精品解析：广东省汕头市潮阳区2023-2024学年九年级下学期教学质量检测（统考）数学试卷

2023~2024学年度第二学期质量监测卷 九年级数学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在 中，，， 为 上的点，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为( ) A. B. C. D. 6 6. 下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)．若反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点A，则k的值为(　　) A. －6 B. －3 C. 3 D. 6 9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E． 连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________． 12. 关于x的方程的两个根是和1，则的值为_________． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 14. 计算：______． 15. 如图是一个几何体的三视图，根据图示的数据可计算出该几何体的表面积为_____． 16. 如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______. 三、解答题（本大题共4小题，第17、18题各4分，第19、20题各6分，共20分） 17. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标． 18. 先化简，再求代数式的值． ，其中． 19. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图． （1）本次抽样调查的学生共有___________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？ （4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率． 20. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 四、解答题（本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各10分，共28分） 21. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1； （3）四边形AA2C2C的面积是 　平方单位． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 23. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 五、解答题（本大题共2小题，每小题各12分，共24分） 24. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以AB为直径的⊙O 分 别交AC，BC于点 D，E，过点B作⊙O的切线， 交 AC的延长线于点F． (1) 求证：∠CBF =∠CAB； (2) 若CD = 2，，求FC的长． 25. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期质量监测卷 九年级数学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选A． 【点睛】此题考查了此题考查了二次函数的性质，的顶点坐标是，对称轴是直线． 2. 如图，在 中，，， 为 上的点，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求三角函数,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键. 根据图形找到对边和邻边，利用勾股定理求出斜边，根据正弦的定义进行解答即可. 【详解】解：如图， 在中， ∴ ， 故选：A 4. 如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积|k|，即可得出结论． 【详解】依据比例系数k的几何意义可得：△PAO的面积|k|==1． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 5. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为( ) A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB＝AD：AC，即AC2＝AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长． 【详解】解：在△ADC和△ACB中， ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）； ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AB•AD． ∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5， ∴AC2＝5×2＝10， ∴AC（负值已舍去）． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点为： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）； ②相似三角形的对应边成比例． 6. 下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：先判断主视图的形状，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选D． 考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形；3.简单几何体的三视图． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 8. 如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)．若反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点A，则k的值为(　　) A. －6 B. －3 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】因为菱形OABC是轴对称图形，所以A、C关于y轴对称，则A(3,2)，因为A在y=的图象上，所以k=3×2=6． 故选D 9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先连接OC，由CE是切线，可得，由圆周角定理，可得，继而求得的度数，则可求得的值． 【详解】解：连接OC， 是切线， ， 即， ，、分别是所对的圆心角、圆周角, ， ， ． 故选：B. 【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．根据切线的性质连半径是解题的关键． 10. 如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E． 连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用垂径定理可知，然后得到∠ADF＝∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；②结合CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得FG＝2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG＝，由∠E＝∠ADG，可得tan∠E；④可先求得△ADF与△AED的相似比，再求S△ADF，进而求出S△ADE，然后由S△DEF＝S△AED－S△ADF得出结果. 【详解】解：①∵AB为直径，AB⊥CD， ∴， ∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE， ∴△ADF∽△AED，故①正确； ②∵AB为直径，AB⊥CD， ∴CG＝DG， ∵，且CF＝2， ∴FD＝6， ∴CD＝8， ∴CG＝4， ∴FG＝CG−CF＝4−2＝2，故②正确； ③在Rt△AGF中，AF＝3，FG＝2， ∴AG＝， ∴tan∠ADG＝， ∵∠E＝∠ADG， ∴tan∠E＝，故③错误； ④在Rt△ADG中，AG＝，DG＝4， ∴AD＝， ∴， ∴， ∵， ∴S△AED＝， ∴S△DEF＝S△AED－S△ADF＝－＝，故④错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数值也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 12. 关于x的方程的两个根是和1，则的值为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程的两根之和为，两根之积为）求出和的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于的方程的两个根是和， 可得，， 解得，， 将，代入， 得． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长． 【详解】解：由得到， ， ∴或， ∴，， ∵， ∴等腰三角形只能腰为5，底边为2， ∴该等腰三角形的周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 14. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用特殊角的三角函数值，负指数幂以及零指数幂的法则计算，即可得到结果． 【详解】原式 ； 15. 如图是一个几何体的三视图，根据图示的数据可计算出该几何体的表面积为_____． 【答案】90π 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积为，即可得出表面积． 【详解】解：∵如图所示可知，圆锥的高为12，底面圆的直径为10， ∴圆锥的母线为：13， ∴根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π， 底面圆的面积为：πr2=25π， ∴该几何体的表面积为90π． 故答案为90π． 16. 如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线证明△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式S=即可解题. 【详解】解：连接DE,OD,OE, 在圆中,OA=OD=OE=OB, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=60°, ∴△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形, ∵AB=4,即OA=OD=OE=OB=2, 易证阴影部分面积=S△CDE==. 【点睛】本题考查了圆的性质,等边三角形的判定和面积公式,属于简单题,作辅助线证明等边三角形是解题关键. 三、解答题（本大题共4小题，第17、18题各4分，第19、20题各6分，共20分） 17. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法化成顶点式即可； （2）根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）∵二次函数顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为． 【点睛】本题考查了用配方法把二次函数解析式化为顶点式，解题关键是熟练运用配方法进行转化，明确顶点式的意义． 18. 先化简，再求代数式的值． ，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ， ∴原式． 19. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图． （1）本次抽样调查的学生共有___________名； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？ （4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）60 （2）补全条形图如图所示： ； （3）估计本次竞赛获得B等级的学生有480名； （4）所选2人恰好是一男一女的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题； （2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题； （3）利用样本估计总体即可； （4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率． 【小问1详解】 解：（名） 答：本次抽样调查的学生共有60名； 故答案为：60； 【小问2详解】 解：C组人数为：（名）， 图略； 【小问3详解】 解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名）， 答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种， 故被选中的两人恰好是一男一女的概率是： 【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 20. 一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 【答案】小时 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到达事故船C处所需的时间． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D． 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里， ∴CD=AC=40海里． 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°， ∴BC=≈=50（海里）， ∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题 四、解答题（本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各10分，共28分） 21. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1； （3）四边形AA2C2C的面积是 　平方单位． 【答案】（1） 如图所示， 点C1的坐标是（2，﹣2）； （2） 如图所示， （3）7.5 【解析】 【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求点坐标即可； （3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 四边形AA2C2C的面积是＝ 故答案为：7.5 【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1）证明：∵， 无论当m取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）m的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为a，b， ，． ∵， ，． ，即． 解得或． m的值为1或． 23. 阅读理解题： 阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则． 证明：设，∵，∴， 易证 ∴， ∴ ∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出的值； （3）求直线的解析式． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可； （2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出； （3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可． 【小问1详解】 将代入得，， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴设， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴解得，， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴应舍去， ∴， ∴， ∴将代入，解得； ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将和代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容． 五、解答题（本大题共2小题，每小题各12分，共24分） 24. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以AB为直径的⊙O 分 别交AC，BC于点 D，E，过点B作⊙O的切线， 交 AC的延长线于点F． (1) 求证：∠CBF =∠CAB； (2) 若CD = 2，，求FC的长． 【答案】 （1）证明：∵AB 为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°. ∴∠BAE+∠ABC=90°， ∵AB = AC， ∴∠BAE=∠EAC=∠CAB. ∵BF为⊙O 的切线， ∴∠ABC+∠CBF=90°. ∴∠BAE=∠CBF. ∴∠CBF =∠CAB. （2）FC= . 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质易证∠BAE=∠EAC=∠CAB，由弦切角定理可得∠BAE=∠CBF，即可证明. （2）连接BD，由∠DBC=∠CBF. 得到tan∠DBC=.得出BD=4. 设AB=x，则AD= ，在RtΔABD中，根据勾股定理求得AB=5，证明ΔABD∽ΔAFB，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：连接BD， ∵AB 为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°. ∵∠DBC=∠DAE， ∴∠DBC=∠CBF. ∵tan∠CBF=. ∴tan∠DBC=. ∵CD=2， ∴BD=4. 设AB=x，则AD= ， 在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5. ∴AB=5，AD=3. ∵∠ABF=∠ADB=90°，∠BAF=∠BAF. ∴ΔABD∽ΔAFB. ∴. ∴AF=. ∴FC=AF-AC=. 【点睛】考查切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，难度较大. 25. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； 【小问2详解】 ①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点， ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时， ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时， ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $