第2章一元二次方程闯关练习卷-2026-2027学年北师大版 数学九年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-技能应用-创新拓展”分层，基础题巩固核心概念，中档题强化实际应用，拔高题培养推理与创新，形成完整知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、解法、根的判别式|直接考查概念（如选择题1-5），强化基础计算（填空题11-13），巩固解方程技能（解答题16-17），培养运算能力| |中档层|根与系数关系、实际应用|结合表格估计根（选择题7）、几何建模（选择题8），动态几何与综合计算（填空题15），提升模型意识（解答题18-19），体现数学应用| |拔高层|方程变形、创新应用|材料阅读题（解答题20）迁移方程构造方法，考查代数式求值，发展推理能力与创新意识，呼应核心素养|

第2章一元二次方程闯关练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 2．（2026春•上城区期末）若2是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 3．（2025秋•大同期末）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．（2026•太和县模拟）把方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n，则的值是（　　） A．10 B．2 C．﹣8 D．﹣16 5．（2026春•上城区校级期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 6．（2026•广西二模）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 7．（2025秋•嵩县期末）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 8．（2026春•安庆校级期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（40﹣x）（22+x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40+x）（22+x）＝520 D．（40+x）（22﹣x）＝520 9．（2026春•瑞安市校级期中）小安同学发现：关于x的两个一元二次方程：①ax2+bx+c＝0，②﹣ax2+bx﹣c＝0（a，b，c均为常数，且a≠0）的解存在某个数量关系．若已知a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝2，x2＝﹣3，则方程﹣ax2+bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣4 B．x1＝﹣1，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 10．（2026•阜阳模拟）已知代数式，，，若x＝y＝1，且z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根，则的值为（　　） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 二．填空题（共5小题） 11．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 12．（2026•东兴区校级三模）已知α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）的值为　 　 ． 13．（2026春•平城区校级期末）如图1为一矩形纸板，长12cm，宽6cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为40cm2，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为　 　 cm． 14．（2026春•蚌埠期末）若m，n为正实数，设，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实数根． （1）当k＝t＝1时，则m的值是　 　 ； （2）当时，则的值是　 　 ． 15．（2026春•淮上区期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2026春•沙坪坝区校级同步）解方程： （1）x（x+1）＝2x+2； （2）2x2+6x﹣1＝0． 17．（2026•成武县三模）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝12，求m的值． 18．（2026春•岱岳区期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 19．（2026春•垦利区期末）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20．（2026春•青阳县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4，c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 第2章一元二次方程闯关练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•上城区校级期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（2026春•上城区期末）若2是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+c＝0，然后解关于c的方程4﹣6+c＝0，即可得到答案． 【解答】解：由条件可得：4﹣6+c＝0， 解得：c＝2， 选项B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2025秋•大同期末）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【分析】判断Δ的情况，即可解． 【解答】解：由条件可得：Δ＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0， ∴2x2﹣5x+6＝0两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的知识点． 4．（2026•太和县模拟）把方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n，则的值是（　　） A．10 B．2 C．﹣8 D．﹣16 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣12，代入计算即可． 【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n， ∴m+n＝4，mn＝﹣12， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2是解题的关键． 5．（2026春•上城区校级期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 【分析】依据题意得，第一轮过后有（x+1）个人，第二轮又传染了x（x+1）个人，根据经过两轮传染后，共64人患流感，列出方程即可． 【解答】解：由题意，∵经过两轮传染后，共64人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人， ∴（x+1）+x（x+1）＝64， ∴（1+x）2＝64． 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2026•广西二模）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 【分析】根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设这个数为x，则x2+3x＝﹣x﹣4， 整理得（x+2）2＝0， 解得x1＝x2＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握该知识点是关键． 7．（2025秋•嵩县期末）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3 【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2． 【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0， x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0， ∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0， 即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．（2026春•安庆校级期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（40﹣x）（22+x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40+x）（22+x）＝520 D．（40+x）（22﹣x）＝520 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，再根据停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程． 【解答】解：由图可得， （40﹣x）（22﹣x）＝520， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9．（2026春•瑞安市校级期中）小安同学发现：关于x的两个一元二次方程：①ax2+bx+c＝0，②﹣ax2+bx﹣c＝0（a，b，c均为常数，且a≠0）的解存在某个数量关系．若已知a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝2，x2＝﹣3，则方程﹣ax2+bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣4 B．x1＝﹣1，x2＝4 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设y＝x﹣1，由a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝2，x2＝﹣3得到一元二次方程ay2+by+c＝0的解，再把方程﹣ax2+bx﹣c＝0变形为a（﹣x）2+b（﹣x）+c＝0，令z＝﹣x，可得az2+bz+c＝0，通过对应关系求出方程﹣ax2+bx﹣c＝0的解． 