2.6 应用一元二次方程（九大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.6 应用一元二次方程 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 1．去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．化学老师手把手教会了若干名同学“高锰酸钾制取氧气”的实验操作，这些同学回到班上后每个人又手把手教会了同样多名同学，这样恰好全班56名同学都会做这个实验了，若设化学老师教会了名同学，依题意可列方程 ． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 4．已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，一、二、三月份共收益50万元，求二月、三月的月平均增长率，设月平均增长率为，可得方程为（　　） A． B． C． D． 5．某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是 ． 6．科技园区内一家企业为迎合市场需求，在8月份投入资金30万元，10月份投入资金36.3万元用来研发具有独特交互功能的智能摆件． (1)求该企业这两个月投入资金的月均增长率； (2)已知该企业制作一个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件，当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的售价． 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7．如图，小区工人用长为的围栏，将一块荒地改造成矩形种植园，一面利用墙（墙的最大可用长度为），为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为（   ） A．或 B． C． D． 8．如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为 ． 9．项目式学习 项目名称：农家乐扩建与经营优化 项目背景：某数学学习小组积极帮助经营户解决就餐区域扩建和餐饮定价问题．经营户计划将现有的就餐区域扩建，以提升顾客体验．同时，为了吸引更多顾客，他计划推出特色餐饮品鉴活动，需要确定一个合适的收费标准，使每天的营业额能够有所提高． 任务一：就餐区域扩建规划 现有就餐区域是一个矩形，面积为168平方米．扩建时，经营户计划将矩形的一边增加6米，另一边增加8米，使扩建后的区域成为一个正方形．扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二：餐饮定价策略 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为200元/人时，平均每天可接待顾客50人．收费标准每降低10元，平均每天可多接待5人，如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到11250元，收费标准应确定为多少元/人？ 请你完成以上两项任务． 题型四 数字问题（一元二次方程的应用） 10．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（   ）． A． B． C． D． 11．小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ． 12．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 13．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 15．某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为80元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件120元时，每天可售出20件；售价每降低2元，日销售量增加4件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． (1)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利1200元？ (2)该商家希望平均每天能盈利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 题型六 动态几何问题问题（一元二次方程的应用） 16．如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 17．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 18．在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 题型七 行程问题（一元二次方程的应用） 19．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 20．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为 ． 21．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 题型八 其他问题（一元二次方程的应用） 22．九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 23．随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，则参加活动的学生人数为 ． 24．芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率． (2)经调查发现，1条生产线最大产能是万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 题型九 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 25．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 26．某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为 ． 27．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6 应用一元二次方程 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 1．去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题．设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x，根据传染模型，2轮后总患者数为，列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x． ∵ 初始患者1人， 第一轮后总患者数为：， 第二轮后总患者数为： ． 又∵ 2轮后总患者数为100， ∴ ， 解得，（舍）， 故每轮传染中平均1个患者传染的人数为9人． 故选：B． 2．化学老师手把手教会了若干名同学“高锰酸钾制取氧气”的实验操作，这些同学回到班上后每个人又手把手教会了同样多名同学，这样恰好全班56名同学都会做这个实验了，若设化学老师教会了名同学，依题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设化学老师教会了x名同学，则这些同学每人又教会x名同学，会做实验的学生总人数为x与之和，等于56，由此列方程即可． 【详解】解：化学老师直接教会x名同学， 这些同学每人又教会x名同学， 因此总会做实验的同学人数为， 根据全班56名同学都会做这个实验，得． 故答案为：． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 4．已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，一、二、三月份共收益50万元，求二月、三月的月平均增长率，设月平均增长率为，可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题．根据平均增长率x，分别表示出一月、二月、三月的收益，利用总收益为50万元建立方程，即可作答． 【详解】解：设平均增长率为， ∵一月份收益为10万元， ∴二月份收益为万元，三月份收益为万元， ∵总收益为50万元， ∴， 故选：D． 5．某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每年的增长率为x，根据2023年招生人数等于2021年招生人数乘以的平方，列方程求解即可． 【详解】解：设平均每年的增长率为x． 根据题意，得． 解得或（舍去） ∴平均每年的增长率为， 故答案为：． 6．科技园区内一家企业为迎合市场需求，在8月份投入资金30万元，10月份投入资金36.3万元用来研发具有独特交互功能的智能摆件． (1)求该企业这两个月投入资金的月均增长率； (2)已知该企业制作一个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件，当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的售价． 【答案】(1)10% (2)75元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用－增长率问题和利润问题，增长率问题：初始量为，终止量为，平均增长率为，则经过两次增长的等量关系为；利润问题：总利润＝单件利润×数量．熟练掌握根据等量关系建立一元二次方程是解题的关键． （1）初始量8月份为30万元，终止量10月份为36.3万元，设平均增长率为，根据增长率问题的等量关系建立一元二次方程即可求解． （2）可设智能摆件售价为元，则单件利润为元，每天销售量为，根据总利润＝单件利润×数量列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设该企业这两个月投入资金的月均增长率为， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：该企业这两个月投入资金的月均增长率为10%． （2）解：设智能摆件售价为元， 由题意得：， 解得，， ∵优惠力度要最大， ∴． 答：智能摆件售价为75元． 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 7．如图，小区工人用长为的围栏，将一块荒地改造成矩形种植园，一面利用墙（墙的最大可用长度为），为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意知，， 解得：， 而， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴， 即． 故选：B． 8．如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设的长为，则的长为，利用长方体盒子的表面积＝正方形纸片的面积等腰直角三角形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 即， 故答案为：． 9．项目式学习 项目名称：农家乐扩建与经营优化 项目背景：某数学学习小组积极帮助经营户解决就餐区域扩建和餐饮定价问题．经营户计划将现有的就餐区域扩建，以提升顾客体验．同时，为了吸引更多顾客，他计划推出特色餐饮品鉴活动，需要确定一个合适的收费标准，使每天的营业额能够有所提高． 任务一：就餐区域扩建规划 现有就餐区域是一个矩形，面积为168平方米．扩建时，经营户计划将矩形的一边增加6米，另一边增加8米，使扩建后的区域成为一个正方形．扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二：餐饮定价策略 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为200元/人时，平均每天可接待顾客50人．收费标准每降低10元，平均每天可多接待5人，如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到11250元，收费标准应确定为多少元/人？ 请你完成以上两项任务． 【答案】正方形的边长为20米；收费标准应定为150元/人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务一；设扩建后正方形边长为米，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解； 任务二：设：收费标准降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：任务一；设扩建后正方形边长为米， 根据题意得：， 解得：，（舍） ∵， ∴取20． 答：正方形的边长为20米． 任务二：设：收费标准降低元， 根据题意得：， 解得：，元． 答：收费标准应定为150元/人． 题型四 数字问题（一元二次方程的应用） 10．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键，并且理解而立之年是一个人30岁的年龄．根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可． 【详解】解：个位数字为x，则十位数字为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 即，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：周瑜去世时的年龄为岁． 故答案选：D． 11．小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，年龄可表示为，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，年龄为，由条件，个位数字的平方等于年龄，即； 故答案为． 12．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 13．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个．根据利润公式列出利润方程并求解即可进一步得到售价． 【详解】解：设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个． ∵每个利润为元， ∴总利润为． 整理得：， 解得或， 则售价为元或元． 故售价应定为60元或80元． 故选：C． 14．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【答案】20 【分析】此题考查了一元二次方程的应用销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：单个利润售价进价，总利润单个利润数量．设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件，根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意，得方程：， 展开并整理得， 解得或， 为尽快减少库存，取． 故答案为：20． 15．某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为80元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件120元时，每天可售出20件；售价每降低2元，日销售量增加4件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． (1)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利1200元？ (2)该商家希望平均每天能盈利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，求解，结合题意，取符合题意的值即可； （2）根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，根据根的判别式求出方程根的情况，即可判断得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得． ∵为尽快减少库存， ． 答：每件汉服降价20元时，该商家平均每天可盈利1200元． （2）不能．理由如下： ， 整理得：， ， 原方程无实数根． 不能平均每天盈利2000元． 题型六 动态几何问题问题（一元二次方程的应用） 16．如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 17．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 18．在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 题型七 行程问题（一元二次方程的应用） 19．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 20．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 21．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 题型八 其他问题（一元二次方程的应用） 22．九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为56，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． ∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56， ∴， 解得：或（舍去）． 故选：B． 23．随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，则参加活动的学生人数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 设参加活动的学生人数为x人，则人均费用为元或元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设参加活动的学生人数为x人，则人均费用为元或元， ∵， ∴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，人均费用为，符合题意；   当时，人均费用为，不符合题意，舍去．   答：参加活动的学生人数为18人． 故答案为：18 24．芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率． (2)经调查发现，1条生产线最大产能是万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)应该再增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过等量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设前三季度生产量的平均增长率为x，用含有x的式子将第三季度的生产量表示出来，列出对应方程，即可求解． （2）设再增加y条生产线，用含有y的式子将每条生产线的最大产能表示出来，利用总生产量列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：前三季度生产量的平均增长率为． （2）解：设再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 需要增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应该再增加4条生产线． 题型九 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 25．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 26．某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（单循环比赛场次问题），解题关键是根据单循环比赛场次公式列出方程求解． 设七年级有个班级，根据单循环比赛场次公式（总场数为）列方程解方程得班级个数． 【详解】解：设七年级班级个数为，则比赛总场数为， 根据题意得， 整理得， 解得或（舍去）， 七年级的班级个数为． 27．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $