2)知四边形PDHC是正方形，连接OD,如图 2 D ◇、C B 则∠BDE=45° 因为AD=6,CD=V2,CH=DH 所以CH+DH=2, 解得CH=1, 因为(2)中，BD=AD+V2CD 所以BD=8, 在Rt△ABD中，AB=V√AD2+BD2=10,OB=5 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2=100, 即BC=52, 因为过点B作CD的垂线，垂足为点E, 所以BE⊥DE Sm号8nxcH-古DcxB服 因为 23 BE=BDXCH=8x1=42 所以 DC 2 则CE=32 因为∠BDE=45°，BE⊥DE 所以△BED是等腰直角三角形， 则DE=BE 因为OD=OB 所以OE是BD的垂直平分线， 即OG是△ABD的中位线， 所以oc=40=3 则∠CEF=45°=∠OBF, GE=DG=BD-4 即 所以0E=OG+GE=3+4=7 因为∠CFE=∠OFB, 所以aCFE∽△OFB. CE CF EF 则OB OF BF 3V2 CF EF 即57-EF5√2-CF 则5CF=21N2-3V2EF,30-3√2CF=5EF CF=15 解得： 71 24※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十九章 圆 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十九章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 2．下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 D．相等的弧所对的圆心角相等 3.如图，点A、B、C在上，已知，则的度数为（    ） A．80° B．70° C．60° D．50° 第3题 第4题 第5题 4.如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5.如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）．在圆形月亮门洞的截面中，表示门洞下沿宽度，D为弦的中点，经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C．已知，点C到点D的距离，则该圆形门洞的半径为（    ） A． B． C． D． 7.如图，正方形边长为6，圆的半径为1，将圆在正方形外侧无滑动的滚动一周，圆心走过的路径长度为（   ） A． B． C． D． 第6题 第7题 第8题 第9题 8.如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 9.如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如图，是的直径，，，则 ． 12如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为 ． 第11题 第12题 第13题 第14题 13．如图，在半径为2的中，，为弦，，连结，，过点C作的垂线，交的延长线于点D．若，则的长为 ． 14曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长 为 mm． 15．如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值） 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 17.本小题分如图，的直径与弦交于点，，． (1)求的长． (2)当时，求的长． 18.本小题8分 如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 19.本小题8分如图，是的直径，是弦，与相交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径 20本小题10分如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 21.本小题10分探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上． 【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上； 【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆； 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等； （）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ． （从框内选一个选项，直接填序号） （） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ； 【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，． 求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 22本小题12分（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 23本小题12分）如图，四边形内接于，是的直径，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)证明：； (3)过点作的垂线，垂足为点，连接，分别与，相交于点，，若，，请直接写出线段的长度． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $