江西南昌市第五高级中学2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷

南昌五中2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，．给出下列四个对应法则：①；②；③；④．请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 3．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4．若实数，满足，，且，则称与互补，记那么是与互补的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．设，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知定义在上的函数，满足，且当时，，则是（ ） A． B．为奇函数 C． D．若，则的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是（ ） A．若对，都有，则的最大值为． B．若，则 C．函数为增函数． D．函数为偶函数． 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 11．已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A． B．不等式的解集是 C．当时，，上的值域为，则的取值范围是 D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是{或} 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为__________． 13．已知，则__________． 14．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 16．（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 17．已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：． 18．已知函数，且． （1）若函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 19．对于定义在区间上的函数，定义：，． （1）已知，，，，试写出、、的表达式； （2）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】ABC 10．【答案】BC 11．【答案】BD 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】（1）；（2）4 【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案． 【详解】（1）解法一： 原式． 解法二：原式． （2）由题意，，由于对数函数单调，可得：． ， 当且仅当（即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4． 16．【详解】由题： 二次函数开口向上，方程的根为，． 1），当时，开口向上，不等式的解集为：{或}． 2），当时，不等式变为，解集为：{且}． 3），当时，开口向上，不等式的解集为{或}． （2）由题：， 即， 1），当时（即）， 2），当时（即），． 3），当时（即），． 综上所述 （1）当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17．【答案】（1）为偶函数，理由见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）根利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； （2）由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 18．【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）求的取值范围 令，则，这是关于的开口向上的二次函数，对称轴为． 1），当时，在上单调递减，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递减，即对称轴在区间右侧：且，，所以不等式无解． 2），当时，在上单调递增，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递增，即对称轴在区间左侧：， 令，不等式化为，解得，即． 综上，的取值范围为． （2）当时，，令（，故）， 则， 当且仅当时，即时取等号．故的最小值为2，值域为． 若对，都，使得，需满足的值域是的子集，即． 1），当时，，对称轴，最小值在处，， 令，解得． 2），当时，，对称轴，最小值在处，， 令，解得． 3），当时，，最小值小于2，不满足条件． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 19．【答案】（1），；，，；（2） 【详解】 （1）根据定义： ① 在区间上单调递减，其最大值为． 故，． ② 是单调递增函数，因此在区间上的最大值为． 故，． ③ 是开口向上的二次函数，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增． 1），当时，在上单调递减，最小值为； 2），当时，在上的最小值为． 故． （2）已知是上的“3阶收缩函数”，需满足： 对任意，； 是满足条件的最小正整数（即时不等式不恒成立）． 1）：易得在上单调递减；在上单调递增． 2）：， ①当时，递减，； ②当时，在处取得最小值，故． ， ①当时，，故； ②当时，，故． 3）：验证不等式． ①当时， ，不等式为，化简得． 因时（当且仅当时取等号），故不等式恒成立． ②当： ，不等式为，即，显然成立． ③当： ，不等式为，化简得． 该不等式对成立，而满足条件，故不等式恒成立． 4）：验证是最小正整数， 时，取，则，而， 此时，故不满足． 综上，对任意，是满足条件的最小正整数，因此的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $