1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦空间向量坐标表示，通过基础巩固-能力提升-综合应用三层设计，实现从概念理解到空间运算再到实际应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|向量坐标表示、模长、数量积|选择1-5题直接考查坐标定义与基本运算，填空9-11题强化射影、向量差模长计算| |提升|平行垂直判定、夹角计算|选择6-8题结合三角形形状、直线夹角，填空12题深化空间几何场景应用| |综合|综合运算与实际问题|解答13-15题涉及参数求解、正方体异面直线夹角，体现知识迁移与逻辑推理|

课时作业4 空间向量及其运算的坐标表示 一、选择题 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(1,1,1)　　　　　　　 B. C．(3,2,5) D．(3,2，－5) 2.已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ） A． B．或 C． D．或 3．(多选题)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　) A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为(　　) A. B. C. D. 5．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 6．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）. A． B． C． D． 8.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________． 10．已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足，则向量的坐标为________． 11．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________． 12.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为 . 三、解答题 13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． 14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值． 15．已知. （1）若，分别求λ与m的值； （2）若，且与垂直，求. 课时作业4 空间向量及其运算的坐标表示 (答案） 一、选择题 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(1,1,1)　　　　　　　 B. C．(3,2,5) D．(3,2，－5) 解析：选C　＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)，故选C. 2.已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ） A． B．或 C． D．或 解析：解得， 代入得，又向量夹角范围：故的夹角为，则与的夹角， 当时为；时为.故选：B. 3．(多选题)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　) A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 解析：选AD　∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2， cos〈a，b〉＝＝＝－.故A、D正确，B、C 不正确． 4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　由已知得ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k,2)·(3,2，－2)＝0，即5k－7＝0，解得k＝，故选D. 5．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 解析：选B　由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,3，－2y－2)． ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)， ∴解得 6．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C　∵＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)， ∴||＝＝，||＝＝， ||＝＝， ∴||2＋||2＝||2，∴△ABC一定为直角三角形． 7.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）. A． B． C． D． 解析:，，设， 根据题意得，,,,. ,, .故选：A. 8.已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 解析:设，则， 因为点在直线上运动，所以， 所以，即，，所以， 所以 所以当时，取得最小值，此时点的坐标为. 故选：B 二、填空题 9．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________． 解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝. 答案： 10．已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足，则向量的坐标为________． 解析：设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)， ＝(3－x，－2－y，－5－z)． 又∵，∴∴ 答案： 11．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________． 解析：由已知，得 b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)． ∴|b－a|＝ ＝＝ . ∴当t＝时，|b－a|的最小值为. 答案： 12.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为 . 解析:，，设， 根据题意得，,,,. ,, . 答案：. 三、解答题 13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． 解：(1)∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)． ∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴＝＝， 解得λ＝－. (2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0， 解得λ＝. 14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值． 解：不妨设AB＝1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立直角坐标系，则B(1,0，0)，E1， C(1,1,0)，O1， ＝， ＝， ·＝·＝， ||＝ ，||＝ . ∴cos〈，〉＝＝. 即BE1与CO1所成角的余弦值为. 15．已知. （1）若，分别求λ与m的值； （2）若，且与垂直，求. 解析:（1）由，得 ，解得 （2），且 化简得，解得. 因此 学科网（北京）股份有限公司 $