21.2.4 一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过“不解方程判断根的情况”的问题导入，结合配方法推导求根公式的过程引出Δ=b²-4ac，搭建从已有知识到新知识的学习支架。 其亮点在于以严谨推导培养推理意识，通过例2根据根的情况求字母系数范围等例题发展运算能力，用表格清晰总结判别式与根的关系体现模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2.4 一元二次方程根的判别式 1 1. 理解一元二次方程根的判别式. 2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 3. 能应用根的判别式解决一元二次方程根的相关问题. 情景引入 问题：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ (1)x2－5x＋6＝0； (2)x2－4x＋4＝0； (3)x2＋2x＋3＝0. (1) b2－4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 知识模块一　一元二次方程根的判别式的推导 自学互研 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 (x ＋ )2 ＝. （✻） 当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得 x ＋ ＝ . 如果会怎么样? (2) b2 - 4ac = 0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3) b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知 ＜0， x1 = x2 = - . 而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. x ＋ ＝ . 也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 两个相等的实数根 我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示， 即 Δ＝b2－4ac. 并且有： ax2 + bx + c = 0(a≠0) Δ ＞ 0 Δ= 0 Δ＜ 0 两个不相等的实数根 无实数根 根据Δ的取值，可以判断方程根的情况. 观察方程 (x ＋ )2 ＝. （✻）， 我们发现有如下三种情况： （1）当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： x1＝，x2＝ ； 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况　 （1）3x 2 =5x - 2; （2） ; 解：(1)原方程可变形为 3x2-5x+2=0 因为∆=(-5)2-4×3×2=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根 (2)因为∆= 所以方程有两个相等的实数根 （3）4(y2+1)-y=0 （2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根： （3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边 (x ＋ )2 ，因此方程没有实数根. x1＝x2＝； 11 （3）4(y2+1)-y=0 (3)原方程可变形为4y2-y+4=0 因为∆=(-1)2-4×4=-15<0 所以方程没有实数根. 合 探 作 究 计算“情境引入”三个方程的 b2－4ac的值： (1)x2－5x＋6＝0； (2)x2－4x＋4＝0； (3)x2＋2x＋3＝0. 解：(1)Δ＝25－24＝1>0； (2)Δ＝16－16＝0； (3)Δ＝4－12＝－8<0 概括 这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 14 判断一元二次方程根的情况的一般步骤 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.定系:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: 确定b2-4ac的符号; 4.判断：b2-4ac >0 两个不相等的实数根; b2-4ac =0 两个相等的实数根; b2-4ac<0 没有实数根. 知识模块二　用根的判别式判断一元二次方程根的情况 自学互研 例7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0； （3）4(y2 + 1) – y = 0； 解 （1）原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0. 因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0；（2）4x2 = 12x − 9；（3）7y = 5( y2 + 1 ). 解：（1）∵a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． （3）7y = 5( y2 + 1 ). （3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0. ∴ 方程没有实数根． 例7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0； （3）4(y2 + 1) – y = 0； （2）因为 Δ = _______________________，所以方程________________________. 有两个相等的实数根 (－2)2－4×4×＝4－4＝0 例7 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 = 5x – 2； （2）4x2 – 2x + = 0； （3）4(y2 + 1) – y = 0； （3）原方程可变形为_________________. 因为 Δ =_____________________________，所以方程________________________________. 4y2 – y + 4 = 0 (– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64= – 63＜0 没有实数根 例2 已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根； (3)当k取何值时，方程没有实数根； 解：因为a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k, 所以∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9 此时的a,b,c 是什么?你能表示出Δ吗？ （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴16k+9>0，解得k> （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴16k+9=0，解得k= （3）∵方程没有实数根， ∴16k+9<0，解得k< ∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9 知识模块三　由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的值或取值范围 自学互研 已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程没有实数根？ 试一试 解 因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9. 当16k + 9 = 0，即k = － 方程有两个相等的实数根. 当16k + 9 > 0，即k＞ － 时，方程有两个不相等的实数根. 当16k + 9 ＜ 0，即＜ － 方程没有实数根. 在数形结合的学习过程中，缩小是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。棱柱表面积与棱柱表面积之间存在密切联系，都需要标准化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在加权平均数的学习过程中，运用是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在几何概型的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。 2. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ） A. k＜5 B. k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根， ∴ k＜5且k≠1， 故选B. B 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ = b2 − 4ac< 0 Δ= b2 − 4ac≥0 注意：1.一元二次方程化为一般式 2. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 针对本节课关键词“根的判别式”，谈谈你的收获. 课堂小结 这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 2. 关于 x 的一元二次方程 x²－10x＋a² = 0 有两个相等的实数根，则 a = ______. 1. 若一元二次方程 kx²＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k ≥ -1 C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0 D 2.小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类方程必有实数根:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根.他的说法是否正确?为什么? 正确 证明过程： 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式为：Δ＝ . ∵a、c异号，即ac＜0, 是一个数的平方， ∴ 0. ∴ Δ＝ ∴方程一定有两个不相等的实数根，小明的说法是正确的。 ∴ 4.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则△ABC的形状为____________. 直角三角形 思路点拨：将关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0 化为一般形式(a+c)x2＋2bx+(a-c)=0， ∵x的两根相等， ∴Δ =0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0， 化简得b2+c2=a2，满足勾股定理， ∴△ABC是直角三角形. $