26.2 二次函数的图象和性质课件 2026-2027学年 人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²（a＞0）的图象和性质，从二次函数定义入手，先以y=x²为具体案例，通过列表、描点、连线画图象，观察总结性质，再对比y=1/2x²、y=2x²，构建从具体到一般的学习支架。 其亮点在于以描点法培养几何直观（数学眼光），通过图象观察与对比分析发展推理意识（数学思维），用表格、符号语言系统呈现性质（数学语言）。例题提供代数法、图象法等解法，助力学生深化理解，教师可借助结构化流程提升教学效率。

国家中小学课程资源 26.2.1二次函数的图象和性质 y=ax²（a＞0）的图象和性质（1） 二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0） 最简单的二次函数 y＝ax2 y＝x2 二次函数 y＝x2的性质 解析式 图象 x范围：全体实数 y范围：非负数 …… 平面直角坐标系 描点法画y=x2的图象 描点法画图步骤： 1.列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 2.描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 3.连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线顺次连接起来）. … … … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 … 9 9 4 4 1 1 0 1 2 3 x y 1.列表y＝x2 x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y＝x2 用平滑曲线, 自左向右顺次连接， 向两端无限延伸. 2.描点 3.连线 3 5 7 9 11 1.列表 x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 y＝x2 用平滑曲线, 自左向右顺次连接, 向两端无限延伸. 2.描点 3.连线 3 5 7 9 11 1.列表 观察函数y＝x2的图象，总结性质 （1）是一条曲线，类似抛物在空中经过的路线，叫做抛物线； （2）x取值关于原点对称时，y值相同——抛物线y＝x2关于y轴对称； 抛物线 y＝x2与对称轴x=0的交点（0,0）叫抛物线y＝x2的顶点，它是抛物线y＝x2的最低点； （3）在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降； x<0时，y随x增大而减小； x1<x2<0时,y1>y2; 在对称轴右侧，抛物线y＝x2从左到右上升; x>0时，y随x增大而增大； 0<x1<x2时,y1<y2. 观察函数y＝x2的图象，总结性质 y＝x2 文字语言 图形/符号语言 x取值范围 y取值范围 图象 开口 对称轴 顶点 最值 y＝x2的图象和性质 全体实数 非负数 抛物线 向上 y轴 原点 最小值（最低点） x=0 （0，0） x=0时，ymin=0 y＝x2 文字语言 图形/ 符号语言 增减性 y＝x2的图象和性质 在对称轴左侧，抛物线从左到右下降； x<0时，y随x增大而减小 当x1<x2<0时, y1>y2 在对称轴右侧，抛物线从左到右上升； x>0时，y随x增大而增大 当0<x1<x2时, y1<y2 思考：y＝ax2的图象和性质 请在同一直角坐标系中画出二次函数 ， 的图象，并回答下列问题： 1. 函数 ， 的图象与函数 的图象相比， 有什么共同点和不同点？ 2. 当 时，二次函数 的图象有什么特点？ 2 2 8 6 4 O y x 4 2 2 8 6 4 O y x 4 1. 函数 ， 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 思考：y＝ax2的图象和性质 共同点：开口方向向上. 对称轴为y轴. 顶点为原点(0,0)，它 是抛物线的最低点. 2 2 8 6 4 O y x 4 2 2 8 6 4 O y x 4 1. 函数 ， 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 思考：y＝ax2的图象和性质 共同点：开口方向向上. 对称轴为y轴. 顶点为原点(0,0)，它 是抛物线的最低点. 当 时，y有最小值0. 当 时，y随x的增大而减小； 当 时，y随x的增大而增大. 课堂小结 二次函数 的图象和性质： 的图象的示意图： 开口方向 向上 对称轴 y轴（直线 ） 顶点坐标 (0, 0)（也是最低点） 最值 当 时，y有最小值0 增减性 当 时，y随x的增大而减小； 当 时，y随x的增大而增大 y x O 例题精讲： 函数y=x2的图象上有三点(－3,a) (－1,b) (2,c)，比较a，b，c的大小关系 解法1 代数法： 将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=9，b=1，c=4进而比出大小 解法2 根据函数的对称性和增减性： 函数的图象过(2,c)也即过(－2,c)，因－3<－2<－1<0,故a>c>b x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 1 3 5 7 9 11 解法3 图象法：画出函数y=x2的图象，找到横坐标分别为－3，－1，2的三个点，比较其纵坐标大小（位置高低） y＝x2 a b c 例 3 已知抛物线 过 ， 和 ，则 、 和 的大小关系是__________. 图象上的点到对称轴（y轴）的距离越远，纵坐标越大. 练一练 y x O A C B 已知二次函数 图象经过点 和 . （1）求a与m的值； （2）写出二次函数图象的顶点坐标及对称轴； （3）当 时，求函数y的最大值和最小值. 拓展训练 1.抛物线y＝x2不具有的性质是（ ）. A.开口向上 B.与x轴不相交 C.对称轴是y轴 D.最低点是坐标原点 2.已知抛物线y＝x2，当﹣2< x <1时，求y的取值范围. 课堂检测 $