25.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）（教学课件）——2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心内容为单循环与双循环赛制的计数模型。课堂导入从单循环排球邀请赛问题切入，通过求解球队数量引出单循环公式，再过渡到双循环问题，对比两种赛制的计数差异，搭建知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合赛制、握手、多边形对角线等实例，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过方程法与估值法培养数学思维的推理能力，总结“假设-建模-求解-检验-判断”步骤规范数学语言。助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

25.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 1 问题 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛， 根据题意，得 解方程，得 x1＝8，x2＝－7（不合题意，舍去）． 因此，组织者应邀请 8 支球队参赛． 已知赛制和总比赛场数，可以建立一元二次方程，求出参赛球队数量． 问题 本题为单循环赛制，每两支球队仅比赛 1 场．如果改为主客场双循环赛制，两队之间要分主场、客场各对战 1 场，总场次的计算式子会发生什么变化？ 接下来，我们一起研究在双循环赛制下，比赛球队数量与场数的问题． 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300．他算得对吗？为什么？ 问题1 分析：若有 n 支球队参赛，每一支球队需要与其余(n－1)支球队各进行主场、客场两场比赛，不存在重复计数，因此总场数为 n(n－1)． 每两支球队之间比赛 2 场 解题关键：赛制、比赛场数、球队数量． √ √ n(n－1) 问题1 单循环： 双循环： n(n－1) 单循环与双循环的计数方式有何不同？ 单循环赛制每两队之间只比赛 1 场，需要去除重复计数； 双循环赛制每两队之间比赛 2 场，直接计数无需去重． 本质区别是计数时是否产生了重复 归纳 循环赛事计数区分模型 ① 单循环模型：两两之间仅互动一次，存在重复计数，总次数为 n(n－1)． ② 双循环模型：两两之间互动两次，无重复计数，总次数为 n(n－1)． 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300．他算得对吗？为什么？ 问题1 分析：若有 n 支球队参赛，每一支球队需要与其余(n－1)支球队各进行主场、客场两场比赛，不存在重复计数，因此总场数为 n(n－1)． 每两支球队之间比赛 2 场 解题关键：赛制、比赛场数、球队数量． √ √ 数量关系： 假设总场数正好是 300 这个结论正确， n 支球队双循环比赛总场数＝300． 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300．他算得对吗？为什么？ 问题1 解：假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n－1)＝300． 解方程，得 由于 1 201 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数． 因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对． 还有其他的判断思路吗？ 每两支球队之间比赛 2 场 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300．他算得对吗？为什么？ 问题1 解：假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n－1)＝300． 不解方程，还有其他判断方法吗？ 每两支球队之间比赛 2 场 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300．他算得对吗？为什么？ 问题1 解：假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n－1)＝300． 每两支球队之间比赛 2 场 16×17＝272 17×18＝306 272 与 306 之间没有其他连续正整数的乘积． 因此总场数不可能是 300．这个人算得不对. n 与 n－1 为连续正整数，总场数为两个连续正整数的乘积.． 方程法： n(n－1)＝300． 解方程，得 由于 1 201 不是完全平方数， 所以 n 不可能为整数． 因此，总场数不可能为 300， 这个人算得不对． 估值法： n 与 n－1 为连续正整数． 16×17＝272， 17×18＝306， 272 与 306 之间没有其他连续正整数的乘积．因此总场数不可能是 300，这个人算得不对． 不受数值限制，通用性强，是基础方法． 利用连续整数的数字特征快速估算，简洁直观．数据较大时试算范围不易确定，适用场景受限． 归纳 推理判断型问题的通用解题路径 （1）假设：先假设题目给出的结论或说法是正确的； （2）建模：依托题意中的数量关系，列出一元二次方程； （3）求解：选用合适的方法解方程，得到方程的根； （4）检验：判断根是否符合实际意义； （5）判断：存在符合题意的根则假设成立，不存在则假设不成立． 1．n 个人参加聚会，每两人都握 1 次手，所有人共握手 10 次，共有多少人？ 两两之间单次互动 解：由题意，得 解方程，得 n1＝5，n2＝－4（不合题意，舍去）． 答：共有 5 人参加聚会． 2．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由． 解：设该凸多边形为 n 边形． ① 当对角线共 20 条时， 由题意，得 解得 n1＝8，n2＝－5（不合题意，舍去）． 因此这个凸多边形是八边形． n边形的对角线公式： 2．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由． ② 假设存在有 18 条对角线的多边形，由题意，得 解方程，得 由于 153 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数． 因此，不存在有 18 条对角线的多边形． 实际问题与一元二次方程 单循环模型 判断型问题的 解题步骤 双循环模型 x(x－1) 假设—建模—求解—检验—判断 谢谢 $