安徽淮北市华曜港利高级中学2025-2026学年高二年级下学期开学检测数学试题

准北市华曜港利高级中学高二年级开学检测 高二数学参考答案 1B解桥，由题设：告得》骨-去则：=音多放嘘部为昌放选B 2A解析：由x-4<0解得-2<x<2,即A=(x-2≤x≤2，由<04(x-3)(x+1)<0解得-1<x<3,即 B={x|-1<x<3},所以A∩B={x|-1<x≤2}.故选A. 3.D解析：令1=x(x十a),又y=(号)'在R上单调递减，所以要使fx)=(兮)c在区间(0,2)单调递增，则 1=x(x十Q)在区间(0,2)单调递减，所以由1=x(x十）=(x+受)2-的开口向上且对称轴为x=一号得一号≥2，解 得a≤-4.故选D. 4.D解析：如图所示，连接CD1,AD1,根据长方体的性质易知BC1∥AD1,所以异面直线AC与BC1 D 所成角，即为直线AC与AD1所成角，则∠D1AC或其补角即可所求，不妨AA,=AD=2AB=2a,在 △D1AC中，AD1=2√2a,D1C=AC=√5a,所以由余弦定理得cos∠DAC= B 区o。5@-平即异面直线AC与BC,所成角的余弦值为，放选D 2X2W2aX√5a 5.C解析：方法一：因为A,C,D三点共线，所以AC∥C市，则存在实数μ，使得AC=μCD,由已知得 Cd=4e1+8e2+4e3,AC=Ai+BC=2e1+(1十λ)e2+2e3,故4ue1+8ue2+4ue3=2e1+(1+A)e2+ 2=4μ 2e,由于e1,e,e不共面，故1+x=84,解得=2.故选C. 2=4μ λ=3 方法二：因为向量e1,e2,e3不共面，所以AC∥CD,由已知得Cd=4e1+8e2+4ea,AC=AB+BC=2e1+(1+λ)e2+2eg, 故向量表达式中，6，的系数对应成比例，即号-告2=吴，解得入=3.故选C 8 6.B解析：由点P与点A关于Oy之平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得P(一1,1， 1),所以B泸=(-3,2,1)，B泸1=√(-3)2+22+1=√14，故选B. 7.A解析：对于①，因为7×0.8=5.6，所以该组数据的第80百分位数是第6个数据，为11，故①错误；对于②，如1=1 十i,之2=1一i,则1十之2=2∈R,1·2=2∈R,但1，之2不为实数，故②错误；对于③，因为a·n=(0,1,一1)·（1，一 1,一1)=0，所以a⊥n,所以1⊥α或1Ca,故③错误；对于④，根据方差的性质，新数据的方差为22×2=8，所以新数据 的标准差为√⑧=2√2，故④错误；对于⑤，因为空间向量的基底是由3个不共面的向量组成，而向量α，b与任何向量不 能构成空间向量的一个基底，所以α，b一定共线，故⑤正确.综上，只有⑤正确.故选A. 8.B解析：如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A'(2,0,2),C(0,2,2),M(1,2,1), DA=(2,0,2),DC=(0,2,2),设平面DA'C'的一个法向量为n=(x0,y,),则 2+2=0令x=1,则%=1，=-1，放m=(1,1-1),设P(,,则D币= /2x0十2z=0 (x,y,z),n⊥D泸，x十y-之=0，又：PM=PD,.√x2十y十z √(x-1)2+(y-2)2+(之-1)，整理得x十2y十之=3，联立方程 |x十y-z=0 x+2y十=3'则 A y=3-2x 0≤x≤2 3 3 可得0≤3322解得0≤≤号当=0时，P(0,1,1);当实 3 l02 P,(号，0，)，记MD的中垂面为a,又P是△ACD内（包括边界）的动点，：在空间中满足PM=PD,点P的轨迹 是平面。与三角形ACD的公共部分，即点P的轨迹为线段P,P,则P,P-√？+1+-空故选R 【高二开学检·数学答案第1页（共4页）】 Z301B 9.BCD解析：对于A,若m∥a,n∥a,则m、n平行、相交或异面，故A错误；对于B,如图1所示，若m∥a,过直线m作平 面B,使得a∩B=a,由线面平行的性质定理可知a∥m,因为n⊥a,aCa,则n⊥a,故m⊥n,故B正确；对于C,如图2所 示，若a⊥B,m⊥B,m￠a,设a∩B=a,在平面a内作直线n⊥a,由面面垂直的性质定理可得n⊥B,因为m⊥3，故m∥n, 因为m中a,nCa,故m∥a,故C正确；对于D,如图3所示，因为a⊥Y,B⊥y,a∩B=m,设a∩y=a,在平面&内作异于直 线m的直线n,使得n⊥a,由面面垂直的性质定理得n⊥Y,由C选项可知n∥B,因为nCa,a∩B=m,则n∥m,故m⊥Y, 故D正确.故选BCD. 图1 图2 图3 10.BC解析：对于A,单位向量是模长为1的向量，无法确定a,b的方向，故A错误；对于B,由向量共线定理可得此结论 正确，故B正确；对于C,由b|=|a+b|=2可得b2=a2+b2+2a·b,故a2=-2a·b,|a-b|=√a2+b2-2a·b= V2a+F=V2+4=6,故C正确；对于Da在b方向上投影的数量是1ac0sa,b)=a:b=-1X3+3X0=-1,故 b 3 D错误.故选BC. 11.AD解析：对于A,A庐·AB=(-2)×1+1×(-2)十4×1=0，A产·AC=1×4+(-2)×2十1×0=0，所以 AP⊥AB,AP⊥AC,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,所以AP⊥平面ABC,所以AP是平面ABC的一个法向量，故 -2=4λ A正确；对于B,设A官=入AC+uA,则1=2十4μ，无解，所以A,B,C,Q四点不共面，故B错误；对于C,P= 4=44 动-市=(-1,63)，成=花-=(61，-40，局≠9≠所以P咬与C不平行，故C错误：对于D, √62+1+(-4)产=√53，故D正确.故选AD. 12.(6,-3,3)解析：AB·CA=(5,-5,3)·（-2,1,-1)=-10-5-3=-18,可得AB在CA方向上的投影向量为 A克.C.CA=-18.-2,1,-1=-3(-2,1,-1)=(6,-3,3).故答案为(6，-3,3). CACA√4+1+I√4+1+I 13.1解析：如图建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA=a,则B(1,0,0), E(号1,0)，P(0,0a),设F(0y,0),则B肺=(-1，y,0),Pt=(号1，-a),因为BFLPE,, B,P店=-号十y=0,y=号，即F0,合，0)是AD的中点，放5=1.放答案为1 14.{xkm≤x≤号+x,k∈Z)解析：f(x)=c0s(2x+吾)，g(x)=x+2025,则f(x)=√后 -2sin(2x+若)，g'(x)=1,由[f)+g(x)]'≤0，可得-2sin(2x+若)+1<0，即sin(2x+若)≥分，所以答+2kr≤ 2x十吾<晋+x,kEZ,解得饭≤x≤音十，k∈乙，即不等式的解集为{xkr≤<晋+x,k∈Z.故答案为 {xkx≤x≤晋十k元，k∈Z. 15.解析：(1)由题意可知，该公司一天所生产的产品数为 n+300+180+420+400+600=n+1900.… (1分) 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则8030=30解得n100.…………… (3分) 有取的样本中有力个精品装产品，则号-6000解得力=3，………………………………（⑤分 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为C一C心-9 C号-10 (7分) 【高二开学检·数学答案第2页（共4页）】 Z301B (3)由题意，某项指标总体的平均数为180X10+420×12=11.4,…。 (9分) 600 所以向分层拍样的总体方差公式可得产-582+(1.4-10)门+81.8+(1.4一12)门 180×99+420×54=675=2.7.… 6002560025250 (13分) 16.解析：(1)因为g(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1)2+1十b-a,且a>0, 可知g(x)的图象开口向上，对称轴为x=1,可知g(x)在[2,3]上单调递增， (3分) 则8(2)=1+6=1 a=1 g3)=9a-6a+1+6=4:解得 (6分) b=0 (2)由(1)得g(x)=x2-2x十1，… (7分) 因为存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2一tm+7对任意的t∈[0,5]恒成立， 由(1)可知，g(x)在[3,4]上单调递增，则g(x)min=g(3)=4, (9分) 可得4<2m2-tm十7，即f(t)=一mt+2m2+3>0对任意的t∈[0,5]恒成立，… (11分) f(0)=2m2+3>0 可得 f(5)=-5m+2m2+3>0解得m<1或m>三， (14分) 故实数m的取值范围为(-0,1儿（受，十o).… (15分) 17.解析：1)因为AM1=2MB,则Ai=号A店=号（才+AB)=-号AA+号A忘， 所以D成=D+=-A市+(-号A+号动)-3a-b-专c, 又因为AN1-}1NC,则AN=心=子(AA+A恋+A市， 所以DN=DA+AN=-A市+是AA+Ai+A市)=是A店-A市-是AA产 taio-ic. 1 … (8分) (2)证明：因为MN=N-AM=4(-AA+AB+A市)-(-}AA+号A) 2A-+a市=壶a+b+2, MD-AD"-AM-AD"-(-3AA'+3AB)--3q+b+3c. 所以MN=子MD, (12分) 所以M亦与MD共线， (13分) 因为这两个向量有公共点M, (14分) 故M、N、D三点共线.证毕.… (15分) 18.解析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(4,0,0),B1(4,4,2),C(0,4,0), 2 D 故B1C=(-4,0,-2),…(1分) 因为B1P=入B1C=λ(-4,0，-2)=(-4λ，0，-2)(0≤1≤1)， B .P(4-4,4,2-2),故Ap=（-4λ，4,2-2λ)，… (3分) 则|PA|=√(-4λ)2+42+(2-2λ)7=√2012-81+20= 2v5-2以+5=2V5a-)+4 5 (5分) 故当A=号时，PA取得最小值2√-0， 5 …(6分) 【高二开学检·数学答案第3页（共4页）】 Z301B (2)PA取最小值时，A=号，B市=号BC,则P心=号B心， (7分) 放V-=V-=Saes·AB=×号Sna·AB=号×号X号BA·BCAB 51 君×号×号×2x4X4=聘 (11分) (3)因为D1(0,0,2),A1(4,0,2), 则AD=(-4,0,2),AC=(-4,4,0),A1户=(-4λ，4，-2)，… (12分) 设平面A1CD的一个法向量为m=(x,y,z), 故AD·m=-4x十2z=0,且AC·m=-4x十4y=0,… (14分) 取之=2，则m=(1,1,2), (15分) 由于A1P∥平面ACD,时，故A1m,即-4以+4-4以=0，解得X=2 (17分) 19.解析：(1)方法一：证明：结合题图可知， P哺=A本-A市，DM=2D+D心=2(A市-A市+A本-2A市)=2A市+2A市-是A市， 由题得Ai.AD=A产.AB=A市.AD=0,|A=|A, 则Pi,DM=(店-A的)·（号A市+2A$-是）=合A:-2A:=0, 所以P克⊥Di,即PB⊥DM.… (5分) 方法二：证明：以A为坐标原点，A,A市，A户的方向分别为x,y,之轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,0),C(2,1,0). 因为M为PC的中点，所以M1,7,1,所以P店=(2,0，-2)，DM=(1,-号，1D, 又Pi.DM=2X1+0X(-多)+(-2)×1=0，所以P$1D脑，即PB1DM..(5分) (2)方法一-：因为DM=A脑-A市=号A市+2AC-A市，A心=A市+B心=A范+号A市，则 D成=2A市+2A市-子A市，从而 D脉=(2分A市+2A店-A市2=子A+A恋+A市+2A市，A店-是A市，A市-是A店.A市=×4+是× 4+最×1+0-0-0-2+是-则-9，即DM的长为 2 …（11分)》 方法二：由1)，Di=(1,-号，1D则D=√+（一号）+1-受，所以DM的长为 2 2 (11分) (3)方法一：由于P市=A市-A泸，A心-A+号A市， 因此1PD12=AD-A泸12=|AD12-2AD.A泸+|A2=4-0+4=8,故1PD1=2√2. AC2=Ai+号A市2=1A2+2A在.号A市+子ad-4+0+1=5,故1aC=5.… (14分) A衣.P币=(A+2A市·(A市-A)-A市=2， 故cos<AC,P市)=2 =10 。。 √5·2√2 10 …(17分) 方法二：AC=(2,1,0),P市=(0,2，一2)， 所以AC.Pd=2X0十1X2+0X(-2)=2,AC=√5,1P市1=2√2，… (14分) 则os(A心，Pi》=A.P助 2 =√10 AC|PD1√5×2W2 10 (17分) 【高二开学检·数学答案第4页（共4页）】 Z301B淮北市华曜港利高级中学高二年级开学检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案填在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 自力府 案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册：空间向量基本知识到向量的运 用（到直线与平面的位置关系）。 圜 :: 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知复数之满足(1一i)z=2十i,则复数之的虚部为 自长 B.3 D.- ☒ 2已知集合A=(x2-4长0，B=x行 <0),则AnB= A.{x|-1<x≤2} B.{x-2≤x<3} C.{x|-2≤x≤2} D.{x|-2<x<-1} 3.若函数f()=(宁)+在区间(0,2)单调递增，则a的取值范围是 A.(-0∞，4] B.[4,+o∞) C.[-4,+∞) D.(-∞，-4] 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB,则异面直线AC与BC1所成角的余弦 值为 A 以号 C.0 4 D.V10 5 5.设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=e1十e2十e3,BC=e1十λe2+e3,Cd=4e1+8e2+4e3,若A,C, D三点共线，则λ= A.1 B.2 C.3 D.4 6.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1,1,1),B(2,一1,0)，若点P与点A关于Oyz平面对 称，则B驴1= A.√13 B.√14 C.23 D.√11 【高二开学检·数学卷第1页（共4页）】 Z301B 7.