2.1 反比例函数的概念 2026-2027学年苏科版数学 九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“反比例函数的概念”同步练，通过“基础-能力-拓展-综合”四层设计，以概念理解为起点，逐步深化至实际应用与关系推导，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义、表示形式、反比例关系|选择/填空判断函数类型，解答题用待定系数法求表达式，夯实概念理解| |能力提升|实际问题建模、函数值变化|结合排水时间与排水量等情境，训练用函数解决实际问题的能力| |拓展探究|变量关系推导|通过“y与x成反比例，z与x成反比例”等关系判断，发展推理意识| |综合训练|知识点整合应用|融合正反比例综合判断、电路电流电阻关系等跨情境问题，提升综合应用能力|

苏科版九年级上册数学 · 课时作业 2.1　反比例函数的概念　课时作业 苏科版 九年级上册 第2章 反比例函数　（建议用时：45分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、知识点梳理 知识点1　反比例函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数，其中 是自变量， 是 的函数， 叫做比例系数。 理解要点： （1） 是常数且 ； （2）因为分母不能为0，所以自变量 的取值范围是 的一切实数；又因为 ，所以函数值 ； （3）在实际问题中，自变量的取值范围还要符合实际意义，如长度、时间、速度等通常要大于0。 知识点2　反比例函数的三种表示形式 反比例函数有以下三种等价的表示形式： 形式 条件 为常数， 为常数，（两个变量的积为定值） 为常数，（ 的指数为 ） 注意：形如 ， 的函数都不是 关于 的反比例函数；而 可以说“ 与 成反比例”。 知识点3　反比例关系 如果两个变量 ， 的积是一个不为0的常数，即 （），那么就说 与 成反比例， 是 的反比例函数。 对比记忆：正比例函数 中，（商一定）；反比例函数 中，（积一定）。 知识点4　用待定系数法求反比例函数的表达式 由于反比例函数 中只有一个待定系数 ，所以只需知道一组 ， 的对应值（或图象上一个点的坐标），就可以求出 ，从而确定函数表达式。 步骤：①设：设函数表达式为 （）；②代：把已知的一组对应值代入；③求：求出 的值；④写：写出函数表达式。 知识点5　根据实际问题建立反比例函数 常见的反比例关系：面积一定时，矩形的长与宽；路程一定时，速度与时间；总价一定时，单价与数量；工作总量一定时，工作效率与工作时间；电压一定时，电流与电阻；压力一定时，压强与受力面积。 二、典例精讲 【例1】下列函数中，哪些是反比例函数？如果是，写出比例系数 。 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ 。 解：①是，；③是，；④是，；⑦是，。②是正比例函数；⑤⑥不是反比例函数。 点拨：③中 可写成 ，比例系数是 ，而不是 。 【例2】若函数 是反比例函数，求 的值。 解：由题意得 ，且 。由 得 ，又 ，所以 。 【例3】已知 与 成反比例，且当 时，。 （1）求 关于 的函数表达式；（2）当 时，求 的值；（3）当 时，求 的值。 解：（1）设 ，把 ， 代入得 ，所以 ； （2）当 时，；（3）当 时，，。 【例4】如图，一个矩形的面积为12 cm²，相邻两边长分别为 cm和 cm。写出 关于 的函数表达式，并指出自变量的取值范围。 （例4图） 解：由矩形面积公式得 ，所以 ，自变量的取值范围是 。 是 的反比例函数。 【例5】已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 时，；当 时，。求 关于 的函数表达式，并求当 时 的值。 解：设 （），（），则 。 由题意得 ，，解得 ，。所以 。 当 时，。 易错点：， 的比例系数不一定相同，要分别设为 ，。 【例6】根据下列表格中 与 的对应值，判断 是不是 的反比例函数，若是，写出函数表达式。 表1： 1 2 3 4 6 3 2 1.5 表2： 1 2 3 4 2 4 6 8 解：表1中，，即 ，所以 是 的反比例函数，； 表2中，， 与 的比值一定，而积不是定值，所以 不是 的反比例函数（ 是正比例函数）。 三、基础巩固 （一）选择题 1．下列函数中， 是 的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．反比例函数 中，比例系数 的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．已知 与 成反比例，当 时，，那么当 时， 的值为（　　） A．8 B．2 C． D．12 4．下列两个变量之间的关系中，成反比例函数关系的是（　　） A．圆的面积 与半径 B．路程一定时，速度 与时间 C．正方形的周长 与边长 D．单价一定时，总价 与数量 5．若函数 是反比例函数，则 的值是（　　） A．2 B． C． D．0 6．已知 是 的反比例函数，且当 时，，则下列各组 ， 的对应值中，也满足这个函数关系的是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．已知 与 成反比例， 与 成正比例，则 与 之间的关系是（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．是一次函数 D．不能确定 8．A，B两地相距1200 km，一列火车从A地驶往B地，火车的平均速度 （km/h）与行驶时间 （h）之间的函数表达式是（　　） A． B． C． D． （二）填空题 9．反比例函数 中，比例系数 ________，自变量 的取值范围是________。 10．若函数 是反比例函数，则 的取值范围是________。 11．若函数 是反比例函数，则 ________。 12．已知 与 成反比例，当 时，，则 关于 的函数表达式为________。 13．一个三角形的面积为20 cm²，它的一边长为 cm，这边上的高为 cm，则 关于 的函数表达式为________，自变量的取值范围是________。 14．一个水池装水12 m³，如果每小时排水量为 m³，那么将水池中的水排完所需的时间 （h）与 之间的函数表达式为________。 15．对于函数 ，完成下表： 1 2 3 16．已知 是 的反比例函数，当 时，，则当 时，________。 （三）解答题 17．下列各式中，哪些表示 是 的反比例函数？如果是，写出它的比例系数。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）（ 为常数）；（6）。 18．已知 与 成反比例，并且当 时，。 （1）写出 关于 的函数表达式；（2）求当 时 的值；（3）求当 时 的值；（4）完成下表： 2 12 19．已知函数 是反比例函数，求 的值，并写出函数表达式。 20．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数： （1）某村有耕地200 hm²，人均耕地面积 （hm²）与人口数量 （人）； （2）体积为1000 cm³的长方体，底面积 （cm²）与高 （cm）； （3）一个人以5 km/h的速度步行，所走的路程 （km）与时间 （h）； （4）如例4图，面积为12 cm²的矩形，一边长 （cm）与其邻边长 （cm）。 21．已知 与 成反比例，且当 时，。 （1）求 关于 的函数表达式；（2）求当 时 的值；（3） 是 的反比例函数吗？ 四、能力提升 22．对于反比例函数 （），当自变量 的值扩大为原来的3倍时，函数值 （　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 23．已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 时，；当 时，。求 关于 的函数表达式，并求当 时 的值。 24．某蓄水池的排水管每小时排水8 m³，6 h可将满池水全部排空。 （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 m³，那么将满池水排空所需的时间 （h）将如何变化？写出 与 之间的函数表达式； （3）如果准备在5 h内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ （4）已知排水管每小时的最大排水量为12 m³，那么最少多长时间可将满池水全部排空？ 25．已知 ， 与 ， 都满足同一个反比例函数关系，求 的值。 五、拓展探究 26．（1）已知 与 成反比例， 与 成反比例，那么 与 之间是什么关系？ （2）已知 与 成反比例， 与 成正比例，那么 与 之间是什么关系？请说明理由。 27．下表给出了变量 与 的一些对应值： 1 2 3 4 6 12 6 4 3 2 （1）观察表格，猜想 与 之间的函数关系，写出函数表达式，并验证你的猜想； （2）当 时，求 的值；（3）当 时，求 的值。 六、综合训练 28．当 ________时，函数 是反比例函数。 29．已知 与 成反比例，且当 时，，则当 时，________。 30．已知 ， 与 ， 满足同一个反比例函数关系，则 ________。 31．在电压一定的电路中，电流 （A）与电阻 （Ω）成反比例。已知当电阻 Ω时，电流 A。 （1）求 关于 的函数表达式；（2）当电阻 Ω时，电流是多少？（3）当电流 A时，电阻是多少？ 32．判断：周长为20 cm的矩形，一边长 cm与其邻边长 cm之间是反比例函数关系吗？如果面积为20 cm²呢？分别写出函数表达式说明。 33．下列说法中，正确的是（　　） A． 是反比例函数 B．反比例函数的函数值 可以等于0 C．若 与 成反比例，则 为不等于0的定值 D． 是 关于 的反比例函数 34．某工厂现有原材料100吨，平均每天用去 吨，这批原材料能用 天。 （1）写出 关于 的函数表达式；（2）若平均每天用去5吨，这批原材料能用多少天？（3）若计划用25天，平均每天应用去多少吨？ 35．已知 是 的反比例函数，当 时，，则 ________；当 时，________。 36．一个矩形的面积一定，当它的一边长为3 cm时，另一边长为8 cm，则当一边长为4 cm时，另一边长为________cm；这个矩形的一边长 （cm）与另一边长 （cm）之间的函数表达式为________。 37．某校计划用36000元购买一批课桌椅，设每套课桌椅的单价为 元，可购买的数量为 套。 （1）写出 关于 的函数表达式， 是 的反比例函数吗？ （2）若每套单价为240元，可购买多少套？ （3）若学校需要购买180套，那么每套课桌椅的单价应为多少元？ 参考答案与解析 三、基础巩固 1．B　解析：A是正比例函数；C中 与 成反比例；D中 与 成反比例；只有B符合 的形式。 2．B　解析：，所以 。 3．B　解析：，当 时，。 4．B　解析： 不是反比例函数；（ 一定）是反比例函数；，（ 为单价）都是正比例函数。 5．A　解析：由题意得 ，且 ，所以 且 ，故 。 6．C　解析：，只有C中 。 7．B　解析：设 ，（，），则 ，且 ，所以 与 成反比例。 8．B　解析：路程 = 速度 × 时间，所以 ，。 9．； 10．　解析：比例系数 。 11．　解析：，。 12．　解析：。 13．；　解析：，所以 。 14．（） 15．依次填：，，，6，3，2。 16．4　解析：，当 时，。 17．解：（1）是，，；（2）不是；（3）是，；（4）不是（正比例函数）；（5）是，因为 ，所以 ，；（6）不是（正比例函数）。 18．解：（1），所以 ；（2）当 时，；（3）当 时，； （4）表格依次填： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ； 时 ； 时 。 19．解：由题意得 ，且 。由 得 或 ；当 时，，舍去。所以 ，函数表达式为 ，即 。 20．解：（1），是反比例函数；（2），是反比例函数；（3），不是反比例函数（是正比例函数）；（4），是反比例函数。 21．解：（1）设 ，把 ， 代入得 ，所以 ； （2）当 时，；（3） 不是 的反比例函数，而是 与 成反比例。 四、能力提升 22．B　解析：，所以函数值缩小为原来的 。 23．解：设 （），（），则 。 由题意得 ，，解得 ，。所以 。当 时，。 24．解：（1）（m³），蓄水池的容积是48 m³； （2）因为 ，所以 ，排水量 增大时，所需时间 减少； （3）当 时，，因为 ，所用时间越少，每小时排水量越大，所以每小时的排水量至少为9.6 m³； （4）当 时，，所以最少需要4 h。 25．解：由 得 ，所以 。 五、拓展探究 26．解：（1）设 ，（，），则 ，且 ，所以 与 成正比例。 （2）设 ，（，），则 ，且 ，所以 与 成反比例。 27．解：（1）观察发现，每组对应值的积都等于12，即 ，猜想 。验证：，猜想成立。 （2）当 时，；（3）当 时，。 六、综合训练 28．　解析： 且 ，所以 。 29．12　解析：设 ，则 ，当 时，。 30．　解析：，。 31．解：（1）设 ，则 ，所以 （）； （2）当 时，（A）；（3）当 时，（Ω）。 32．解：周长为20 cm时，，（），是一次函数，不是反比例函数；面积为20 cm²时，，（），是反比例函数。 33．C　解析：A是正比例函数；反比例函数中 ，所以 ，B错误；D中 与 成反比例；C正确。 34．解：（1）（）；（2）当 时，，能用20天；（3）当 时，，平均每天应用去4吨。 35．；　解析：，当 时，。 36．6；（）　解析：面积为 （cm²），（cm）。 37．解：（1）（）， 是 的反比例函数，比例系数为36000； （2）当 时，，可购买150套； （3）当 时，，每套课桌椅的单价应为200元。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $