15.3.2 等边三角形-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）江西专用

又：AC=AD,∠ACB=∠ADB, ∴.△ABC≌△AFD(ASA). (2)由(1)知△ABC≌△AFD, ..AB=AF 又BE=FE,.AC⊥BD 10.40°或70°或100°【解析】①当BC=CD时，如图① 所示。 :∠A=20°，AB=AC, ∠ABC-7180°-∠A)=80 :BP平分∠ABC,∴.∠CBD=40° BC=CD,∴.∠BDC=∠CBD=40°； ②当BD=BC时，如图②所示 由①可知，∠CBD=40°. ,BD=BC,.∠BDC=∠BCD= 2(180°- ∠CBD)=70°： ③当DB=DC时，如图③所示. 由①可知，∠CBD=40°. ,'BD=CD,∴.∠CBD=∠BCD=40°，.∠BDC= 180°-∠CBD-∠BCD=100°. 综上所述，∠BDC的度数是40°或70°或100°. 图① 图② 图③ 第2课时等腰三角形的判定 1.C2.B3.C4.B5.D6.A 7.B【解析】：OD∥AB,∴.∠ABO=∠BOD. BO平分∠ABC,∴.∠ABO=∠OBD, ∴.∠BOD=∠OBD,∴.OD=BD 同理可得OE=CE, .△ODE的周长为OD+OE+DE=BD+CE+DE =BC=10 cm. 变式题(1)16(2)BD-CE=DE 【解析】(1)DE∥BC, ∴.∠E=∠ECB,∠D=∠DBC. :CE平分∠ACB,BD平分∠ABC, ∴.∠ECB=∠ACE,∠DBC=∠ABD, .∠E=∠ACE,∠D=∠ABD. ..AE=AC,AB=AD, ∴.AB+AC=AD+AE=DE=9, ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=DE+BC=9+7=16. (2),BF,CF分别平分∠ABC,∠ACM,∴.∠DBF= ∠CBF,∠FCE=∠FCM.:DF∥BC,∴.∠DFB= ∠CBF,∠EFC=∠FCM,.∠DBF=∠DFB, ∠FCE=∠EFC,.BD=FD,EF=CE,.BD-CE -FD-EF=DE 412 八年级数学RJ版 8.80 9.证明：.BE=CF, .BE+EF=CF+EF,BF=CE. 在Rt△ABF和Rt△DCE中， (BF=CE, AB=DC, .Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), .∠AFB=∠DEC,.OE=OF. 10.解：(1)证明：AB=AC, ∴.∠B=∠C DE∥AB, .∠EDC=∠B, .∠EDC=∠C, ..CE=DE. (2),'AB=AC,AD是△ABC的中线， .AD⊥BC, .∠ADC=90. ∠C+∠CAD=90°，∠ADE+∠CDE=90. 由(I)知，∠EDC=∠C,CE=DE, ∴∠DAE=∠ADE, ..AE=DE, ,AE=CE,即E是AC的中点. 11.3 12.解：如图，点D即为所求.。 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1.D2.C3.24 4.证明：：△ABC为等边三角形， .∠ABD=∠C=60°，AB=BC. 在△ABD和△BCE中， (AB=BC, ∠ABD=∠C, BD=CE. ,'.△ABD≌△BCE(SAS),.AD=BE. 5.解：(1)△DBC和△EAC全等. 理由：，△ABC和△EDC都是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∠DCE=60°，AC=BC,DC=EC, .∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD, ∴.∠BCD=∠ACE, ∴.△DBC≌△EAC(SAS). (2)证明：△DBC≌△EAC, .∠B=∠EAC=60° 又∠ACB=60°，∴∠EAC=∠ACB, ∴.AE∥BC. 6.C【解析】如图，连接BD .∠BCE=120°. .∠BCD=180°-∠BCE=180°-1201 =60°. 又CD=BC,∴.△BCD是等边三角形， ∴.BD=CD=50cm,此时B,D两点之间的 距离为50cm, 7.C【解析】：∠BAC=120°，AD平分∠BAC,∴∠BAD 1 =∠CAD=2∠BAC=60, DE∥AB,∴.∠ADE=∠BAD=60°， .∠ADE=∠DAE=60°， .△ADE是等边三角形，∴.AE=AD=3,∴.AC=AE +CE=3+5=8. 8.2 9.2.5【解析】AB=AC,∠ABC=60°，∴.△ABC是 等边三角形，点A在BC的垂直平分线上，∴.BC=AB =5.DB=DC,.点D在BC的垂直平分线上， ∴AD垂直平分BC,BE=2BC=2.5 10.解：(1)：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC. 又，AE⊥BC,∴.BE=CE, ∴.BC=2BE=12,∴.AB=BC=12, (2)证明：：△ABC是等边三角形，.AC=BC,∠C =60°. .BD⊥AC,AE⊥BC, ∴CE=BC.CD=2AC. 1 ∴.CE=CD. 又，∠C=60°，∴.△CDE是等边三角形. 11.解：(1)△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60°. 又：∠2=∠3，∴.∠ABC-∠2=∠ACB-∠3，即 ∠ABD=∠BCE, .∠BEC=180°-∠2-∠BCE=180°-（∠2+ ∠ABD)=180°-60°=120. (2)是.理由如下： 由(1)可知，∠BEC=120°，∴.∠DEF=60°. 同理可得∠DFE=∠EDF=60°， ∴△DEF是等边三角形. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.B2.D3.C4.45.(1)30°(2)36.C7.7.2 易错易混专练等腰三角形中的 分类讨论问题 1.c28号 8 3.解：设等腰三角形顶角的度数为x,则底角的度数为x十30° 或x一30° 当底角的度数为x十30°时，由题意，得x+2(x+30) =180°， 解得x=40°，则x十30°=70°. 此时三个内角的度数分别为40°，70°，70°； 当底角的度数为x一30°时，由题意，得x十2(x一30°) =180°， 解得x=80°，则x-30°=50°. 此时三个内角的度数分别为80°，50°，50° 综上所述，这个等腰三角形三个内角的度数分别为 40°，70°，70°或80°，50°，50°. 4.解：分以下三种情况讨论： ①当J顶角为(2x一2)°时，(2x一2)+2(3x一5)=180， 解得x=24,.2x-2=46,3.x-5=67, ∴.这个等腰三角形三个内角的度数分别为46°， 67°，67°； ②当顶角为(3.x-5)°时，(3x-5)十2(2x-2)=180, 解得x=27, .2x-2=52,3x-5=76, 这个等腰三角形三个内角的度数分别为76°， 52°，52°： ③当两个底角分别为(2x一2)°和(3x一5)°时，2x一2= 3x-5,解得x=3,.2x-2=4, .顶角为180°-2×4°=172°， ∴这个等腰三角形三个内角的度数分别为172°，4°，4 综上所述，这个等腰三角形三个内角的度数分别为 46°，67°，67°或76°，52°，52°或172°，4°，4°. 5.D 6.D7.(9,3)或(-1,3)或(-4,3) 8.解：分以下两种情况讨论： ①在等腰三角形ABD和等腰三角形ACD中，DA= DB,DA=DC,如图①，则∠B=∠DAB,∠C =∠DAC. ,AB=AC,∠B=∠C,.∠B= ∠C=∠DAB=∠DAC. 又三角形的内角和为180°， B ∠C=45°： 图① ②在等腰三角形ABD和等腰三角形ACD中，AB= DB,DA=DC,如图②，则∠DAB=∠BDA,∠DAC =∠C. AB=AC,∴.∠B=∠C. :∠BDA=∠C+∠DAC=2∠C, ∴.∠DAB=2∠C, ∴.∠B+∠DAB+∠BDA=5∠C= 图② 180°，∠C=36. 综上所述，∠C的度数为45°或36. 9.A 10.75°或15°【解析】分以下两种情况讨论： ①如图①，·CA=CB,∠ACD=30°， ∠B=∠CAB=180,30°=75， 2 ②如图②，·CA=CB, ∴∠B=∠CAB=2∠ACD=号×30=15. 上册详解详析 13Λ15.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 色知识要点扫描 已基础对点训练 1.定义：三条边都相等的三角形叫作等边 知识点① 等边三角形的性质 三角形， 1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边 2.性质：等边三角形的三个角都相等，并 上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 且每一个角都等于60° 3.判定：(1)三个角都相等的三角形是等 A.25 B.60° 边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是 C.85 D.95° 等边三角形 经典例题剖析 【例1】如右图，A,B是池塘两 侧的端点，在池塘的一侧选取一点 第1题图 第2题图 也塘 O,测得OA的长为6m,OB的长 B 2.（2025一2026南京溧水区检测)如图，BD是 为6m,∠O=60°，则A,B两点之间的距离是 等边三角形ABC的边AC上的高.以点D ( 为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线 A.4m B.6m C.8m D.10m 于点E,连接DE,则∠DEC= 【答案】B A.20° B.25°C.30 D.35 【点拨】，OA的长为6m,OB的长为6m, 3.如图，△ABC是等边三角形，CB=CD, .OA=OB.又∠O=60°，.△ABO是等边 ∠ABD=12°，则∠ACD的度数为 三角形，AB=OA=6m,∴A,B两点之间的 距离是6m. 【例2】如右图，直线11∥ 12,△ABC为等边三角形.若 ∠a=25°，则∠3的度数为 第3题图 B 4.如下图，D,E分别是等边三角形ABC的边 【解】359 BC,AC上的点，且BD=CE,BE与AD交 【点拨】过点B作直线BD∥l1,交AC于点 于点F.求证：AD=BE D,如右图所示。 :直线BD∥1， ∴.∠ABD=∠a=25. .'△ABC是等边三角形， B ∴.∠ABC=60°，∴.∠CBD=∠ABC ∠ABD=60°-25°=35°. :直线BD∥1，直线l1∥l2, ∴.直线BD∥L2,∴.∠3=∠CBD=35°. 上册第十五章 43△ 5.(2025一2026新余期末)如下图，在等边三角 形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为 一边，向上作等边三角形EDC,连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由. 第8题图 第9题图 (2)求证：AE∥BC. 9.如图，AB=AC=5,DB=DC.若∠ABC= 60°，则BE= 10.如下图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC, AE⊥BC,垂足分别为D,E,连接DE. (1)若BE=6,求AB的长， (2)求证：△CDE是等边三角形. 知识点②等边三角形的判定 6.如图所示的是某种落地灯的简易示意图，已 知悬杆CD=支杆BC,且∠BCE=120°.若 CD的长度为50cm,则此时B,D两点之间 的距离为 A.40 cm B.45 cm C.50 cm 11.(教材变式)如右图，已知 D.55 cm △ABC是等边三角形，且 E ∠1=∠2=∠3. D (1)求∠BEC的度数. (2)△DEF是等边三角形吗？请说明理由. 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分 ∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AB交 AC于点E.已知AD=3,CE=5,则AC的长 为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 8.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示 的方式放置，已知∠a=60°，点B,C表示的 刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm. 44 八年级数学RJ版 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 知识要点扫描 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 第2题图 第3题图 几何语言：如右图，在Rt△ABC中， 3.在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，尺规作 :∠C=90°，∠A=30°， 图痕迹如图所示.若AB=15,则点D到AC 边的距离为 () BC=7AB A.3 B.4 注意：(1)该性质是含30°角的直角三角形 C.5 D.6 所特有的，一般的直角三角形没有这个性质； 4.(2025一2026龙南期中)如图，∠AOP= (2)这一性质与等边三角形联系密切，在等边 ∠BOP=15°，PC∥OA,PD⊥OA.若PC= 三角形中作高可得含30°角的直角三角形 8,则PD的长为 经典例题剖析 【例】如右图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB D 的垂直平分线交BC于点D, 第4题图 第5题图 交AB于点E.若AC=8,则BD的长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE. A.10 B.12 (1)∠ABE的度数为 C.16 D.18 (2)若BE=2,则AC的长为 【答案】C 知识点②含30°角的直角三角形的应用 【点拨】由DE是AB的垂直平分线可得 6.如图，一棵树与地面垂直，在一次强台风中 AD=DB,故有∠DAB=∠B=15°.由∠ADC 于离地面4m处折断倒下，倒下的部分与地 =∠DAB+∠B可得∠ADC=30°，故有AD 面成30°夹角.这棵树在折断前的高度为 =2AC=16,由AD=DB得最后结果. ( 已基础对点训练 A.4m B.8 m 知识点① 含30°角的直角三角形 C.12m D.16m 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长为 2,则斜边的长为 ( ) 30°7 A.2 B.4 C.6 D.8 第6题图 第7题图 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,∠B 7.(教材变式)如图所示的是屋架设计图的一部 =30°.若P是BC边上一动点，连接AP,则 分，D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE分别 AP的长不可能是 垂直于横梁AC.若DE=1.8m,∠A=30°，则 A.2 B.3 C.4 D.5 斜梁AB的长为 m. 45 上册第十五章