第2章一元二次方程基础与拔尖闯关2026-2027学年数学九年级上册北师大版

第2章一元二次方程基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）

一、单选题

1．下列关于的方程是一元二次方程的是（     ）

A． B． C． D．

2．一元二次方程的根的情况是（   ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．有一个实数根

3．若是关于x的一元二次方程，则（     ）

A． B．且 C． D．p为一切实数

4．一元二次方程，配方的结果是（     ）

A． B．

C． D．

5．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）．

A． B． C．或 D．或

6．某企业年芯片销售总额为亿元，经过两年技术革新，该企业年芯片销售总额达到亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ）

豆包

内容由AI生成

有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同．

A． B． C． D．1

8．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ）

A． B．

C． D．

10．对于一元二次方程，下列说法：

①若，则；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若是方程的一个根，则一定有成立；

④若是一元二次方程的根，则；

其中正确的（    ）

A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③

二、填空题

11．一元二次方程的一个解为，则的值为_____．

12．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______．

13．设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________．

14．图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________．

15．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______．

16．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______．

三、解答题

17．解下列方程：

(1) ；

(2)；

(3)；

 

 

 

 

 

 

 

 

18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题：

(1)求的取值范围；

(2)若方程的两个实数根之积为，求的值．

 

 

19．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个．

(1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数；

(2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？

 

 

 

 

 

 

 

 

20．我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对．

已知关于的方程

(1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

(2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值；

(3)若是它的互补对，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

21．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息：

素材1	该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同．
素材2	该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个．

【任务驱动】

(1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率．

(2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？

 

 

 

 

 

 

 

 

22．操作与实践

【示范操作】

古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：．

【模仿实践】

(1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________．

【深入探究】

(2)配方解，自己画图分析，写出解题过程．

【总结提升】

小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？

小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数．

(3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程．