课时作业5 空间向量运算的坐标表示-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦空间向量运算的坐标表示，通过基础巩固、中档综合、拓展探究三层设计，实现从概念辨析到空间应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（坐标运算、位置关系判断）|单选考概念辨析（如充要条件判断），夯实空间观念| |中档综合|综合应用（夹角计算、几何体积）|多选填空考运算推理（如向量夹角余弦值计算），发展推理能力| |拓展探究|复杂情境（动态点轨迹、空间角探究）|解答题考建模探究（如最小值问题），培养模型意识|

课时作业5空间向量运算的坐标表示 一、选择题 4=4=a 1,若向量i=(4,4,a）,b=(么，b,b),则么6,6是a川石的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若AB=(2,-山，-4) AD=(4,2,0)AP=(（-1,2,-),则PA与底面ABCD的关系是( A.相交 B.垂直 C.平行 D.成60°角 8 3.若向量i=(x,2),6=(2,-1,2),且ā，万夹角的余弦值为9，则x等于( 2 A.2 B.-2 C.-2或55 D.2或 、2 5 4设xyeR若向量a=(,),6=(,,=(2,4,2),且a1c,c则x+y的 值为( A.-1 B.1 C.2 D.3 5.己知四棱柱ABCD-AB,CD,为正方体，则下列结论错误的是( A.(44+AD+4B)2=34B B.向量AD与向量AB的夹角是120 c4C-(4B-44)=0 D.正方体4BCD-4BCD的体积为BM4·AD 6.若P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的面ABCD上一点，则PAPC的 取值范围是( 11 B24 c【-1,o n「 7.(多选题)已知P是△ABC所在的平面外一点，若4B=（-21,4),AP=(山，-2,1) AC=(4,2,0),则( ) A.AP⊥AB B.AP⊥BP C.BC=53 D.APII BC 8.(多选题)正方体4BGD-ABCD的棱长为2，M为B,C的中点，下列命题中是 真命题的是( A.AB与BC成60角 CN=NC CE= B.若 ,平面AMN交CD于点E, C,若P点在正方形ABBA边界及内部运动，且MP1DB,则P点的轨迹长等 于V2 DE_AF=2 D.若点E,F分别在DB,AG上，且EBFC,直线EF与AD,AD所成角 分努是么A则“+-号 二、填空题 9.已知向量=(3，-2，-3)，五=(1，x-,),且ā与万的夹角为钝角，则x取值范围是 10.已知向量a=(24,),6=(2,y,2),若同=6，ā16，则x+y的值是 11如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=1,BC=V5,点M在棱CC上，且 MD1MA,则当△MAD的面积取得最小值时，棱A4的长度为 D 12.如图，已知在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角 形，PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点，则异面直线AC与 PD所成角的余弦值为 B 三、解答题 13.已知点A(0,12)B(1,-13)C1,5,-) (I)若D为线段BC的中点，求线段AD的长， ②)若D=(2a,l,且B.D=1,求a的值并求此时向量B与D夹角的 余弦值 5,10 14如图，BC=2,O是BC的中点，点A的坐标为 22 ,点D在坐标平面Oz 内，且∠BDC=90°，∠DCB=30 ()求向量CD的坐标， (2)求AD与BC的夹角的余弦值 D B 15.如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oz,点P在线段AB上，点Q在线段DC上 (①)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为点M时，求PM的长度， (②)当P是线段AB的中点、点Q在线段DC上运动时，探究PQ的最小值是 多少 2 A 参考答案 a=42=a=元 1A解折：没么66，则方a=5(b≠0)，所以a川6：若i=0,点有ab,但 ≠≠ 4=4= b b2 b.所以BB,b是川b的充分不必要条件. 2B解折：AP·AB=-2-2+4=0,AP.AD=-4+4+0=0,即AP⊥AB,AP1AD,且 AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD cos<a,b > a-万=6-x=8 aB 3V5+x9 2 X= 3.C解析： ,解得x=-2或55 4.A解析：因为ā⊥c,所以āc=2x-4+2=0,解得x=1. 1y1 又b,所以242，解得y=-2,所以x+y=-1 5D解所不坊说正方体的技长清1，以D1,DC,D0}青一个单位正交基民建主空同直府 坐标系D2,如图所示， D B 则各点坐标为4,00)，B(11,0),C(01,0),D(0,00)4(L0,1)B(,1) D,(0,0,1) 因为44+4西+48=(0,0，-l+(1,00)+(01,0)=(1山，-)，所以 (4A+4D+4B}4A+4D+4B=3,34B=348=3×=3,故A 不特合题意周为4D=(1,01）,4B=(0,1-),所以4D4B=0+0-1=-1 AD·AB -1 0=24=2 COs<AD,4B>= AD AB √2x√2 ,所以 ,所以向 量4D与向量4B的夹两是120，故B不特合题意.因为4C=(-1,-) 4纸-44=AB=(01,1）所以4C(4R-4)=0+1-1=0 故C不符合题意 因为1B144,所以B:=0所以BA·D00=0 故D符合题意 6D解析以，点D为原点，以DA所在的直线为"轴，以DC所在的直线为y轴，以DD所在 的直线为2轴，建立空间直角坐标系，如图所示 B 则点4(，0,0），C(0,11),设点P的坐标为(x2）,由题意可得0≤x≤1,0≤y≤1 z=1 所以P1=(1-xy-),PC=(（←x,1-⅓0) 所以 mc=-0-刘0-0=-+y-(+ 二次函数的性质，可得 1 =y=2时PA-PC取得最小位最小值为2： 当 当x=0或1，且y=0或1时，PAPC取得最大值为0 P4PC的取20 7AC解折：因为AP.AB=0,故A正确BF=AP-AB=(3,-3,-3) MBP=3+6-3=6≠0，故B错误BC=AC-B=(6l,-4) BC=v62+1P+(4=v5 5支c正殊.=-2BC=(61,4 AP≠入BC,故D错误 8.ACD解析：如图，建立空间直角坐标系， D A D B 则，点4(2,02)，B(2,22)C0,22)D0,02)4(20,0)B(2,20) C(0,2,0)D(0,0,0)M(1,2,0) 对于选项A8=(02,-2),BC=(-20,-2) COs<AB,BC> AB·BC 4 4BBC22×2W22 所以AB与BC成60角，所以选项A正确， 对于选项B,因为 ,所以点 )() 4西=(-204-气2,24E=(2,m2)由2布程4，M,xE四点共 3 面， 所以孔，HeR,後得4M=AN+μ4E 1=2, -1=-21-24, 3 2=22+m4, 0=32+24, 1m= 解得 对于这项C设P(2,八）则MP=(山y-2,)DB=(2,2-2) 由MPDB=2+2y-4-2z=0,得y-2=1 所以，点P的轨迹为平面A4B,B内满足y-z=1的，点构成的线段长度为V2,所以选 项C正确。 DE_AF=2 对于选项D,因为，点E,F分别在DB,AC上，且EBFC 正-吸-2.2-2)-售等) 所以 -c-42-号0唱号)r后 F(a到 则 44 33 3 o-(o同 22×2N2 3 故0=0， 4,4 cosB=cos<EF,DA> 3 3 =0 2 ×V4+0+4 B= a+B= 2,则 2,故选项D正确。 ,2}-得发为a5<0e5说4 a-6=3×(-1)-2×(x-1)-3×1=-2x-4<0,解得x>-2若与b共线则 -1x-11 5 3=-2-3, x=5 X丰一 3,因为与b不共线，所以3，因此实数x的取值范围是 〔2引8 10.-3或1解折：因为向量a=(2,4,6=(2y,2),若园=6.a16,所以 V22+42+x2=6, a.b=4+4y+2x=0, 解得 x=4, y=-3或 因此x+y的值为1或-3. 3W2 1.2解折：设4=mm>0),CM=n(0≤n≤m）,建主空间直角坐标系，中图所示 2 DI 4 B 则点D(0,0m）,M(0,1川），4(5.0,0)所xDM=(0,n-m）】 Am=(5,1川】 又011+a-侧=0m- n S.-DMHAM-+(m-m.V3+1+n 所以 3W2 当且仅当n=√2 m= 2时，等号成立，所以当△MAD的面积取得最小值时，枝A4 32 的长度为2， 2 12.4解析：取AC的中，点O,连接OP,OB,因为PA=PC,所以AC⊥OP 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以OP⊥平面ABC 又AB=BC,所以AC⊥OB,以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. P D Bx 因为△PAC是等腰直角三角形，PA=PC=4,△ABC为等边三角形， 所以点40，-2w5,0).c0,22.0)P00,22)D6,-2.0） C=(0,42,0)PD=(N6,-V2,-22) 所以 cos<AC,PD>= AC.PD -8 AC PD 4V2×4 4 所以 √2 所以异面直线AC与PD所成角的余弦值为4. 13解0西题意知，点4(0,12)，BL-L3),CL5,-.且点D为线段BC的中点 可得点DL2g0=.-以西=5脚我液D特长劳5 @向点1(01,2)，B1-1,3).B=(1-2, 所以BAD=2-2a+1=1,解得0=1，所以4D=(2,1) Cos<AB,AD>= AB.AD 1 1 AE AD V6xV6 6 1 则 即向量AB与AD夹角的余弦值为6 14.解：I)过，点D作DE⊥BC于点E(图略)， DE=BD·sin60°= 3 则 2, OE=0B-BD.cos60=1-1=1 0-1,5 22,所以点D的坐标为 22 =( 33 又点C01,0),所以 -22 AD- (②)依题意有点A坐标为 ,所以 BC=(0,2,0) AD.BC COs<AD,BC>= 0 ADBC 5 则AD与BC的夹角的余弦值为 15.解(1)由题意知点 A(1,0,1)B(11,0)C(0,1,0)D(1,1,1) 当PB=2AP时，点 引5到 w-06居-2 所以 ②)当P是线段AB中点时，点 当点P在线段DC上适动时，设点(a,l,a),a∈[0， o-y 3 a= 6 所以当4时，P取得最小值，最小值为4，此时点