1.3.2 空间向量运算的坐标表示课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算，分层设计从基础概念到几何应用，通过选择、填空、解答题梯度进阶，巩固运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|坐标运算、投影向量等单一知识点|直接应用公式，强化概念理解，如第1-5题| |综合应用|垂直平行判定、夹角计算等综合考点|结合正方体模型，培养推理意识，如第6-10题、11-13题| |拓展提升|三棱柱中向量表示与运算|建立坐标系解决几何问题，发展空间观念与模型意识，如第14-15题|

1.3.2 空间向量运算的坐标表示课后同步作业 （限时：45分钟） 1．已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 2．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 4．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 5．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．在上的投影向量为 D．向量共面 9．（多选）已知向量，则（   ） A．若，则 ∥ B．若，则 ⊥ C．若，则 D．若,则向量在向量上的投影向量 10．（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 11．已知空间向量，若，则__________. 12．已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为_____. 13．已知向量，且，则实数___________． 14．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 15．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2 空间向量运算的坐标表示课后同步作业 （限时：45分钟） 1．已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 2．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积及向量模的坐标表示计算，再利用投影向量的意义求解. 【详解】空间向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 3．已知，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间两个向量共线定理得到方程，再根据向量相等列出方程组即可得解. 【详解】若，则存在实数，使， 即， 所以，解得. 故选：D 4．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 5．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 6．在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 7．已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，再利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 8．（多选）已知向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．在上的投影向量为 D．向量共面 【答案】ABD 【分析】根据模长公式分析判断A；根据投影向量的坐标运算判断BC；对于D：分析可得，即可得向量共面. 【详解】对于选项ABC：因为， 则，，故A正确； 在上的投影向量为，故B正确，C错误； 对于选项D：设， 则，解得， 即，所以向量共面，故D正确； 故选：ABD. 9．（多选）已知向量，则（   ） A．若，则 ∥ B．若，则 ⊥ C．若，则 D．若,则向量在向量上的投影向量 【答案】ABD 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 ， 若，则，，所以∥，A选项正确； 若，则，，所以⊥，B选项正确； 若，则，则，C选项错误； 若，则，则向量在向量上的投影向量为 ，D选项正确. 故选：ABD 10．（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】AD 【分析】对于A选项，根据平行得到方程组，求出；对于B选项，根据模长得到方程，求出；对于C选项，且不反向共线，结合A选项，可得且；对于D选项，根据投影向量的公式得到方程，得到，进而求出. 【详解】对于A选项，，设，即， 故，解得，故A正确； 对于B选项，，解得，故B错误； 对于C选项，， 为钝角，故且不反向共线， 所以，解得， 由A可知，当时，反向共线，所以且，故C错误； 对于D选项，在上的投影向量为，又在上的投影向量为， 所以，即，解得，故D正确. 故选：AD 11．已知空间向量，若，则__________. 【答案】3 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 即，解得，. 故答案为：. 12．已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为_____. 【答案】 【分析】先求，再根据数量积求向量的夹角. 【详解】因为. 由， 所以，所以. 故答案为： 13．已知向量，且，则实数___________． 【答案】2 【分析】先利用空间向量坐标运算计算出向量与向量的坐标，然后由，最后根据空间向量坐标运算计算即可. 【详解】由， 所以， ， 又，所以， 即， 解得：， 故答案为：2. 14．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题． 【详解】（1） （2），，,， 设与的夹角为，则． （3），， 根据， 解得． 15．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【答案】(1) ，，，，，； (2) (3) 【分析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可； （2）写出的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解； （3）根据计算即可. 【详解】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； （2）由题意知，， 故； （3）， 所以. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $