1.2 空间向量基本定理同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础概念辨析、几何情境应用到综合问题解决的三层设计，强化从单一基底到复杂几何模型的向量表达能力，培养空间观念与推理运算素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底判定、向量线性分解|单选1-5直接考查基底共面性，填空12-13训练向量线性运算，夯实概念理解| |中档层|几何图形中向量表示、共面问题|单选6-8结合正四面体、平行六面体，多选9-11综合基底性质与数量积，提升空间转化能力| |拔高层|综合应用与证明|解答15-19涉及四棱柱、四棱锥中的向量表示及轨迹问题，融合逻辑推理与运算求解，发展数学思维|

1.2空间向量基本定理同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1,若a,6,为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是() A.a+c,a-B,B+c B.c,a+b,a-B 1 c.{a,a+b,-55} a+b,a+b+c,-c D 2.在平行六面体 BCD-4BC0中，点E为棱1的中点，点F为陵CC上靠近C的三等分点.若 AA EF=xB+y4D+z杯，x八zeR,则X+y+2的值为《) 1 A.6 B告 c. D.6 1 3.在三棱台4BC-4BC中，44=4B=4C=24B=2,cos∠BA4=cos∠BAC=cos∠CA4=, △MBC的蛋心为0，BC的中点为D,40与40 相交于点E,则4E的长为() V179 V178 V179 V178 A.4 B.4 C.8 D.8 4.已知正方体ABCD-4BCD的楼长为1，且满足DE=xD1+DC+1-x-)DD,则DE的最小值 是() 1 √2 5 A.3 B.3 C.3 D.3 5.如图，在空间四边形 18C中，M是O4的中点，点V在8C上，且CT=2丽，设 W=01+0丽+：0C,则，，”的值分别为《) M B A5 B台系司 e日景} 112 D.2,3,3 6.已知正四面体O1BC的枝长为1，点M在O4上，且O丽-号O,点V劣BC中点，剥用装底 3 OA.0B,0C表示为() A0i-o丽+0c B.oi+o-oc c.04-108+10c n.oi+o丽+oc 7.在平行六面体 BCD-4CD中，4B=∠44D=∠D1B=60,且4B=AD=M=2,C交平面 ,且 ABD 于点M, CM=() 4v6 A.6 B.2√2 C.3V2 D.3 8.在平行六面体ABCD-AB'CD'中，底面ABCD是正方形，∠AAB=∠AAD=60°，AB=2,AA'=4, M是棱AB的中点，AC与平面AMD'交于点H,则线段A'H的长度为() 2 2W2 3v2 A.2 B.3 C.√2 D.2 二、多选题 9.(多选)已知正四面体ABCD,E是BC的中点，F是直线AD上的动点，则以下判断中正确的是 () A.直线AE和CF恒为异面直线 B.直线AD上存在点F,使得AECF C.直线AD上存在点F,使得AE⊥CF D.直线AD上存在点F,使得AE与CF相交 10.下面四个结论正确的是()， A.空间向量a,(a,6+0）,若a1万，则a-6=0 B.若对空间中任意一点0，有OP=01+OB+)0C,则卫，A,B,C四点共面 6 C.已知a,6是空间的一个基底，若m=a+,则a6,m 也是空间的一个基底 D.任意向量a,i,c满足(a-bc=a-(6-c) 11.如图，在平行六面体 BCD-4B,CD中，以顶点4为端点的三条枝长都是2，且它们夜此的夹角都 是60，P为4D与40的交点，若B=a,D=6,瓜=8，则下列正确的是（) D 814 B -0 A.CP=-a-16+1d 2 2 B.AC=a+b-c n(be.c C. D.BD的长为2V3 三、填空题 12.在四面休4CD巾，点E满足DE=DC,P为s的中点，且F-B+C+。D,则实数 6 = 1B,如图，在四面体P8C中，E是C的中点，所=师，设A=,P吸-=，PC=C,则所= (用a6 表示) B 14.如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，且 AE AH CF=CG=1. EB-HD-FB-GD2M是EG和FH的交点，以{B,AC,而)为基底表示，则二 E G 四、解答题 15.四棱柱ABCD-BCD的六个面都是平行四边形，点M在对角线HB上，且AM=MB,点N 在对角线MC上，且lAN=C. C A D o (0设向量=a.而=6，=6，用、万、表示向量DW.D丽： (2)求证：M、N、D'三点共线 16.如图，己知四棱锥T-ABCD的底面为平行四边形，平面C与直线AD、TA、TC分别交于点P、Q、 AP_T≌_CR R:且满足D7CTx点M在直线7B上，N为棱CD的中点，且直线N/平面a .N M ①没=a,历=五，元=C,试用基底位.五表示向量而， (②)若点M的轨迹长度与棱长TB的比值为“，试讨论“是否为定值，若“为定值，请求出“，若“不为 定值，请说明理由 17.如图所示，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和 AB,AD 60°N▣CM a b c 的夹角都是，是 的中点，设a一ABb=ADC二AM以，式以，，为基向量表示 出向量BN,并求BN的长 M D B ∠AAB=∠AAD=60° 18.如图，在平行六面体 BCD-4BCD中，底面MBCD是边长为'的正方形， 44=2,B=8,D=万，=c,M为CC中点. C A B M D B 0)用空间的一组基a五C表示DM,4C, ②求DW,4C的值 19.如图，ABCD和BBr是不在月一平而上的两个矩形，DM-兮06，N-写正，记丽=a: D=乃，正=c请用基底a,6,, 表示下列向量： E I r 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B B D 0 ① A CD ABC 题号 11 答案 AC 1.B 通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判 断B正确 对于A,因为a+-(a-6)-6+e.所以a+,a-6,万+共面. 所以a+,a-6,6+d不能构成基底， 对于C,因为6=5a-5(a+) 所以aa+5,-5共面，所以位，a+6,-5}不能构成基底，c错误： 对于D,=+5+-+) a+b,a+b+c 1 所以 +i,a+6+d,3 共面，所以 3 不能构成基底，D错误， 对于B,若Ga+6,a- 共面， 则可设=(a+6列+(a-列，故c=(c+)a+(x-y5, 故可6，c 共面，与条件矛盾， 所以c,a+6,a-6不共面，即，a+6,a-} 能构成基底，B正确： 故选：B 2.B 选一组基底弧，D,}, 利用空间向量基本定理即可求解 由思意有花-=杯，示-}CC,所以F=亦-正=丽+c+F-}杯 0+而+0G=+0-名4， 3 所以x=y=1,2= 6,所以x++2=1+1-1马 66, 故选：B. D C B E A B 3.D 延长40交8C于点F,通过三角形重心的性质得出F为BC的中点，结合已知即可行出 交 40=名4F=名×)AD=;AD,再通过三棱台的性质得出△4B0-△DE4,则DEDA3,即可将正分 21 AE AO 1 32 3 解为(6++AC),即可利用向量模的求法结合已知得出答案 如图，延长 交 于点F, C A 的重心为， D AABC 0 4F为△4G在BC边上的中线，即F为C的中点， BC 为 在 “三棱台 BC-ABC中，△ABG-aC,B=AC=2A8=2 AF=4D48=4G= 40=号4F=号×D=4D 2 21 32 3 “三棱 1BC-ABC中，面48G百4BC,且面1DFA分别交面48G,商 ADFA ABC AF AD .AF‖AD AE AO1 a4E0-aDEA,则DE=DA3: 0正-4+而-+}+540-+g+gc-6++) 得 所86属+6+4G可-856石++ac+124+12C+26元-17s 8. 故选：D. 4.C DE 由空间向量的共面定理可得点E,A,C,D四点共面，从而将求DE的最小值转化为求点D到平面ACD的 距离d,再根据等体积法计算d 因为DE=xD1+)DC+-x-)DD E,A,C,D 由空间向量的共面定理可知，点 四点共面， 即点B在平面ACD上，所以DE的最小值为点D到平面ACD的距离d, 由正方体棱长为1，可得△ACD是边长为V2的等边三角形， 则5mxsn-5 1 “32, 2 2, 由等体积法得，'-4Cm='n-4cD,所以3X2 3, 3 所以的最小值为3· 故选：C 5.c 利用向量的加法、减法和数乘向量即可化简求出， 因为-2，则0m-0c-20丽-20：即0-号0c+号0， 3 因M是01的中点，则OM-0, 所以m=oN-oN-号o+}c-01 3 3 故选：C 6.D 根据空间向量基本定理进行求解即可 BN=NC ,所以， ON-OB=OC-ON 因为N为BC的中点，则 则o-0+oc,因t.W-o丽-o吸：a1o5+oc. 3 故选：D M B 7.D 连按AC,BD交于点五，连接4H与AC交于点0，由几何关系证明40OC且点M与点O重合，则由 MC-号引(B+D+求棱即可： AC,BD 根据题意，连接 交于点H连接4H与1C交于点0，如图。 D A B (O B 40-4H=1340=oC 在平行六面体中，△0AH∽△0C,4,则OC4G2 2 根据平面的基本性质易知点M与点O重合，故 Mc-号4C,MC-aB+aD+A =a6+D++2丽D+20.4+24西 4x3+4×3到= 3 ..IGM-4V6 3 故选：D 8.A 根据向量的线性运算，结合模长公式可得℃，再利用共面定理，即可得解 取B=aAD=6,=c,∠AAB=∠AAD=60、∠BAD=90 所以a=l=2,Ad=4,a6=0,c-6=a-c=2x4x=4, 2 AC=AA+AB+BC=-c+ā+b ,则 4C=2+a2+62+2a-i-2a-c-2c-6 =16+4+4-8-8=8,4C=22 设阳=Ac=(-+a+) 又AF=A万-AA, 所以4丽=A-c+a+b)+c=a+6+1-2)e 由于D,,共面，故存在》使得 ǖ=xD+=(+6列+c+0 =2a+5+x+列， = 4 1 所以{入=x ,解得 x=- 4 1-=x+y y=2 2 故选：A D M B D 9.CD 当点F与点A重合时，易得A错误，D正确，设AE‖CF,可得CF=元A正，则 测D=号++}4c 得出，，C.D四点共面即可判断,设设正四面体的楼长为1，=D 然后由 AEC乎=0求 解判断C. 当点F与点A重合时，AE和CF相交于点A,故A错误，D正确： 假设AEICF,可得CF=A征，即A-AC-B+AC), 而-++引c 可得 即A,B,C,D四点共面， 则与己知条件中的正四面体矛盾，故B错误： 若不妨设正四面体的棱长为1，设AF=mAD, 因为E1CF,则2E-CF=0 即2证.G-(西+aCa而-C列-m-1=0, 3 解得m=2,所以C正确. 故选：CD 10.ABC 根据空间向量的概念及其向量共面定理，基底，数量积等的概念，即可判断得出答案. 对于A:若aL万，则a-6=5o=0,故A正确： 对于B:若对空间中在意-点0，有OP-01+06+0C,则 1 6 3 60p-2o1-号o8-30r+50c-20P 即得MP=2P丽+3Pc 所以亚，PB,PC共面，则P,A,B,C四点共面，故B正确； 对于C:假设a,6,m}不是空间的一个基底，则a6,m共面， 设历=a+6,yR 因为m=i+c,所以有a+6=a+C 整理可得-)a+6-c=0 因为a.6,是空间的一个基底。 x-1=0 y=0 所以有 1=0 显然该方程组不成立，故假设错误 所以， {a,6,m也是空间的一个基底，故C正确： 对于D:由于a b.c 是一个实数， 也是一个实数， 则由(6-)=a(6-d可得c和a其线，与已知a瓜，c的年意性不符，放D错误. 故选：ABC 11.AC AB选项考查的是空间向量基本定理的应用，以瓜，6，C为基底表示C乎，AG就可以得到结论：C选 项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示DC和1C,再求它们的数量积和模，利用 cos(DC,AC)= DCAC DCHAC可判断C是否正确：对D选项，先用基底表示BD,再结合BD"BD P可求 BD 的长 D B P =0-c-(D+)-(西+列=-丽-0+号=-a+,放正 …AC=B+BC+CG=B+D+=ā+6+8故B错误 又：.a=6=c2=4.a6=ic=ca=2x2xcos60=2 Dc-a,pc=2, AC=a+b+c aG-a+5+d-后+6+c2+2a6+25c+2a证-V4+4+4+4+4+4=26. DCAC=aa+6+c=2+a6+ac=4+2+2=8 :cos(DC,AC） DCAC 86 DC×4C2×2V63故C正确 :BD=-a+6+c,:BD=-a+i+c}=a2++2-2a6+25c-2a =V4+4+4-4+4-4=2√2 故D错误 故选：AC. 2号 利师亦西+兮C+而，将正用C,而表示，再利用正=，将花用C而表不，对据 2 3 6 系数可得答案 由F为BE的中点， 得不+号亚，又亚号+c+而， 前以亚号C+而， 由DE=Dc,得4E-D=A(AC-D) 即正=A4c+1-)D 所以12 3· 2 故答案为： . 