微练（十三）幂函数与指、对数式的运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦幂函数与指对数运算，构建“定义-运算-应用-拓展”四层逻辑体系，通过换元法、方程思想等方法提炼，培养运算能力与数学抽象 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|13题（含解答题）|幂函数解析式求法、指对数换底公式、方程思想（如第4题对数换元）|从幂函数定义到指对数运算，再到实际应用（如污染物指数模型），形成概念-运算-应用链条| |素养提升|3题|新定义迁移（双曲函数）、取整函数性质分析|结合双曲函数新情境，拓展指对数运算应用，培养创新意识与逻辑推理|

微练(十三)　幂函数与指、对数式的运算 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(3)的值为(　　) A. B. C.3 D.9 2.已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 3.若=,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 4.若logab+logba=,ab=ba,则ab=(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 5.若2x=,lg 2≈0.301,则x的值约为(　　) A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669 6.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中,以数n(n∈N*)开头的数出现的概率P(n)满足1-P(n)=lg,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若P(n)≤(k∈N*),则k的最大值为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 二、多项选择题 7.已知a+a-1=4,则(　　) A.+= B.a2+a-2=14 C.a3+a-3=52 D.a-a-1=2 8.已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=ab,则下列结论正确的是(　　) A.ab≥4 B.a+9b≥16 C.lg a+lg(4b)的最小值为2lg 2 D.+的最大值为2 三、填空题 9.eln 3+log23×log34-(π-3)0-=　　　　.  10.若a2x=3,则=　　　　.  11.若m,n>0,且2m·4n=2,则+的最小值等于　　　　.  四、解答题 12.计算下列各式: (1)+-+-3-1+2×; (2)log25·log254+; (3)+(a>0,b>0). 13.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系式为P=P0e-kt,其中P0,k是正的常数,P0表示污染物的初始含量,如果在前5 h消除了10%的污染物,那么: (1)求k的值; (2)15 h后还剩百分之几的污染物? (3)污染物减少40%需要花多少时间(用对数表示)? 素养提升 14.令函数h(x)=2ln x+3,再定义g(x)=h(x)+h,函数f(x)满足f(x)+f=g(x),f(x)-f=-,则g(e)·f(e)=(　　) A.3 B.6 C.9 D.18 15.(多选题)悬链线是平面曲线,是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部,中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用,例如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期,伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是y=,其中c为有关参数.这样,数学上又多了一对与e有关的著名函数——双曲函数:双曲正弦函数sinh(x)=和双曲余弦函数cosh(x)=.则(　　) A.[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=1 B.sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x) C.cosh>sinh(ln x) D.sinh(ex)cosh(ln x)>cosh(ex)sinh(ln x) 16.设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.5]=-4.[2.1]=2.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,[t3]=3,[t4]=4同时成立,则t的取值范围是　　　　.  微练(十三)　幂函数与指、对数式的运算 1.B　解析　设f(x)=xα,则2=4α所以α=,即f(x)=,所以f(3)==,故选B. 2.C　解析　依题意,b==3-1.1,而幂函数y=x-1.1在(0,+∞)上单调递减,又<<3,因此>>3-1.1,所以a,b,c的大小关系为c>a>b.故选C. 3.C　解析　=|3a-1|,=1-3a.因为|3a-1|=1-3a,故3a-1≤0,所以a≤.故选C. 4.D　解析　显然a>0且a≠1,b>0且b≠1,设t=logba,代入logab+logba=,可得:t+=,即3t2-10t+3=0,解得:t=3或t=.若t=3,则logba=3,即a=b3,又因为ab=ba,所以b3b=ba,则a=3b=b3,解得:b=,a=3,所以ab=9;若t=,则logba=,即a=,又因为ab=ba,所以=ba,则a=b,故b=,解得b=3,故a=b=,故ab=9.故选D. 5.A　解析　因为2x=,lg 2≈0.301,所以x=log2==≈≈1.322. 6.C　解析　由1-P(n)=lg可得P(n)=1-lg=lg10-lg=lg,又P(n)=lg+lg+…+lg=lg(k+1),====lg 5,由对数函数的单调性可得k+1≤5,即k≤4,k∈N*,所以k的最大值为4.故选C. 7.ABC　解析　因为a+a-1=4,所以a>0,对于A,因为=a+a-1+2=6,所以+=,故A正确;对于B,因为=a2+a-2+2=16,所以a2+a-2=14,故B正确;对于C,a3+a-3=(a+a-1)(a2+a-2-1)=4×13=52,故C正确;对于D,因为=a2+a-2-2=12,所以a-a-1=±2,故D错误.故选ABC. 8.AB　解析　对于A:因为a>0,b>0,a+b=ab,所以a+b≥2,即ab≥2,解得ab≥4(当a=b=2时取等号),故A正确;对于B:由a+b=ab,得+=1,所以a+9b=(a+9b)=10++≥10+2=16,故B正确;对于C:lg a+lg(4b)=lg(4ab)≥lg 16=4lg 2(当a=b=2时取等号),故C错误;因为=++2=1+2,又0<,所以≤1+2=2,所以+(当a=b=2时取等号),故D错误.故选AB. 9.-5　解析　eln 3+log23×log34-(π-3)0-=3+×-1-32=-5. 10.　解析　若a2x=3,则==a2x+a-2x-1=3+-1=. 11.8　解析　由2m·4n=2可得2m·22n=2m+2n=21,因此m+2n=1;又m,n>0,所以+=(m+2n)=2+++2≥4+2=8;当且仅当=时,即m=,n=时,等号成立;所以+的最小值等于8. 12.解　(1)+-+-3-1+2×=+-+-3-1+2×1=+-49+64-+2=+17=. (2)log25·log254+=log25·log52+=1+=-1. (3)原式=+=+=a+1. 13.解　(1)当t=0时,P=P0·e-k·0=P0,当t=5时,=90%,即e-5k=0.9.所以k=-ln 0.9. (2)当t=15时,=e-15k=(e-5k)3=0.93=0.729,即15 h后,还剩72.9%的污染物. (3)设污染物减少40%需要花t h,则有e-kt=0.6,两边取以e为底的对数,得-kt=ln 0.6.所以t=-=-=5·=5log0.90.6,即污染物减少40%大约需要花5log0.90.6 h. 14.B　解析　因为h(e)=2ln e+3=5,h=2ln+3=1.所以g(e)=h(e)+h=5+1=6.又⇒f(e)=1.所以g(e)·f(e)=6.故选B. 15.BCD　解析　A:[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=-=(e2x+e-2x-2-e2x-e-2x-2)=-1,故A错误;B:sinh(2x)==·2=2sinh(x)cosh(x),故B正确;C:cosh=cosh(-ln x)=,sinh(ln x)=,cosh(-ln x)-sinh(ln x)=-=(e-ln x+eln x-eln x+e-ln x)=e-ln x>0,即cosh>sinh(ln x),故C正确;D:sinh(ex)cosh(ln x)-cosh(ex)sinh(ln x)=[(-)(eln x+e-ln x)-(+)(eln x-e-ln x)]=(+----++)=(-)=,由ex-ln x>0得->0,即sinh(ex)cosh(ln x)>cosh(ex)sinh(ln x),故D正确.故选BCD. 16.[,)　解析　由[t]=1,得1≤t<2;由[t2]=2,得2≤t2<3,则≤t<;由[t3]=3,得3≤t3<4,则≤t<;由[t4]=4,得4≤t4<5,则≤t<,而1<=<=,=<==<=<2,所以t的取值范围是[,). 学科网（北京）股份有限公司 $