精品解析：江西南昌县莲塘第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

莲塘二中2025-2026学年第一学期高一期中 数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设全集，，则的值为(　　) A. 2 B. 8 C. 2或8 D. －2或8 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 4. 下列各图中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 幂函数的图象如下图所示，则m的值为（ ） A. 或0 B. C. 0 D. 6. 已知满足，且，则 A. 6 B. 7 C. 0 D. 12 7. 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（　　） A. A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方 B. A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系： x 0 1 2 y 1 2 1 C. A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系： D. A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0 10. 若函数定义域为，且，，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足，且对任意的，都有恒成立，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. D. 有最大值，无最小值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则的最小值为___________. 13. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______． 14. 不等式组的解集是空集，则正数a的取值范围是______________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）求 （3）求 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 17. 已知函数的定义域是，且满足,当时,. (1)求的值: (2)判断并证明的单调性. 18. 已知函数（），且的解集为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在区间上单调，求实数的取值范围； 19. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛．现某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元；该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额因设备额外产生的收益－设备的成本），其中． （1）从第几年开始，该设备开始盈利； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理?并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲塘二中2025-2026学年第一学期高一期中 数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设全集，，则的值为(　　) A. 2 B. 8 C. 2或8 D. －2或8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的性质 A∪（CUA）=U，再根据集合相等的概念列方程，从而可得结论． 【详解】全集，，则， 故选C 【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念．是基础题． 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定规则即可得解. 【详解】因为命题：，为全称命题， 所以该命题的否定为，. 故选：D. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 3. 在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次方程的两根为正数，则一定满足，，，故根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】∵二次方程的两根为正数， ∴，，， 故由使二次方程的两根为正数，一定能推出 ，，， 但是满足其中一个或2个不能推出使二次方程的两根为正数，故①②③能成为使二次方程的两根为正数的必要非充分条件. 故选A. 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断.掌握必要条件的定义是解题基础． 4. 下列各图中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选项B不满足函数的定义，选项A、C、D满足函数的定义，即得解. 【详解】在A中，对每一个，都有唯一的与之对应，所以是函数关系； 在B中，存在，有两个的值与之对应，所以不是函数关系； 在C，D中，对每一个，都有唯一的与之对应，所以都是函数关系. 故选：B. 5. 幂函数的图象如下图所示，则m的值为（ ） A. 或0 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图象特征，可知，根据，确定的值，依次代入验证函数是否是奇函数. 【详解】由幂函数在第一象限的单调性可得，，解得，再由可得，或或0．又从图象可知该函数是奇函数，若，则，符合题意；若，则，不合题意，若，则，符合题意，综上，或0． 故选A 【点睛】本题考查幂函数的图象和基本性质，意在考查数形结合，和计算能力，属于基础题型. 6. 已知满足，且，则 A. 6 B. 7 C. 0 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合所给的递推关系式首先求得的值，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， . 故选B. 【点睛】本题主要考查函数的递推关系，抽象函数求值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集， 由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​， 综上，的取值范围为​或，即， 故选：A. 8. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知函数的值域包含，分与两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数的值域是， 则函数的值域包含. 当时，，此时函数的值域为，合乎题意； 当时，，要使得二次函数的值域包含. 则，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查复合型二次函数的值域求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（　　） A. A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方 B. A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系： x 0 1 2 y 1 2 1 C. A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系： D. A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的概念逐项进行判断即得. 【详解】对于A，集合A中的元素1开平方与集合B中的－1和1对应，不满足唯一性， 对于C，同样不满足唯一性，故A和C错误； 对于B和 D，都满足函数概念，故正确. 故选：AC 10. 若函数定义域为，且，，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，赋值求解即可. 【详解】解：因为，， 所以，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 11. 定义在上的函数满足，且对任意的，都有恒成立，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. D. 有最大值，无最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设结合对称性及函数单调性的定义易得的图象关于直线对称，函数在上单调递减，即可判断AB；由对称性易得，再根据单调性判断C；根据单调性判断D. 【详解】由，则的图象关于直线对称，故B正确； 对任意的，都有恒成立，则， 所以函数在上单调递减，故A错误； 而，且，则，故C正确； 由上述可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值，无最小值，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知构造运用基本不等式所需的“积为定值”即可求解. 【详解】，，且， 当且仅当，且， 即，时取等号， 的最小值为. 故答案为:. 13. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，且，进而转化为解不等式即可. 【详解】解：由不等式的解集是，可知，且， 所以，不等式可化为，解得． 所以不等式的解集是. 故答案为： 14. 不等式组的解集是空集，则正数a的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知有解但与无交集在根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题因为正数,故,又, 解得或.由题意有与或无交集,故. 故正数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据集合的解求解参数范围的问题,需要根据题意分别求得不等式的取值范围,再列出区间端点满足的关系式求解即可.属于基础题. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合 （1）求 （2）求 （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以或 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）作出函数的图象； （2）写出函数的单调递增区间，并写出函数在区间上的最值； （3）求函数在上的解析式． 【答案】（1） （2）单调增区间为和，在区间上的最大值为4，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）先画出时的图像，再根据奇函数图像关于原点对称画出时的图像即可； （2）由图像得出单调区间，根据单调性来求最值即可； （3）根据奇函数的性质求出函数的解析式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数图象，可得单调增区间为和. 所以在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值， 由于是奇函数，所以， ，， 所以当时，在区间上取得最小值， 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 【小问3详解】 当时，所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以. 17. 已知函数的定义域是，且满足,当时,. (1)求的值: (2)判断并证明的单调性. 【答案】(1)0；(2) 在上的是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由条件可令x＝y＝1，即可得到f（1）； （2），则,由x＞1时，f（x）＞0，则f＞0，则有即可判断； 【详解】（1）令，则，解得. （2）在上的是增函数，设，且，则,∴ ∴，即, ∴在上的是增函数. 【点睛】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及判断，考查运算能力，属于中档题和易错题． 18. 已知函数（），且的解集为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在区间上单调，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）一元二次不等式解集的端点对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程组求解参数得到函数解析式； （2）对二次函数配方，找到顶点，结合开口方向确定值域； （3）先求出二次函数对称轴；函数在开区间上单调，说明整个区间落在对称轴的同一侧，据此列出不等式求解范围． 【小问1详解】 因为的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，解得，，所以． 【小问2详解】 配方：， 因为抛物线开口向上，最小值为，所以值域为． 【小问3详解】 由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或，即． 19. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛．现某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元；该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额因设备额外产生的收益－设备的成本），其中． （1）从第几年开始，该设备开始盈利； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理?并说明理由． 【答案】（1）3； （2）两种方案盈利额相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【解析】 【分析】（1）先求出前年的盈利额y，分析和求解得解； （2）由（1）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求出两种方案对应的年份和总盈利额即可求解. 【小问1详解】 由题意可知前年的盈利额为， 令，有即， 解方程得， 所以不等式的解为， 因为，所以， 又，所以当时，， 所以从第3年开始，该设备开始盈利； 【小问2详解】 方案①：由（1）知年平均盈利额为， 当且仅当即时等号成立， 所以第7年平均盈利额达到最大值，再以30万元价格处理该设备，则共盈利万元； 方案②：由（1）知第10年盈利额达到最大值为， 再以12万元价格处理该设备，则共盈利万元； 两种方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $