25.3 实际问题与一元二次方程 （第2课时）（教学课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”第2课时，核心讲解传播问题和平均变化率问题。课堂导入通过回顾上节课几何类问题的关键步骤，搭建学习支架，自然引出生活中的应用问题，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动教学，通过表格梳理传播轮次、成本变化过程，归纳通用模型，体现模型意识与推理能力。如传播问题中两轮传染的表格分析及三轮拓展，平均变化率中下降额与下降率的对比，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可借助清晰的问题链和模型总结提升教学效率。

25.3 实际问题与一元二次方程 （第2课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 1 上节课，我们借助一元二次方程解决了与直角三角形、矩形等几何图形相关的实际问题． 本节课，我们将跳出几何图形情境，研究和生活相关的两类典型应用问题——传播问题和平均变化率问题． 请大家回顾思考：在解决几何类实际问题时，有哪些关键步骤？ 问题 结合实际背景 验证根的有效性 找准等量关系 规范设元列式求解 某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 问题1 分析：这里的一轮指一个传染周期． 甲患病 （开始） 乙、丙、丁被传染 第一轮 第二轮 第一轮结束，共有 (1＋3)个人被传染 传染3人 第二轮 每人传染3人 第二轮结束，新增 3×(1＋3)个人被传染 注意：传染病传播属于裂变增长，后一轮传染源是上一轮全部感染者． 举例： 某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 问题1 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人． 传染轮次 本轮传染源人数 本轮新增感染人数 本轮结束累计感染人数 初始 1 第一轮 第二轮 0 1 x 1＋x x(1＋x) 1＋x 1＋x＋x(1＋x) 1 　　等量关系：两轮传染后累计感染人数＝121 人． 某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 问题1 解：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 人． 根据题意，得 1＋x＋x(1＋x)＝121． 整理，得 (1＋x)2＝121， 解方程，得 x1＝10，x2＝－12． 因为传染人数不能为负数，因此 x2＝－12不符合实际，舍去． 答：每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人． 按照这样的传染速度，经过三轮传染后，共有多少个人被传染？ 问题1 两轮传染后共有 121 人患病，第三轮中这 121 人每人再传染 10 人． 三轮传染总人数：121＋121×10＝121×(1＋10)＝(1＋10)3＝1 331（人）． 问题1 两轮传染后共有 121 人患病，第三轮中这 121 人每人再传染 10 人． 传染轮次 本轮传染源人数 本轮新增患病人数 本轮结束总患病人数 初始 1 第一轮 第二轮 第三轮 1＋x＋x(1＋x) x[1＋x＋x(1＋x)] 1＋x＋x(1＋x)＋x[1＋x＋x(1＋x)] 0 1 x 1＋x x(1＋x) 1＋x 1＋x＋x(1＋x) 1 (1＋x)2 (1＋x)3 (1＋x)1 三轮传染总人数：121＋121×10＝121×(1＋10)＝(1＋10)3＝1 331（人）． 归纳 解决传播问题的核心思路 1．明确传播规律：每一轮传染源为上一轮全部感染者； 2．依托多轮感染后的累计总人数建立等量关系，列出一元二次方程； 3．方程求解完成后，结合实际情境舍去无意义的根． 若 a 表示传播之前的感染人数，x 表示每轮传染中平均 1 个人的传播人数，n 表示传播的轮数，b 表示最终被感染的总人数，则 a(1＋x)n＝b． 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题2 　　思考 1：请计算甲、乙两种食品成本的年平均下降额． 　　甲种食品成本年平均下降额：(10 000－6 000)÷2＝2 000（元）； 　　乙种食品成本年平均下降额：(12 000－7 200)÷2＝2 400（元）． 两种食品的初始成本不同，仅对比成本下降的金额不公平． 乙种食品每年成本下降金额更多 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题2 　　思考 1：请计算甲、乙两种食品成本的年平均下降额． 　　甲种食品成本年平均下降额：(10 000－6 000)÷2＝2 000（元）； 　　乙种食品成本年平均下降额：(12 000－7 200)÷2＝2 400（元）． 乙种食品每年成本下降金额更多 下降额：表示绝对变化量，单位是元； 下降率：表示相对变化量，是表示比率的数字. 更客观 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题2 　　思考 2：以甲种食品为例进行分析，你能合理假设未知数，梳理出两年中甲种食品成本的变化关系吗？ 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题2 　　分析：设甲种食品成本的年平均下降率为 x． 时间 甲种食品成本 两年前 一年前（第一次下降后） 现在（第二次下降后） 10 000 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 下降的成本与前一年成本的比值 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题2 　　等量关系：初始成本×(1－年平均下降率)2＝两年后的成本． 　　解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x． 根据题意，得 10 000(1－x)2＝6 000． 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775． 下降率取值范围应为 0＜x＜1，x≈1.775 表示年平均下降率为 177.5%，成本会变为负数，不符合实际． 甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%． 两个实数根是否都符合题意？ 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题2 　　思考 3：请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率． 　　解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y． 根据题意，得 12 000(1－y)2＝7 200． 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775（不合题意，舍去）． 乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5% 两种食品成本的年平均下降率相等 问题2 　　甲种食品成本年平均下降额：2 000（元）； 　　乙种食品成本年平均下降额：2 400（元）． 　　甲种食品成本年平均下降率：22.5%； 　　乙种食品成本年平均下降率：22.5%． 成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量； 成本下降额大，其成本下降率不一定大． 想要客观对比变化幅度，不能只看减少的绝对金额，两者兼顾才能全面比较对象的变化情况． 成本下降额大，成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 归纳 设变化前初始数量为 a，平均变化率为 x，经过 2 次连续变化后数量为 b． 增长模型：a(1＋x)2＝b； 下降模型：a(1－x)2＝b． 每一次变化都以上一期数值作为新的计算基数；求出方程两根后，结合实际意义舍去不合理的根． 平均变化率通用模型 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支． 根据题意，得 1＋x＋x2＝91， 解方程，得 x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）． 答：这种植物每个支干长出 9 个小分支． 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支．如果主干、支干和小分支的总数是 91，那么每个支干长出多少个小分支？ 归纳 若主干长出 n 个支干，第二轮主干不再新增分支，仅 n 个支干进行再次分支，第二轮共有 n2 个支干，两轮后分支总数为(1＋n＋n²)个． 该模型与传播问题存在本质区别：传播问题中所有感染者均参与下一轮扩散；树干问题只有支干会继续分支，主干不再生出新分支． 树干问题中的基本数量关系 2．青山村所种水稻某年平均每公顷产 15 000 kg，两年后平均每公顷产 18 000 kg．求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）． 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x． 根据题意，得 15 000(1＋x)2＝18 000． 解方程，得 x1≈0.0954，x2＝－2.0954（不合题意，舍去）． 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为 9.54%． 实际问题与 一元二次方程 平均变化率 问题 增长模型：a(1＋x)n＝b 每一轮传染源为上一轮全部感染者 传播问题 结合实际情境舍去无意义的根 依托感染总人数建立等量关系 a(1＋x)n＝b 下降模型：a(1－x)n＝b 谢谢 $