25.3 实际问题与一元二次方程 （第1课时）（教学课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，通过回顾一元一次方程等已学方程模型解决实际问题的经验，引出一元二次方程的应用，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以几何存在性问题（如连续正整数直角三角形）和矩形面积问题为载体，引导学生用数学眼光抽象等量关系，通过多种设元方法比较培养数学思维，规范“审设列解验答”步骤强化数学语言表达。学生能提升实际问题解决能力，教师可获得结构化教学资源助力高效教学。

25.3 实际问题与一元二次方程 （第1课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 1 用方程解决实际问题的一般步骤． （1）审：读懂题意，区分已知量和未知量，挖掘等量关系； （2）设：合理假设未知数，用代数式表示出其他相关量； （3）列：依托等量关系列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际问题的意义； （6）答：根据题意规范写出结论． 问题 一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程都是刻画现实数量关系的数学模型，可以解决许多实际问题． 一元二次方程同样是重要的数学模型，它能帮助我们解决哪些类型的问题呢？本节课我们共同学习“实际问题与一元二次方程”． 问题 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 问题1 如何用未知数表示？ 分析：设三边长分别为 x，x＋1，x＋2（x 为正整数）． 等量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 勾股定理 斜边长 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 问题1 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数． 由勾股定理，得 x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2． 解方程，得 x1＝3，x2＝－1． 这两个根是否都符合题意？ 舍去 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 问题1 因此 x＝3． 三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5． 归纳 解决几何存在性问题，一般先合理假设未知数，依托几何性质找到等量关系建立一元二次方程；求出方程的根后，需要根据实际意义对方程的根进行检验和取舍，最终得出结论． 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 问题2 分析： 长为 40 m 矩形周长为 40 m 长＋宽＝20 m 等量关系： 矩形面积＝长×宽 设矩形一边长为 x m 邻边长为(20－x) m 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 问题2 解：设矩形的一条边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得这条边的邻边长为(20－x)m； 再由矩形的面积为 96 m2，得 x(20－x)＝96． 解方程，得 x1＝12，x2＝8． 是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 问题2 当 x＝12 时，邻边长为 20－x＝8； 当 x＝8 时，邻边长为 20－x＝12． 两个根对应的是同一矩形的一组相邻边，只是长和宽相互调换，所以满足条件的矩形只有一个，其两邻边长分别为 8 m，12 m． 方程有两个实数根不一定表示问题有两个不同的解，要结合问题的实际背景进行判断． 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 问题2 设矩形的两邻边长的方法有多种．例如： （1）可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； （2）可设一边长为 (10＋x)m，那么其邻边长为(10－x)m． 你能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗？ 问题2 （方法一） 设一边长为 x m，那么其邻边长为 m． 由矩形的周长为 40 m，得 整理，得 x2－20x＋96＝0． 解方程，得 x1＝12，x2＝8． 经检验，x1＝12，x2＝8 是原方程的解． 矩形周长 40 m ，面积 96 m2． （方法二） 设一边长为(10＋x)m，那么其邻边长为 (10－x)m． 由矩形的面积为 96 m2，得 (10＋x)(10－x)＝96， 解方程，得 x1＝2，x2＝－2． 当 x＝2 时，边长为10＋2＝12，10－2＝8； 当 x＝－2时，边长为10－2＝8，10＋2＝12． 比较这三种设未知数的方法，它们在运算上有什么不同？解题时应该如何选择？ 问题2 矩形周长 40 m ，面积 96 m2． 原设法： 设矩形的一边长为 x m， 则邻边长为(20－x)m． x(20－x)＝96． 方法二： 设矩形的一边长为(10＋x)m，则邻边长为(10－x)m． (10＋x)(10－x)＝96． 方法一： 设矩形的一边长为 x m，则邻边长为 m． 利用“和为定值”设未知数，将乘积转化为平方差形式，方程可直接开平方求解． 设法 出发点 方程形式 运算特点 原设法 周长 一元二次方程（一般式） 直接，较简便 方法一 面积 分式方程 需要去分母、检验，较繁琐 方法二 周长 平方差形式 最简便，计算量小 未知数的假设方式直接决定方程的运算难度．解题时要学会观察题目条件，灵活选择能简化计算的设元方法，减少计算量． 问题2 归纳 利用一元二次方程解决与矩形面积有关的问题时，关键是结合题意和图形准确表示矩形的长、宽，依托等量关系建立方程并求解． 解：设矩形的长为 x m，宽为(20－x)m． 当矩形面积为 75 m² 时，x(20－x)＝75， 解方程，得 x1＝15，x2＝5． 两个根对应同一个矩形． 所以，矩形的长为 15 m，宽为 5 m 时，面积为 75 m²． 1．怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m² 的矩形区域？能围成一个面积为 101 m² 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 矩形周长 矩形面积＝长×宽 1．怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m² 的矩形区域？能围成一个面积为 101 m² 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 当矩形面积为 101 m² 时，x(20－x)＝101， 化为一般形式，得 x2－20x＋101＝0． a＝1，b＝－20，c＝101， Δ＝b2－4ac＝(－20)2－4×1×101＝－4＜0． 此方程无实数根， 所以不能围成面积为 101 m² 的矩形区域． 矩形周长 矩形面积＝长×宽 2．如图，矩形 ABCD 的两条邻边 AD＝1，CD＝4，AB 上是否存在点 E，使得 ∠DEC 为直角？ 分析： 矩形的性质 CD＝BA，AD＝BC； ∠A＝∠B＝90° 勾股定理 建立一元二次方程 2．如图，矩形 ABCD 的两条邻边 AD＝1，CD＝4，AB 上是否存在点 E，使得 ∠DEC 为直角？ 解：假设存在点 E．设 AE＝x，则 0＜x＜4． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ CD＝AB＝4，AD＝CB＝1，∠A＝∠B＝90°． ∴ BE＝4－x． 在 Rt△ADE 和 Rt△BCE 中，由勾股定理，得 DE2＝AD2＋AE2，CE2＝BC2＋BE2． 2．如图，矩形 ABCD 的两条邻边 AD＝1，CD＝4，AB 上是否存在点 E，使得 ∠DEC 为直角？ 若∠DEC 为直角，则 DC2＝DE2＋CE2． 即 DC2＝AD2＋AE2＋BC2＋BE2， 即 42＝12＋x2＋12＋(4－x)2． 解方程，得 经检验， ，都在 0＜x＜4 的范围内，符合题意． 所以，AB 上存在点 E，当 ∠DEC 为直角． 实际问题与一元二次方程 解题步骤 解题关键 审、设、列、解、验、答 根据实际意义检验方程的根 合理假设未知数 找到等量关系建立一元二次方程 谢谢 $