2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考提分训练卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程与特殊四边形，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合握手问题、利润计算等生活情境及“等邻边四边形”新定义，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义（1）、菱形性质（3）、中点四边形（5）|结合表格数据判断方程解范围（7），体现数据分析能力| |填空题|6/18|方程根应用（12）、菱形周长计算（13）、矩形动态最值（16）|矩形中线段和定值（15），考查几何直观| |解答题|8/72|解方程（17）、利润问题（22）、正方形动态探究（24）|新定义“等邻边四边形”证明与计算（23），根与系数关系推理（25），培养创新意识与推理能力|

2026年9月份第一次月考提分训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 测试范围：北师大版九年级上册第一章、第二章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 2．矩形的对角线长为，其中一边长为，则该矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 4．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 5．顺次连接四边形各边中点得到四边形，若四边形的形状是菱形，则原四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 6．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学有x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 8．要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（  ） A．度量四个内角是否相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 9．如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（） A．4 B．6 C．8 D．12 10．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 12．已知是方程的一个根，则__________． 13．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______． 14．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______． 15．如图，在矩形中，，，P是上不与A、D重合的一动点，，，E、F为垂足，则的值为_______． 16．如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 18．已知代数式． (1)当为何值时，代数式A比B的值大2； (2)求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 19．如图，在四边形中，点H是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点E，F，使，连接，． (1)求证：． (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 20．如图，的对角线相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 21．已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 22．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 23．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点，，在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上． （2）如图2，，，平分，求证：四边形为“等邻边四边形”． （3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，点是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 24．如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 25．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C D D A D B C 11．-1 12．7 13．20 14． 15． 16． 17．【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 18．【详解】（1）解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； (2) ∵， ∴， ∴对于任意的值，代数式的值恒为正数． 19．(1)证明：∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)解：当时，四边形是矩形． ∵， ∴四边形是平行四边形， ，， ∴当时，， ∴是矩形． 20．(1)证明：四边形为平行四边形， ， ，， 且， 四边形是平行四边形； (2)证明：由（1）知四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形为菱形； （3）解：菱形中， ，， 是等边三角形， ， ， 菱形中， ， 由（2）知四边形是矩形， ，， ． 21．【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 22．【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 23．【详解】（1）如图 （2）， 平分 ， 四边形为“等邻边四边形” （3），，， ，， ， ①当时，； ②如图3，当时，作于， 在中， ， ，， ； ③当时，设，由②得，，，则， 在中，， 即， 解得，，即， ， 综上所述，当为或或时，四边形是“等邻边四边形”． 24．(1)问题1：， 证明：如图1，在上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是正方形外角的平分线， ， ， 在和中， ， ， ； 问题2：成立， 证明：如图2，在延长线上取点，使得，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接、， 正方形，边长为， ，， 是正方形外角的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ，即的最小值为 周长， 周长的最小值为． 25．【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 学科网（北京）股份有限公司 $