三角恒等变换与解三角形专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换与解三角形核心考点，通过分层题型系统整合公式应用、边角互化及综合问题，以题载法构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角恒等变换|5题（1-2,5,9,12）|同角关系、二倍角公式、诱导公式、函数奇偶性|从三角函数定义到恒等变换公式推导，再到函数性质应用| |解三角形|8题（3-4,6-8,10-11,14）|正余弦定理、面积公式、三角形形状判断、正弦定理实际应用|以边角关系为核心，结合三角恒等变换实现边化角/角化边| |综合应用|5题（13,15-19）|函数图像变换、辅助角公式、基本不等式求最值、折叠问题|融合三角变换与解三角形，体现知识迁移与综合解题能力|

专题：三角恒等变换与解三角形-2027届高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则角的值为（    ） A． B． C． D．或 4．的内角A，B，C所对的边分别为，，，，，，则边长为（    ） A．2 B． C． D． 5．已知，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．中，内角的对边分别为，且，则的形状为（    ） A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．在锐角三角形中，，，所对的边分别为，，.若，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，，其面积为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（） A． B． C． D． 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（），则下列说法正确的是（     ） A．若，则C为直角 B．若，则B为钝角 C．若，则 D．若，则的最大值为 11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则（   ） A．为钝角三角形 B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 三、填空题 12．已知角的终边经过点，则的值为______． 13．已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 14．开明寺塔，亦称关寺塔，位于汉中市洋县县城开明寺（今开明广场）内.据《汉中府志》记载，始建于唐开元年间（713-714年）.开明寺塔造型俊秀，整体呈优美的纺锤流线形，为陕南密檐式砖塔的代表作.某校高一实践学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔座中心O在同一水平平面内的两个测量基点A与B，在A点测得，塔顶P的仰角为60°，O在A的北偏东15°方向，B在A的正东方向13米处，且在B点测得O与A的张角，则开明寺塔的高度约为______米.（参考数值：，，结果保留整数） 四、解答题 15．已知函数，且. (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间. 16．已知，，分别为三个内角，，的对边，点在边上，是角的内角平分线，，，． (1)求； (2)在的延长线上，连接，，在直线上是否存在一点，使．若存在，求的长，若不存在，说明理由． 17．在中，设内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若点在上，，，求的最大值. 18．把正弦曲线（函数的图象）向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标缩短到原来的，最后把曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值以及取得最小值时的值； (3)若，，求的值． 19．已知中，是角所对的边，且 (1)求角； (2)若是的角平分线，的面积为，，求的长度； (3)若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求的最小值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：三角恒等变换与解三角形-2027届高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C A C B BC BCD 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】因为，所以， 因为，所以， 若，则无意义，所以， 两边同除以，得， 又，所以，解得. 2．C 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式，诱导公式，两角和的余弦公式分析即可. 【详解】因为， 所以由得：， 又因为，所以， 所以有：， 即，也即， 又，所以， 所以， 当时，则， 当时，则， 又，所以此时不存在， 故， 又，所以，所以， 当时，. 3．B 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得到与的关系，再通过辅助角公式及三角形内角的角度范围即可得到答案. 【详解】由题意， 即①，②， 联立①②得， 整理得，即， 又，， ，，故选B. 4．D 【详解】由，得， 因为所以， 所以，解得， 由余弦定理得， 所以. 5．C 【详解】由，得， 所以． 由于为偶函数，所以对任意x， 均有． 取，得，从而． 结合，得． 6．A 【详解】因为，由正弦定理得 ， ，或， 又、、为三角形内角，故或，为直角三角形或等腰三角形. 7．C 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 又因为是锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 8．B 【分析】根据条件，利用三角形面积公式求出，再由余弦定理求出，进而可求出外接圆半径，再边化角，即可求解. 【详解】因为面积为，则， 又，所以，解得，由余弦定理得， 解得，所以的外接圆半径为， 则. 9．BC 【分析】本题通过终边上的点及三角函数定义，计算出、、的值，再利用诱导公式、两角和公式、二倍角公式及半角公式代入验证即可. 【详解】根据三角函数的定义，得： ，，， 选项A：根据诱导公式得，故A错误； 选项B：根据两角和的正切公式得： ，故B正确； 选项C：根据二倍角公式得： ，故C正确； 选项D：因为且， 所以在第四象限，即，， 则，， 即在第二或第四象限， 当在第四象限时： ，， ； 当在第二象限时： ，， ， 无论哪种情况，结果都不是，故D错误. 10．BCD 【分析】对于A，用余弦定理代入化简，利用勾股定理判断即可；对于B，用余弦定理化简判断即可；对于C，利用余弦定理化简判断即可；对于D，利用正弦定理及两角和正弦公式化简得，然后利用两角差的正切公式及基本不等式求得最值即可. 【详解】对于A，时，由得，化简得， 所以B为直角，错误； 对于B，时，由得，化简得， 所以，所以B为钝角，正确； 对于C，时，由得，化简得， 所以，所以，正确； 对于D，时，由得， 化简得，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即，等号成立，正确. 11．ABC 【分析】基于已知的三边长，综合运用余弦定理，正弦定理以及三角形面积公式，逐一计算并验证各选项即可. 【详解】对于A，因为，所以最大，由余弦定理可得： ，所以， 故为钝角三角形，A正确， 对于B，由余弦定理可得：， 因为，所以，B正确， 对于C，的面积，C正确， 对于D，因为， 所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D错误. 12． 【详解】由题可知，点，则, ， ，， ， ， 则. 13． 【分析】根据题意，由是奇函数求出，再根据对称轴的性质即可求解. 【详解】已知函数，其中，， 由于是奇函数，所以满足，即，得， 又因为，当时，，符合题意，所以，因此函数， 函数的对称轴满足，即， 由于函数的图象在区间上恰有条对称轴，所以不等式恰有两个解， 又因为，所以不等式等价于不等式，即， 在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和，所以，解得， 所以的取值范围为. 14．27 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】由题意可得，在中，，，米， 所以. 利用正弦定理可得，可得. 因为，所以在中，米. 15．(1) (2) 的值域为；单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1）∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ . （2）由（1）得， ∴ . ∵ ，∴ ，即的值域为. 令，解得， 即的单调递增区间为. 令，解得， 即的单调递减区间为. 16．(1) (2)存在， 【分析】（1）由倍角公式得出，再由余弦定理求出，由勾股定理和锐角三角函数得出答案； （2）由平行性质得出应在的延长线上，由三角恒等变换得出，，进而由正弦定理得出的长. 【详解】（1）由题，， 解得：，，， 在中，， ，，． （2）由题，，故应在的延长线上， 是角的内角平分线，，即三角形为等腰三角形， ， ，，， ， ， ，， 在中，， ． 17．(1) (2)1 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理化简式子和，化简得到的值，进而求出. （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到与、的关系，由余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到的最大值. 【详解】（1）由，利用正弦定理可得， 又，可得， 即. 又因为，故， 因此，即， 又，则. （2）由题意知是的角平分线，， 所以. 由得， ， 所以，当且仅当时，等号成立. 因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1. 18．(1) (2)，最小值为-1． (3) 【分析】（1）根据正弦函数的变换规则列出解析式即可. （2）根据换元法求出正弦函数的最值即可. （3）先求出的值，然后利用正弦函数的和差公式化简求值即可. 【详解】（1）把正弦曲线向左平移个单位长度得到的函数图象， 再把曲线上各点的横坐标变为原来的得到的函数图象， 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的函数图象， 故的解析式为． （2）当时，， 故当，即时，取得最小值为． （3）由，得， ，，， ． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积定义和正弦定理把边化为角，再结合和角公式进行化简，最后结合三角形内角范围得出角； （2）根据，结合面积公式和余弦定理求出，代入面积公式即可求解； （3）设，，利用余弦定理建立关系式，再借助均值不等式即可求出的最小值. 【详解】（1）因为，则， 由正弦定理可得， 即， 由两角和的正弦公式，得， 因为，所以，则， 因为在中，，所以，即， 又因为，所以． （2）因为，由（1）得，所以． 因为中，， 即，得． 因为， 即， 所以． （3）因为，，所以为等边三角形，即， 设，则，， 所以在中，由余弦定理， 设，，代入上式得：， 整理得：， 由于，故， 所以，当且仅当时等号成立，此时满足题意， 所以的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $