三角函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以三角函数定义、性质、恒等变换及解三角形为核心，通过分层题型系统提炼定义法、公式法、数形结合等解题方法，构建从概念到应用的完整知识逻辑链，培养数学思维与理性精神。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4题|三角函数定义、符号判断|从终边定义到象限角性质推导| |性质应用|5题|周期公式、单调性分析、对称性判定|性质与图像特征的关联应用| |恒等变换|2题|二倍角公式、和差公式、切化弦|公式推导与角的范围限定结合| |解三角形|3题|正弦定理、余弦定理、面积公式|边角互化与方程思想的综合运用| |图像变换|2题|平移伸缩规律、零点问题转化|函数变换与参数范围的逻辑推理|

专题：三角函数-2027届高三数学上学期复习系列 一、单选题 1．下列函数中最小正周期等于的是（    ） A． B． C． D． 2．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 4．已知角的终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值（     ） A． B． C． D．或 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小是（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（   ） A． B． C．当时， D．当时， 10．公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法正确的是（ ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 11．已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期 C． D． 三、填空题 12．已知，，则__________． 13．若满足的点是函数的图像的一个对称中心，则的最大值为________． 14．已知函数（），在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为__________． 四、解答题 15．已知函数． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值． 16．图中质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为. (1)指出终边落在直线上的角的集合； (2)当第次运动到位置时，求质点所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积. 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求的取值范围． 18．设函数，其中．已知． (1)求； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． (3)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 19．如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴的正半轴上，，，E，F分别为的中点，求的最大值. 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：三角函数-2027届高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B C D A ABC ABC 题号 11 答案 CD 1．B 【分析】根据正弦型函数、正弦函数、正切函数的性质，结合同角的三角函数关系判断即可. 【详解】对于A，最小正周期. 对于B，正切函数的周期是，将在轴下方的图象翻折到轴上方， 周期不变.故最小正周期. 对于C，，是常函数，无最小正周期. 对于D，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不是周期函数. 2．C 【详解】由二倍角公式可得，且为第二象限角， 所以，，从而， 故，所以，故选C. 3．A 【分析】应用任意角的三角函数值的正负结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】因为为第三象限角，所以. 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 4．B 【分析】根据余弦函数的定义和二倍角公式求解． 【详解】由题意，，解得． 5．B 【详解】因为，， ，所以， 已知，所以. 6．C 【详解】将两边平方，得，所以. 因为且，所以，即，所以. ，且，所以. 于是，，. 所以. 7．D 【分析】本题先对已知式子切化弦，利用两角和差正弦公式化简，再用正弦定理完成边角互化，化简求出的值，结合三角形内角范围得到角. 【详解】将题中所给等式切化弦得，，则， 由两角和公式化简可知，， 因为，所以两边同时乘以得，， 由正弦定理得，， 因为，所以两边同时除以得，，所以， 因为，所以. 8．A 【分析】根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 9．ABC 【分析】由正弦定理，边角互化，得出，判断选项A；利用诱导公式判断选项B，根据余弦定理判断选项C，由面积公式确定选项D. 【详解】因为，， ， ，， 所以，则，选项A正确； ， ，选项B正确； 当时，，选项C正确； 当时，，， 或，选项D错误. 10．ABC 【分析】根据“割圆术”思想，结合等腰三角形性质及近似圆周长分析判断即可. 