25.3实际问题与一元二次方程第1课时课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”的几何应用，通过复习列方程步骤及勾股定理、矩形周长面积公式搭建学习支架，衔接连续整数直角三角形、定周长矩形等基础问题，引导学生从图形中提取等量关系建立方程模型。 其亮点在于以问题驱动教学，通过基础、面积、对称设元方法对比培养数学思维，结合平移转化不规则图形（如小路问题）发展几何直观，强调根的实际意义检验提升模型意识。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助清晰案例和总结步骤优化教学效率。

实际问题与一元二次方程 （第1课时） 人教版九年级上册数学 复习提问： ①列方程解决实际问题的通用步骤是什么？ 审、设、列、解、检、答 ②直角三角形三边满足什么等量关系？矩形周长、面积公式是什么？ 很多几何计算题，已知周长、面积或边长关系，直接用算术方法很难求解，但我们可以设未知数，借助勾股定理、面积公式列出一元二次方程求解． 本节课我们先研究两类基础几何应用题：连续整数直角三角形、定周长矩形面积问题，学习如何从图形里找到等量关系，建立一元二次方程模型． 问题 　　是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 思考： 1．题目关键条件有哪些？ 2．如何用同一个未知数表示三条连续正整数边长？ 可设最短的直角边长为x（x为正整数），则另外两条边长依次为x＋1，x＋2． 直角三角形三边满足什么定理？哪一条边是斜边？ 问题 　　是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 方程有两个解，两个解都符合题意吗？为什么？ 将x＝3代回，三角形三边长是多少？是否唯一？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x＋1，x＋2，其中x为正整数． 由勾股定理，得 ， 解方程，得 x1＝3，x2＝－1． 问题 　　是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x＋1，x＋2，其中x为正整数． 由勾股定理，得 ， 解方程，得x1＝3，x2＝－1（不符合题意，舍去）． 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5． 问题 　　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 思考： 1．矩形周长 40 m，若设一条边长为 x m，邻边长如何用含 x的式子表示？ 2．如何用同一个未知数表示三条连续正整数边长？ 问题 　　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 　　分析：假设细绳能围成面积为 96 m² 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解． 问题 　　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 　　解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为 96 m²，得 x(20－x)＝96． 解方程，得 x1＝12，x2＝8． 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区城？ 问题 　　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 　　解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为 96 m²，得 x(20－x)＝96． 解方程，得 x1＝12，x2＝8． 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成一个面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m． 思考 　　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 　　设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： （1）可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； （2）可设一边长为（10＋x）m，那么其邻边长为（10－x）m． 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解本题吗？比较这些设法，说说它们各自的特点． 思考 　　用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 　　基础设元：设矩形的一边长为 x m，邻边长为（20－x）m； 方程：x(20－x)＝96 面积设元：设一边长为x m，邻边长为 m； 等量关系：邻边和为 20 m；方程：x＋ ＝20 对称设元：设一边长为（10＋x）m，邻边长为（10－x）m． 等量关系：面积为 96 m2；方程：(10＋x)(10－x)＝96 　　基础设元：设矩形的一边长为 x m，邻边长为（20－x）m； 方程：x(20－x)＝96 面积设元：设一边长为x m，邻边长为 m； 等量关系：邻边和为 20 m；方程：x＋ ＝20 对称设元：设一边长为（10＋x）m，邻边长为（10－x）m． 等量关系：面积为 96 m2；方程：(10＋x)(10－x)＝96 小组讨论：三种列式哪种计算最简单、哪种更容易出错？ 三种设元特点： 1．基础设元x与20−x：最直观，贴合周长定义，整式方程，初学首选； 2．面积倒数设元：出现分式，需要去分母，计算更繁琐； 3．对称设元：利用平方差简化计算，计算量最小，但不易想到． 1．建模关键：找准对应几何公式（勾股定理、矩形周长和面积公式），用未知数表示图形边长，建立一元二次方程； 2．解题步骤：审图→设元→列方程→解方程→检验根的实际几何意义； 3．检验要点：线段长度必须为正数；若两根均为正数，仍要结合图形条件判断是否符合题意，不能直接保留全部正根． 总结 问题 　　现有一根长 30 cm 铁丝，围成矩形面积 50 cm2，求矩形两边长． 　　解：设矩形的一边长为 x m，由铁丝长 30 cm，可得此边的邻边长为（15－x）cm；再由矩形的面积为 50 cm²，得 x(15－x)＝50． 解方程，得 x1＝5，x2＝10． 因此，矩形两边长分别为 5 cm，10 cm． 　　例1 　某农场有一块长为40 m、宽为32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1 140 m2 ，求小路的宽． 　　分析：方法1：将小路分别平移到大矩形的两边，种植面积不变．由题意，设小路的宽为x m，则矩形种植面积的长为(40－x)m，宽为(32－x)m．根据矩形的面积计算公式列方程求解即可． 　　解：方法一：设小路的宽为x m． 　　如图，将小路平移到矩形边上时，种植面积是不变的，所以 (40－x)·(32－x)＝1 140． 　　解方程，得 x1＝2，x2＝70（不合题意，舍去）． 　　答：小路的宽为2 m． 　　例1 　某农场有一块长为40 m、宽为32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1 140 m2 ，求小路的宽． 　　分析：方法2：要求种植面积，可用大矩形的面积减去小路的总面积． 　　解：方法二：设小路的宽为x m，列出方程 40×32－(40x＋32x－x2)＝1 140． 　　整理，得 x2－72x＋140＝0． 　　解方程，得 x1＝2，x2＝70（不合题意，舍去）． 　　答：小路的宽为2 m． 　　通过平移将图形进行转化，是列一元二次方程解决图形面积类应用题的常用方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形，根据规则图形的面积计算公式列一元二次方程求解． 　　把不规则图形转化为规则图形有两种常用的方法：割补法和平移法．需根据已知条件，灵活选择合适的方法． 　　例2　如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门．所围矩形羊舍的长、宽分别为多少时，羊舍面积为80 m2？ 　　分析：因为矩形的面积等于长乘宽，所以需要表示出矩形羊舍的长与宽． 　　设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m．根据矩形的面积计算公式列出方程求解，最后利用住房墙的长为12 m，确定矩形羊舍的长与宽． 　　解：设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m． 　　由题意，得 x(26－2x)＝80． 　　解方程，得 x1＝5，x2＝8． 　　当x＝5时，26－2x＝16＞12，不合题意，舍去； 　　当x＝8时，26－2x＝10＜12． 　　答：所建矩形羊舍的长为10 m，宽为8 m． 　　利用一元二次方程解决与矩形面积有关的问题时，关键是根据题意和图形正确表示出矩形的长与宽，寻找相等关系列方程求解，注意题目隐藏的长度限制，检验并舍去不合理解． 　　例3　小林准备进行如下操作试验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． 　　（1）要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ 　　解：（1）设其中一个正方形的边长为x cm，两个正方形周长总和为 40 cm，边长之和为40÷4＝10（cm），则另一个正方形的边长为(10－x)cm．由题意，得x2＋(10－x)2＝58． 　　解得x1＝3，x2＝7． 　　因为4×3＝12（cm），4×7＝28（cm）， 　　所以小林应把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段． 　　例3　小林准备进行如下操作试验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． 　　（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2．”他的说法对吗？请说明理由． 解：（2）小峰的说法是对的．理由如下： 假设这两个正方形的面积之和等于48 cm2， 由（1），得x2＋(10－x)2＝48． 化简，得x2－10x＋26＝0． 因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0， 所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的． 　　解决几何图形问题，常用面积计算公式：S矩形＝ab，S正方形＝a2，S圆＝πR2； 　　常用体积计算公式：V长方体＝abh，V正方体＝a3， V圆柱＝πR2h． 几何图形实际问题 基础规则图形 复杂拓展图形 规则图形：注意边长隐藏限制（靠墙羊舍墙长约束） 直角三角形：依托勾股定理列方程 矩形、正方形：依托周长、面积公式列方程 通用解题五步：审图→设元→列方程→解方程→检验取舍（结合实际长度） 不规则图形：平移、割补转化为规则矩形再列式 $