0-+ 2a-4 根据向量线性运算直接求解即可： E为4C中点，PE=PA+PC): ~8丽=3师，PF-PB 4 压=E-F何网丽-+ 4 121,1- 故答案为：20-4b+2C 4.名+4c+名0 由题意首先得四边形EFGH为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求 解。 AE-AH_CF_CG_⊥ 因为EDG品2，所以EH18D,EH=BD,月理FPG1/BD,FPG-BD, 2 所以四边形EFGH为平行四边形， 所以亚-正+画-兮亚+c}西+@+c+可) -名西+c+@+而列-名孤+兮4c+名和 故答案为：名西+兮4C+名0 15四0m-a-5-,N=五-5-4 孤：孤-孤-（初+而+丽列（兮+兮丽 (2)因为 -+号0=++， 4 而-而-w-而-（兮+0+6+ 所以=MD 所以MN与MD共线， 因为这两个向量有公共点M, 所以M、W、D'三点共线. (1)借助空间向量的线性运算计算即可得： (2)借助向量共线定理证明MN11MD即可得. 少因为AM-M,则M-}历-(+E)+}丽， -4+=-+号+兮-6 所以 又因为4N-G,则-4C=(++D)。 所以DN-+=-而+(++而列=}8-0} 31」 (2)略 16.(1)a+c-b 5 (2)“为定值2 (1)根据空间向量基本定理进行求解： (2)设TM=1TB=b,表达出 网-m-而=+行+小- ,根据MW/平面a,设存在实数 y2,使得M=O+0,表达出0F=0-a+c-场，Q吸=-a+1-,从而得到方程，得到 =-- 5 (41+1)x2-(4元+3)x+2元+1=0，分=4和4时，结合根的判别式，得到4 4,求出 5 4为定值2· 山因为国被批”的底衡为平行国边后，质以D:C 故T币=TA+AD=TA+BC=TA+T元-T丽=a+c-b: 向如历a-6碧8器， 所以0=a,示=0-x)G,AP=xD 则P=万+4P=+x而-列-a+xa+c-万-a)=a+c-6 OP=TP-TQ-(1-x)a+xc-xb QR-TR-TO=-xa+(1-x)c 设m=丽=，又N-c+0-a-6+c, 2 2 网=m-m=+份- 则 因为N∥平面“，则存在实数，使得=0+：OR 放W=0+0顾=0-)a+p0-g6-za+1-对zc -仔-0-加+-w6-i0- =(y-xy-xz)a-xyb+(xy+z-xz)c 少--=月 故w=2+2 X+z-xz=-1 整理得， (41+1)x2-(4+3)x+2元+1=0 时、2x-1=0,解得x 当2≠-4时，由△=[-(42+3)订-4(41+1(21+1)20， 5 解得4 4或4 4, 综上，4 As/ 5 , 5_5-5 所以对所有满足条件的平面α，点M的轨迹长度为4气4 2 效“为定值，“= 2. n.丽++ 22,2 根据题中条件，由向量的线性运算法则求出BN=-)++, 2+2b+2;再由向量模的计算公式，结合题中条 BN-V7 件求出2，即得出结果 因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， BBN-BC+CN-AD+CM-AD+(AM-AC)-AD+(AM-AB-AD) =+号而+号=+b+。 2 由题意，可得问=6=2，=3.∠M1B=∠MMD=60,∠BAD=90, -++-+6-五+5d 2 =11+2-0×2x3m60*2x3mr60r-4 2 2 所以列= 17 2,即BN的长为2· 18.a)DM=a+ 2c,AC=a+b-c 2DM=54d=2 (1)根据题意空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理分析运算： (②根据向量的数量积的运算律可得DM,AC的省 )思意可得：DN-c+CW=元+0C-i+5, AC=AB+BB+BC=a-c+b=a+b-c (2由题意可得：a6=0ac-6=21, 因为网-a+-+a+-1+4=5 4d=(a+6-c}=2++c2+2a-6-2a:c-25-元=+1+4-2-2=2 19.①Fc=a+6-c ②m=-五+& 1- 3 3 利用空间向量的运算求解即可. (1)F=FA++8c=-f+B+aD=a+6-。 =-=-(0+M）号证-(0+丽 西+-[而+西-而列+-[6+6-可 G5+5=5+5