【解答】解：设y＝x﹣1， ∴y1＝2﹣1＝1，y2＝﹣3﹣1＝﹣4， 即ay2+by+c＝0的解为y1＝1，y2＝﹣4， 对方程﹣ax2+bx﹣c＝0两边同乘﹣1，得ax2﹣bx+c＝0， 即a（﹣x）2+b（﹣x）+c＝0， 令z＝﹣x，可得az2+bz+c＝0， ∴该方程的解为z1＝1，z2＝﹣4， 即﹣x1＝1，﹣x2＝﹣4， 解得x1＝﹣1，x2＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2026•阜阳模拟）已知代数式，，，若x＝y＝1，且z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根，则的值为（　　） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 【分析】由A，B，C，x＝y＝1，可求出2（z）+2，由z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根，利用一元二次方程的解，可得出z2026，再将其代入原式＝2（z）+2中，即可求出结论． 【解答】解：∵A，B，C，x＝y＝1， ∴1+z，1+z，， ∴1+z+1+z2z2＝2（z）+2， ∵z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根， ∴z2﹣2026z+1＝0， ∴z≠0， 方程两边同时除以z得：z﹣20260， ∴z2026， ∴2（z）+2＝2×2026+2＝4054． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式化简求值，通过化简，将原式变形为2（z）+2是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（2026•东兴区校级三模）已知α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）的值为　﹣2023　 ． 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出α2+2025α＝﹣1，β2+2025β＝﹣1，α+β＝﹣2025，αβ＝1，再将其代入原式中，即可求出结论． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根， ∴α2+2025α+1＝0，β2+2025β+1＝0，α+β＝﹣2025，αβ＝1， ∴α2+2025α＝﹣1，β2+2025β＝﹣1， ∴（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）＝（α2+2025α+α+2）（β2+2025β+β+2）＝（﹣1+α+2）（﹣1+β+2）＝（1+α）（1+β）＝1+（α+β）+αβ＝1+（﹣2025）+1＝﹣2023． 故答案为：﹣2023． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 13．（2026春•平城区校级期末）如图1为一矩形纸板，长12cm，宽6cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为40cm2，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为　1　 cm． 【分析】设切去正方形的边长为 x cm，根据矩形的长和宽分别减去 2x 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【解答】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为x cm，根据题意可得： （12﹣2x）（6﹣2x）＝40． 整理得：x2﹣9x+8＝0． （x﹣1）（x﹣8）＝0， 解得 x1＝1，x2＝8． 当 x＝8 时，6﹣2x＝6﹣16＝﹣10＜0，不合题意，舍去． 所以 x＝1，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1cm． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是关键． 14．（2026春•蚌埠期末）若m，n为正实数，设，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实数根． （1）当k＝t＝1时，则m的值是　　 ； （2）当时，则的值是　　 ． 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到t2+2mt＝n2，配方即可得（t+m）2＝m2+n2，根据k＝t＝1，，得到m＝n，即可得到m2﹣2m﹣1＝0，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到t2+2mt＝n2，配方即可得（t+m）2＝m2+n2，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以n2，将方程转化为，解方程即可． 【解答】解：（1）由条件可知：t2+2mt＝n2， ∴t2+2mt+m2＝n2+m2， 即（t+m）2＝m2+n2． ∵k＝t＝1，， ∴n＝m， ∵（t+m）2＝m2+n2， ∴（1+m）2＝m2+m2， ∴m2﹣2m﹣1＝0， 解得， ∵m，n为正实数， ∴． 故答案为：； （2）由条件可知t2+2mt＝n2， ∴t2+2mt+m2＝n2+m2， 即（t+m）2＝m2+n2． ∵，， ∴， ∵（t+m）2＝m2+n2， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2026春•淮上区期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 　10s或s ． 【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点C及点Q运动到点B所需时间，设运动时间为xs，当0＜x时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；当x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m，根据△PCQ的面积等于450m2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．综上，此题得解． 【解答】解：50÷2＝25（s），40÷3（秒）． 设运动时间为xs． 当0＜x时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm， 依题意得：（50﹣2x）•3x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15（不合题意，舍去）； 当x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m， 依题意得：40（50﹣2x）＝450， 解得：x． 故答案为：10s或s． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分0＜x及x＜25两种情况，找出关于x的一元二次（或一元一次）方程是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2026春•沙坪坝区校级同步）解方程： （1）x（x+1）＝2x+2； （2）2x2+6x﹣1＝0． 【分析】（1）找到公因式（x+1），进行因式分解法计算； （2）根据公式法解一元二次方程． 【解答】解：（1）x（x+1）＝2x+2， x（x+1）﹣2（x+1）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2． （2）2x2+6x﹣1＝0， a＝2，b＝6，c＝﹣1， x， ∴x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握因式分解法和公式法． 17．（2026•成武县三模）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝12，求m的值． 【分析】（1）由方程求出判别式Δ≥0即可． （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含m代数式表示两根之和及两根之积，进而求解． 【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4， ∵方程总有两个实数根， ∴8m﹣4≥0， ∴m． （2）由（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝12， ∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∴原式＝m2+2+2（m+1）+1＝12， 整理得m2+2m﹣7＝0， 解得m＝﹣1﹣2（舍）或m＝﹣1+2． 【点评】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和． 18．（2026春•岱岳区期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得150（1+x）2＝216 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%． （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： ， 解得y1＝416，y2＝404， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确地理解题意是解题的关键． 19．（2026春•垦利区期末）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝640． 解得x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40； 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； （2）不能，理由如下： 由题意列一元二次方程得，x（72﹣2x）＝650． 整理得，x2﹣36x+325＝0． ∵Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到650m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 20．（2026春•青阳县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4，c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出x2+x＝1，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即x2﹣4x+1＝0， 两边同时乘以2得2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）由条件可知， ∴（2x+1）2＝5， ∴4x2+4x+1＝5， 即x2+x＝1， ∴原式＝3x（x2+x）+3x2+2025 ＝3x×1+3x2+2025 ＝3x2+3x+2025 ＝3（x2+x）+2025 ＝3×1+2025 ＝2028． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $