26.2.2 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质(第1课时) 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y = ax² + k的图象和性质，课堂导入通过回顾y = ax²的性质，结合配方法解一元二次方程的经验提出问题，引导学生从特殊到一般构建研究路径，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于采用问题驱动与动手实践结合的教学方法，通过列表描点画图、比较函数值变化，归纳“上加下减”的平移规律，培养学生几何直观和推理意识。课堂小结系统梳理性质与平移关系，帮助学生建立知识网络，提升探究能力，也为教师提供清晰的教学逻辑和实践案例。

26.2.2 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质 (第1课时) 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第26章 二次函数 1 二次函数 y＝ax² 的图象和性质 y＝ax² 开口方向 对称轴 顶点 增减性 开口大小 a＞0 开口向上 y 轴 （0，0） 最低点 x＜0时，y 随 x 的增大而减小 x＞0时，y 随 x 的增大而增大 |a| 越大， 开口越小 a＜0 开口向下 y 轴 （0，0） 最高点 x＜0时，y 随 x 的增大而增大 x＞0时，y 随 x 的增大而减小 对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们研究了当 b，c 都为 0 时，对应函数的图象和性质，即 y＝ax2 的图象和性质．那么，当 b，c 不全为 0 时，y＝ax2＋bx＋c 又具备怎样的图象和性质？应该如何研究呢？ 回想一下，我们是如何通过配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的？由此，你得到了什么启发？ 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 与二次函数 y＝ax2 的解析式有什么关系？你觉得应该怎样规划 y＝a(x－h)²＋k 的研究路径？ √ 下面我们来探究当 h＝0，k≠0 时，二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质． h＝0，k＝0 h＝0，k≠0 h≠0，k≠0 h≠0，k＝0 y＝ax2＋k y＝ax2 y＝a(x－h)²＋k y＝a(x－h)² y＝a(x－h)²＋k 解：① 列表． 问题1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 ， 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． x ... －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ... ... 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 ... ... 6 2.5 0 －1.5 －2 －1.5 0 2.5 6 ... 解：② 描点． ③ 连线． 问题1 O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出 它们的开口方向、对称轴和顶点． 问题1 解：抛物线 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0，2）； 抛物线 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0，－2）． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出 它们的开口方向、对称轴和顶点． 问题2 形状相同； 开口方向相同； 开口大小相同； 对称轴相同； 增减性相同． 抛物线 与抛物线 有什么关系？ O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 上方 下方 顶点坐标不同； 图象位置不同． x ... －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ... ... 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... ... 6 2.5 0 －1.5 －2 －1.5 0 2.5 6 ... 问题2 抛物线 与抛物线 有什么关系？ 对于同一个 x 的值, 的函数值都比 大 2. 的函数值都比 小 2. 问题2 整个图象向上平移 2 个单位长度 每个点的纵坐标增加 2 抛物线 与抛物线 有什么关系？ 整个图象向下平移 2 个单位长度 每个点的纵坐标减少 2 平移会改变抛物线的开口大小和方向吗？ 平移只改变位置，不改变形状. 问题2 从代数的角度考虑，你能解释为什么抛物线 是由 平移得到的吗？ 分析：当自变量 x 的取值相同时， 的函数值比 的函数值大 2．对应到图象上，就是抛物线上每个点的纵坐标都增加 2，因此将抛物线 整体向上平移 2 个单位长度，就可以得到抛物线 ． 解：① 列表． 问题3 在同一直角坐标系中，尝试画出二次函数 的图象． x ... －3 －1 0 1 3 ... ... 0 3 0 ... ... －3 0 －3 ... ... －6 －3 －6 ... 解：② 描点． ③ 连线． 问题3 在同一直角坐标系中，尝试画出二次函数 的图象． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 －1 －2 －3 －4 －5 －6 －7 y 3 －8 2 1 －9 －10 线 有什么关系？ 问题3 抛物线 与抛物 向下平移 3 个单位 向上平移 3 个单位 O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 －1 －2 －3 －4 －5 －6 －7 y 3 －8 2 1 －9 －10 问题4 抛物线 y＝ax2＋k(a≠0)与抛物线 y＝ax2 (a≠0)有什么关系？ O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 －1 －2 －3 －4 －5 －6 －7 y 3 －8 2 1 －9 －10 抛物线 y＝ax2＋k(a≠0)是由抛物线 y＝ax2 (a≠0)向上或向下平移| k |个单位长度得到的 ． 问题4 抛物线 y＝ax2＋k(a≠0)与抛物线 y＝ax2 (a≠0)有什么关系？ 问题4 抛物线 y＝ax2＋k(a≠0)与抛物线 y＝ax2 (a≠0)有什么关系？ y＝ax2 y＝ax2＋k k＞0 时，向上平移| k |个单位长度 k＜0 时，向下平移| k |个单位长度 抛物线平移时，形状、大小和开口方向不变，只有位置发生变化． 简记为“上加下减” y＝ax²＋k 开口方向 对称轴 顶点 增减性 a＞0 向上 y 轴 （0，k） 最低点 x＜0时，y 随 x 的增大而减小 x＞0时，y 随 x 的增大而增大 a＜0 向下 y 轴 （0，k） 最高点 x＜0时，y 随 x 的增大而增大 x＞0时，y 随 x 的增大而减小 |a| 越大，抛物线的开口越小 归纳 二次函数 y＝ax²＋k 的图象特征和性质 解：列表，描点，连线． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y＝x²，y＝x²＋1，y＝x²－1．　　 x ... －2 －1 0 1 2 ... y＝x2 ... 4 1 0 1 4 ... y＝x2＋1 ... 5 2 1 2 5 ... y＝x2－1 ... 3 0 －1 0 3 ... y＝x²＋1 y＝x² y＝x²－1 解：抛物线 y＝x²＋1 是由抛物线 y＝x² 向上平移 1 个单位长度得到的，抛物线 y＝x²－1 是由抛物线 y＝x² 向下平移 1 个单位长度得到的． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况．　　 　 y＝x²＋1 y＝x² y＝x²－1 y＝x²： 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0，0）． x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； x＞0 时，y 随 x 的增大而增大． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况．　　 y＝x²＋1 y＝x² y＝x²－1 y＝x²＋1： 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0，1）． x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； x＞0 时，y 随 x 的增大而增大． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况．　　 y＝x²＋1 y＝x² y＝x²－1 y＝x²－1： 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是（0，－1）． x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； x＞0 时，y 随 x 的增大而增大． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况．　　 y＝x²＋1 y＝x² y＝x²－1 二次函数 y＝ax²＋k 性质 增减性结合开口方向和对称轴确定 k 的正负决定向上平移或向下平移 ① a 的正负决定开口方向； ② k 决定顶点的位置； ③ 对称轴是 y 轴. 图象 与 y＝ax² 的关系 谢谢 $