下列选项中，正确的个数是 ①数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12 ②若之1十2∈R且1·z2∈R,则之1，之2为实数 ③若直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面a的法向量n=(1,一1，一1)，则l∥a ④若样本数据x1,x2,…,xm的方差为2，则2c1十3,2x2十3，…，2xn十3的标准差为8 ⑤如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a,b一定共线 A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M是正方形BB'CC的 D' 中心，P是△A'CD内（包括边界）的动点，满足PM=PD,则点P的轨 A 迹长度是 M A.1T 2 B.①4 2 C.√/T D.√14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a、3、y表示三个不同的平面，、n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥a,n⊥a,则m⊥n C.若a⊥B,m⊥B,m寸a,则m∥a D.若a⊥y,3⊥Y,a∩B=m,则m⊥Y 10.下列命题中正确的是 A.若a,b是单位向量，则a=b B.若a∥b(b≠0)，则存在唯一的实数入，使得a=b C.若向量a和b,满足a=1,|b|=a十b1=2,则a-b川=√6 D.若向量a=(-1,3),b=(3,0),则a在方向上投影的数量是-3y0 10 11.已知A克=(-2,1,4)，AC=(4,2,0),A产=(1，一2,1)，A友=(0,4,4)，则下列说法正确的是 A.AP是平面ABC的一个法向量 B.A,B,C,Q四点共面 C.P夜∥BC D.BC=√J53 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知AB=(5,一5,3)，CA=(一2,1，一1)，则AB在CA方向上的投影向量 的坐标为 13.如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是 AD上一点，当BFPE时，部 14.已知f(x)=cos(2x+),g(x)=x+2025,则关于x的不等式[f(x)+g(x)]Y≤0的解集 为 【高二开学检·数学卷第2页（共4页）】 Z301B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的A、B、C 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下 表：（单位：个） 产品A 产品B 产品C 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中B款产品有30个. (1)求n的值； (2)用分层抽样的方法在C款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其 中至少有一个精品装产品的概率； (3)对抽取到的B款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精 品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的B款产品的某种指标的总体 方差。 16.(15分) 已知函数g(x)=a.x2-2ax十1十b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a,b的值； (2)若存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2一tm十7对任意的t∈[0,5]恒成立，求实数m的取值 范围 【高二开学检·数学卷第3页（共4页）】 Z301B 17.(15分) 四棱柱ABCD-A'B'C'D'的六个面都是平行四边形，点M在对角线A'B上，且|A'M|= 号MB1,点N在对角线AC上，且AN=号NC (1)设向量A克=a,AD=b,AA=c,用a、b、c表示向量DM、DN; (2)求证：M、N、D'三点共线， 18.(17分) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4,CC1=2.P为B1C上一动点，记B1户= λB1C (1)求线段|PA的最小值； D (2)当PA|取最小值时，求三棱锥CAPB的体积； B (3)当A1P∥平面ACD时，求入的值. 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面 ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M为PC的中点. (1)求证：PB⊥DM; (2)求DM的长； : (3)求cos(AC,PD). M 【高二开学检·数学卷第4页（共4页）】 Z301B