26.2.2 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质(第3课时)课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过回顾y=ax²+k、y=a(x-h)²的平移规律，搭建从单方向到双方向平移的学习支架，引导学生逐步掌握开口方向、对称轴、顶点的决定因素及平移关系。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合喷水池实例多方案建系培养数学思维和模型意识，用表格系统归纳性质强化数学语言表达。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可高效落实教学目标并助力学生理解知识脉络。

26.2.2 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质 (第3课时) 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第26章 二次函数 1 a 的正负决定开口方向 a＞0，开口向上; a＜0，开口向下． | a |决定开口大小：| a |越大，开口越小． h 决定顶点的横坐标以及对称轴的位置． k 决定顶点的纵坐标． 对于二次函数 ，它的开口方向、对称轴、顶点分别由什么决定？ y＝a(x－h)2＋k 抛物线 y＝ax²＋k ，y＝a(x－h)² 和 y＝ax² 分别有什么关系？ y＝ax² y＝ax²＋k k＞0 时，向上平移| k |个单位长度 k＜0 时，向下平移| k | 个单位长度 简记为“上加下减” 简记为“左加右减” y＝ax2 y＝a(x－h)2 h＞0 时，向右平移| h |个单位长度 h＜0 时，向左平移| h | 个单位长度 在前面的学习中，我们分别研究了抛物线 y＝ax2 在同一方向上的两类平移：向上或向下平移、向左或向右平移．如果抛物线 y＝ax2 同时进行左右、上下两个方向的平移，得到的解析式又会是什么呢？ 这节课我们一起探究当 h≠0，k≠0 时，二次函数 y＝a(x－h)2 ＋k 的图象和性质． y＝a(x－h)²＋k h＝0，k＝0 h＝0，k≠0 h≠0，k≠0 h≠0，k＝0 y＝a(x－h)2 y＝ax2＋k y＝ax2 y＝a(x－h)2＋k √ √ √ 解：① 列表． 问题1 x ... －4 －3 －2 －1 0 1 2 ... y＝－ (x＋1)²－1 ... －5.5 －3 －1.5 －1 －1.5 －3 －5.5 ... 在平面直角坐标系中，画出二次函数 y＝－ (x＋1)²－1 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点． 行间距 问题1 解：② 描点． ③ 连线． 在平面直角坐标系中，画出二次函数 y＝－ (x＋1)²－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点． O x 2 －2 4 －4 －6 －4 －2 y －8 问题1 解：开口向下； 对称轴为 x＝－1； 顶点为（－1，－1）． O x 2 －2 4 －4 －6 －4 －2 y －8 在平面直角坐标系中，画出二次函数 y＝－ (x＋1)²－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点． 问题2 抛物线 y＝－ (x＋1)²－1 与 抛物线 y＝－ x2 有什么关系？ O x 2 －2 4 －4 －6 －4 －2 y －8 y＝－ x2 zhengfu 问题2 两条抛物线形状、大小是否完全一致？ 形状、大小完全相同，仅图象位置发生改变． O x 2 －2 4 －4 －6 －4 －2 y －8 y＝－ x2 zhengfu 将抛物线 y＝－ x2 经过怎样平移，能得到抛物线 y＝－ (x＋1)²－1？ 问题2 O x 2 －2 4 －4 －6 －4 －2 y －8 y＝－ x2 O x 2 －2 4 －4 －6 －4 －2 y －8 问题2 还有其他的平移方法吗？ 先向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度． y＝－ x2 将抛物线 y＝－ x2 经过怎样平移，能得到抛物线 y＝－ (x＋1)²－1？ O x 2 －2 4 －4 －6 －4 －2 y －8 问题2 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度． 平移的顺序不影响结果. y＝－ x2 将抛物线 y＝－ x2 经过怎样平移，能得到抛物线 y＝－ (x＋1)²－1？ 问题3 抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与抛物线 y＝ax2 有什么关系？ zhengfu 问题3 抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与抛物线 y＝ax2 有什么关系？ 抛物线 y＝a(x－h)2＋k 是由抛物线 y＝ax2 向上（下）、向左（右）平移得到的 ． zhengfu 问题3 抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与抛物线 y＝ax2 有什么关系？ 向上（下）平移| k |个单位长度 向左（右）平移| h |个单位长度 “上加下减”指的是常数项的变化， “左加右减”指的是自变量 x 的变化. y＝ax2 y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－h)²＋k 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最值 a＞0 向上 x＝h （h，k） x＜h 时，y 随 x 的增大而减小 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大 x＝h 时， y最小值＝k． a＜0 向下 x＝h （h，k） x＜h 时，y 随 x 的增大而增大 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小 x＝h 时， y最大值＝k． 归纳 二次函数 y＝a(x－h)² ＋k 的图象特征和性质 例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少？ 题目中哪些信息与二次函数有关？ 题干文字描述 数学语言 抛物线形水柱 可以把这条水柱看作__________的图象 在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m 抛物线的顶点与池中心距离为____m， 离地面高____m 水柱落地处离池中心 3.6 m 抛物线与地面的交点距池中心_____m 水管的长应为多少 求水管口离地面的_______ 例 题目中哪些信息与二次函数有关？请完成如下表格． 二次函数 1.6 3 3.6 高度 已知抛物线的顶点和图象上的一点 求抛物线上另一点的函数值 如何建立平面直角坐标系？怎样建系能使问题更简单？ 例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少？ 　　思路：方案 1 如图，以池中心水管与地面交点为坐标原点 O，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，得出各关键点坐标. 顶点坐标：（1.6，3）；落地点坐标：（3.6，0）；水管口坐标：（0，？）． 水管口坐标：（0，？） 3 4 O x/m y/m 1 2 1 2 3 （1.6，3） 3.6 －2 1 －2 －3 2 －1 O y/m x/m 3 －1 　　思路：方案 2 如图，以水柱最高点为坐标原点 O，水平向右方向为 x 轴正半轴，竖直向上方向为 y 轴正半轴，得出各关键点坐标. 顶点坐标：（0，0），落地点坐标：（2，－3）；水管口坐标：（－1.6，？）． （2，－3） 水管口坐标：（－1.6，？） －1.6 　　思路：方案 3 如图，以落地点为坐标原点 O，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，得出各关键点坐标. 顶点坐标：（－2，3），落地点坐标：（0，0）；水管口坐标：（－3.6，？）． 水管口坐标：（－3.6，？） －2 －1 O y/m x/m －4 －3 1 2 3 （－2，3） －3.6 　　思路：方案 1：以池中心水管与地面交点为坐标原点 O，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，得出各关键点坐标如下. 顶点坐标：（1.6，3）；落地点坐标：（3.6，0）；水管口坐标：（0，？）． 水管口坐标：（0，？） 3 4 O x/m y/m 1 2 1 2 3 （1.6，3） 3.6 方案 1 中各点坐标值直接对应题目中的数据，计算最直接、最简便． 　　解：如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系． 　　点（1.6，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 　　y＝a(x－1.6)2＋3 （0≤x≤3.6）． 　　由这段抛物线经过点（3.6，0），可得 　　0＝a(3.6－1.6)2＋3． 　　已知顶点坐标，应该选择哪种形式的解析式？ 3 4 O x/m y/m 1 2 1 2 3 （1.6，3） 3.6 　　解得 a＝－ ． 　　因此 y＝－ (x－1.6)2＋3 （0≤x≤3.6）． 当 x＝0 时，y＝1.08， 也就是说，水管的长应为 1.08 m． 3 4 O x/m y/m 1 2 1 2 3 （1.6，3） 3.6 解决本题的关键步骤有哪些？ ① 审题建模：梳理条件，提取关键信息，建立函数关联； ② 建坐标系：合理建立平面直角坐标系，简化后续计算； ③ 求解析式：结合已知条件选择合适的解析式形式，代入数据求得参数； ④ 解答作答：计算对应函数值，结合实际情境分析结果，规范作答． 例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少？ 1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况． （1）y＝2(x＋3)²＋5 ； （2）y＝－3(x－1)²－2； 解：（1）抛物线 y＝2(x＋3)²＋5 的开口向上，对称轴是 x＝－3，顶点坐标是（－3，5），x＜－3 时，y 随 x 的增大而减小；x＞－3 时，y 随 x 的增大而增大． （2）抛物线 y＝－3(x－1)²－2 的开口向下，对称轴是 x＝1，顶点坐标是（1，－2）；x＜1 时，y 随 x 的增大而增大；x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况． （3）y＝4(x－3)²＋7； （4）y＝－5(x＋2)²－6． 解：（3）抛物线 y＝4(x－3)²＋7 的开口向上，对称轴是 x＝3，顶点坐标是（3，7）；x＜3 时，y 随 x 的增大而减小；x＞3 时，y 随 x 的增大而增大． （4）抛物线 y＝－5(x＋2)²－6 的开口向下，对称轴是 x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）；x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大；x＞－2 时，y 随 x 的增大而减小． 2．说出下列二次函数的最大值或最小值： （1）y＝ (x＋2)²－2； （2）y＝－ (x－1)²＋2； 解：（1）二次函数 y＝ (x＋2)²－2 的最小值为－2； （2）二次函数 y＝－ (x－1)²＋2 的最大值为 2． 二次函数 y＝a(x－h)²＋k 性质 增减性结合开口方向和对称轴确定 h 的正负决定向左平移或向右平移 k 的正负决定向上平移或向下平移 ① a 的正负决定开口方向； ② 顶点坐标是（h，k）； ③ 对称轴是 x＝h. 图象 与 y＝ax² 的关系 谢谢 $