空间向量基本定理课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕空间向量基本定理，通过基础选择、进阶填空、综合解答三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底概念、共面判断|选择题考查基底性质（如第1、7题），培养抽象能力| |进阶层|向量线性表示、坐标运算|填空题训练几何体中向量表示（如第9、10题），提升运算能力| |综合层|空间距离、异面直线成角、定值证明|解答题综合应用定理（如第13-15题），发展推理与表达能力|

课时作业3空间向量基本定理 一、选择题 1.己知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB，OC不能构成空间的一个基底，则 ) A.01,0B,0C共线 B.OA,OB共线 c.OB,OC共线 D.O,A,B,C四点共面 2如图，在三棱柱ABC-ABG中，M为AC的中点，若AB=立，A4=C, BC=b,则下列向量与BM相等的是( ) B1 B-- C A +-B+d 1 a++c 1 A.2 2 B. 2 -1a-6+c a-6+c C.22 D.22 3.已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6,则PC等于( A.6V2 B.6 C.12 D.144 4.在平行六面体ABCD-ABCD中，4M=2MC,AM=xAB+yAD+zAA,则 实数x,y,z的值分别为（ ) 221 212 122 212 A.3’33 B.333 C.333 D.3’2’3 5.已知棱长为1的正方体ABCD-AB,CD的上底面4BCD的中心为O,则 AO·AC的值为( A.-1 B.1 C.0 D.2 6.已知在空间四边形ABCD中，∠ACD=∠BDC=90°，且AB=2,CD=1,则 AB与CD所成的角是() A.30 B.45 C.60 D.90° 7(多选题设{a,6是空间的一个基底，则下列结论正确的是《 ) Aā，b,c可以为任意向量 B对空间任意向量卫，存在唯一有序实数组(x,,2),使D=xa+b+zC c若a⊥b,b⊥c,则a⊥c D{a+2五，5+2，c+2a可以作为构成空间的一个基底 8.(多选题)已知在三棱锥O-ABC中，点M在OA上，且OM=2MA,N为BC中 点，设0A=a,OB=b,OC=c,则( ) AN-1a+16-2d MM=2a--c A 2 B. 3 CM-2a-8 2-1 2 BM=2a+26- c. 3 D. 332 二、填空题 9.如图，在梯形ABCD中，AB‖CD,AB=2CD,O为空间任一点，设OA=ā， OB=b,OC=c,则向量OD用a,b,c表示为 10.在正方体4BCD-ABCD中，已知41=ā，A8=6,4D=c,0为底面的 ABCD的中心，G为△DCO的重心，则AG=(用a,b,c表示AG) 11.如图，已知线段AB⊥平面a,BCca,CD⊥BC,DF⊥平面a,且 ∠DCF=30°，点D与A在平面C的同侧，若AB=BC=CD=2,则A,D两点间的 距离为 A 12.如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=BC=AA,∠ACB=90°，D,E分别 为AB,BB'的中点，则CE与AD的位置关系为 ;异面直线CE与AC所成 角的余弦值是 C A D 三、解答题 13.如图所示，在口ABCD中，AB=AC=AD=1,∠ACD=90°，沿着它的对角线 AC将△ACD折起，使线段AB与CD成60°角，求点B,D间的距离， 14.己知BB,L平面ABC，,且△ABC是∠ABC=90的等腰直角三角形，口ABB,4, aBB,CC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB=a,求异面直线BA与AC所成 的角的大小 15.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且 PM=3MG,过点M作任意一个平面，分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F,点 1,1,1 D,E,F异于所在线段的端点若PD=mPA,PE=nPB,PF=PC,求证mni为 定值，并求出该定值， P D G B 参考答案 1.D2.A 3.C解折：PC=PA+AB+BC PCP=PAP +ABP+BCP +2PA-AB+2PA-BC+24B.BC=3x6+2x6x6x1=4x6 所以PC=12 4.A解析：如图 D B B =2C以-号C 图为4C-4C-4=(aB+D)-AA 所以 3 3 x= 所以 孤=瓜+-号孤+号0 3 ,所以 3 A0=M+40=A+(4B+4D)=A+(aB+D) 5.B解析： C=+D.为aC=(+)+丽+)1 6C解析：根据已知∠ACD=∠BDC=90°，得AC·CD=DB.CD=0,所以 ABCD-C+CD+DB-CD-ACCD+CDF+D-CD-CD- COS<AB,CD>= AB.CD 1 ABCD 2 ,所以AB与CD所成的角为60° 7BD解析A选项ā，b,C应为不共面的非零向量B选项：由空间向量基本定理知，对空间任 意向量户，存在唯一有序实教组，)，使得D=a+b+2C;C选项：ā1b,万上 则a,c不一定垂直D选项 a+26,6+2c,c+2d中三个向量间无法找到实数入使 得它们之间有m=万形式的等式成立，即可以构成基底故选BD。 8.BC解析： -(c+-oc-o网列+o俪-o+6-a M-ow-o丽-号oi-os+oc)-3a-5-e CM=C0+OM=-c+ 8-+w-@-o例+(o网)号五-6 1a-6+c 9.2 2 2 1 5 a+-b+c 10.3“26解析：如图， D E A 在正方体ABCD-ABCD中，4A=ā，AB=b,4D=c, 因为O为底面ABCD的中心，G为△D,C0的重心，所以 4G-0+0G-++OD+0C) 6++aA+C+丽+B++cC] 6+-6++6+d小=号a+5+ 1.2V2解折：因为AD=AB+BC+CD, 所以 |ADP=(AB+BC+CD)2 =AB+BCP+CDP+24B.BC+24B.CD+2BC.CD =12+2(2×2cos90°+2×2cos120°+2×2c0s90°）=8 所以西=25即4D再支阿的年高为2 10 12多壶10好折设C=aC西=6.CC-C,根摄题感H6H卫 ab=bc=ca=0,所以 CE-6+&AD=-e+6-1a 2 02.所以 cE.D=-c2+2=0 2 所以CE⊥AD,即CE与AD垂直； 4叶 e.c)w cos<AC,CE>=_ 10 所以 ,即异面直线CE与AC'所成角的余弦值 V10 为10. 13.解：因为∠ACD=90°，所以AC.CD=0 同理AC.BA=0 因为线段AB与CD成60°角，所以<B1,CD>=60°或<BA,CD>120° 又BD=BA+AC+CD】 所以 BDP=BA+ACP+CDP+2BA·AC+2BA.CD+2AC.CD=3+2×1×1×cos<BA,CD> 所以当<BA,CD>=60时BD=4,此时B,D间的距离为2 当<BA,CD>=120时，BD=2,此时B,D间的距离为V2 14.解：如图所示， A 6 因为BA=BA+BB,AC=AB+BC】 所 BA·AC=(BA+BB)(AB+BC)=BA.AB+BA·BC+BB·AB+BB·BC 因为AB⊥BC,BB⊥ABBB⊥BC 所以AB.BC=0BB·AB=0,BB·BC=0.BAAB=-a 所以BA·AC=-a 又BA·AC-HCeos<-BA,AC> COs<BA,AC>= -a2 1 所以 2a.2a 2 <B,4C>e[0,180].所以<B4,AC>120 又异面直线所成的角是锐角或直角 所以异面直线BA与AC所成的角为60 15.解：连接AG并延长，交BC于点H(图略)，由题意，取 PA,PB.PC) 空间的一个基底， 则 -3p+×B+C=pm+PB-PA列+(Pc-P网) 4 2 24 44 4 连接DM,因为，点D,E,F,M共面，所以存在实教乙，“使得DM=DE+uDF,即 PM-P历=APE-PD)+a(PF-PD)奇以 PM=(1-2-u)PD+2PE+PF=(1--)mPA+nPB+mPC,由空间向 量基本定理，可知4 -2-加子 =t 4 1+1+=41-2-)+4元+4w=4 所以mn”t ,为定值