【详解】对于A：圆内接正边形的中心角为， 正边形的一边与圆心构成等腰三角形，则边长为，A正确. 对于B：正边形的周长，圆周长为， 用近似圆周长时，，即，B正确. 对于C：当时，圆内接正六边形的边长等于半径，周长， 近似圆周长，得，C正确. 对于D：边数越大，正边形的周长越接近圆周长，会越来越接近， 而不是“越小于”，D错误. 11．CD 【分析】由题意求得的图象关于点对称判断A；，在上单调递减，可得的图象关于直线对称，进而求得周期可判断B；求得判断D. 【详解】因为，所以的图象关于点对称，故A错误； 又因为，所以当时，取得最值，即的图象关于直线对称. 又因为在上单调递减，，， 所以点和直线是相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，所以，故B错误； 所以，解得，故C正确； 所以，又的图象关于直线对称， 所以，所以，又，所以，故D正确. 12． 【详解】， 因为，所以. 13． 【分析】根据正切型函数的性质求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 令，，解得，， 所以的图像的对称中心为，. 由题意知，，， 所以，，解得，. 当取最大值时，取得最大值，此时，. 故的最大值为. 14． 【分析】先利用三角恒等变换对函数化简，再根据对称性和单调性求出，从而得到的解析式；再分和两种情况分析，从而求出在区间上所有不相等的实数根，进而求和即可． 【详解】由，， 又为的一条对称轴，所以，，即，，， 设函数的周期为， 由在区间上单调递增，则，即，则，所以， 所以，或，或，或， 当时，，令，解得，， 当时，的增区间为，而，满足题意； 当时，，令，解得，， 的增区间为，而不是的子集，不合题意； 当时，，令，解得，， 的增区间为，而不是的子集，不合题意； 当时，，令，解得，， 的增区间为，而不是的子集，不合题意． 综上，，． 当时，， 当时，，即， 所以方程等价于，即， 所以，或，， 解得，或，， 当，时，在区间上，时，；时，；时，； 当，时，在区间上，时，；时，；时，． 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦和角公式得即可求. （2）利用正弦型函数的性质即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以． （2）因为，所以． 所以． 当，即时，取得最大值． 所以在区间上的最大值为． 16．(1) (2)弧长，面积 【分析】（1）根据终边角的定义写出角的集合； （2）由弧长公式计算弧长，再结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知，， 所以终边落在直线上的角的集合为 . （2）由题意得， 所以由弧长公式可知质点所经过的长度. 扫过的扇形的面积. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量平行的坐标，结合正弦定理建立方程，求解角. （2）先由余弦定理求得，再由面积公式求解. （3）先由余弦定理得，再由基本不等式求解取值范围． 【详解】（1）因为向量，且，所以， 又由正弦定理得，因为，所以， 又因为，所以． （2）因为中，，，由（1）知，由余弦定理， 即，所以，解得或（舍去）． 所以的面积． （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的取值范围为． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开 ，合并同类项后通过辅助角公式化简为 ，代入 建立方程，结合 的范围确定 . （2）先根据三角函数图像的横坐标伸缩变换、向左平移变换规则逐步推导，得到 ；再由 的范围求出内层角的取值区间，结合正弦函数的值域求出 的最小值. （3）通过换元 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，分离参数得到 ；结合 的取值范围，利用对勾函数的单调性求出 的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以 , 由题设知，所以，． 故，，又， 所以． （2）由（1）得，所以． 因为，所以， 当即时，取得最小值． （3）由（2）知令， 当时，，则， 即存在，使成立， 即存在，成立， 而函数在单调递减，单调递增， 当，函数在单调递增， ，所以实数m的取值范围为． 19．(1)2. (2). (3) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求出，再由仿射坐标系的定义运算，结合数量积的运算律即可求得； （2）根据仿射坐标系的定义运算结合条件求出，利用向量的夹角公式列方程求出，即可求出答案； （3）设，由题意将分别用线性表示，利用向量数量积的运算律化简成，利用正余弦定理和三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合三角函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意可知的夹角为，由平面向量数量积的定义可得. 因为，所以， ，故. （2）由，得，且， 所以， ，， ， 因为的夹角为，则，解得， 又，则，故. （3）依题意，设，且，， 因为F为BC的中点，所以， 因为E为BD的中点，同理可得， 所以， 由题意知，则， 在△OBC中，依据余弦定理得，即， 代入上式得. 在△OBC中，由正弦定理，设， 则，且，所以， 则 ，其中为锐角，且. 因为，所以， 故当时，取最大值， 故此时取得最大值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $