25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为传播问题和平均变化率问题。课堂从短视频转发情境导入，引导学生发现数量规律，通过两轮传染、成本变化等实例，搭建从实际问题到方程建模的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过表格分析、公式推导发展数学思维，总结通用模型强化数学语言表达。如传染病传播结合防疫意义，平均变化率对比绝对与相对变化量，调研任务促进知识迁移。学生能提升建模能力，教师可获得结构化教学资源，提高教学效率。

第二十五章 一元二次方程 第2课时 初中数学人教版九年级上册 01 掌握传播、平均变化率两类模型，找准等量关系并列出一元二次方程，正确取舍方程的解. 02 辨析变化额与变化率差异，梳理两轮递进数量关系，灵活迁移模型解决同类生活应用题. 03 经历“实际情境--设元列式--解方程检验”建模全过程，提升代数抽象与归纳推理能力. 04 感受方程实用价值，如通过传播问题体会防疫意义，树立用数学知识理性分析生活的意识. 同学们平时刷短视频、看热点新闻 时，常会随手转发给亲友.一条通知最先 只有1个人看到，他转发给好友，收到消 息的人又各自转发，短短半小时就能传 遍整个小区. 看似简单的转发，却能让信息飞速扩散. 大家思考一下，单人转发带来大范围扩散背后藏着怎样的数量规律？本节课我们一起用数学知识探究数量规律. 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 1 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 如何理解“两轮传染”？ 开始有 1 个人(不妨记为 A)患流感，第一轮中A传染给 b，c，d，这时有(1+3)个人患流感； “两轮传染”中，两轮是指两个传染周期． 第二轮中这 4 个人每人又传染了 3 个人，这一轮新患流感的人数为3×(1+3)=12． 第1轮 第2轮 所以，第二轮后患流感的总人数为3×(1+3)+(1+3)=16． 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 第1轮传染后，共有 个人被传染. 1 2 ...... 第1轮 ...... 1 2 x ...... 1 2 x ...... 1 2 x x 第2轮 第2轮传染后，共有 个人被传染. A ...... 1 2 x A 1+x 1+x+x(1+x) 不要忽视病源A的二次传染. 121人 1 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人．由题意可得： 1+x+x(1+x)=121． 解方程，得 x1=10，x2=-12(不合题意，舍去)． 因此，平均一个人传染了10个人． 根据等量关系列出方程. 被传染人数呈指数增长，传染轮次越多，感染人数会急剧扩张；及时阻断传播链条，能快速降低感染规模，避免疫情大规模扩散，凸显科学防疫的必要性. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体会阻断病毒传播的必要性. 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 设每轮传染中平均一个人传染了10 个人. 传染源 新增被传染人数 本轮结束被传染的总人数 第一轮 1 1·10 = 10 (1+10)1 第二轮 1+10 (1+10)·10 1+10+(1+10)·10=(1+10)2 第三轮 (1+10)2+(1+10)2·10=(1+10)3 (1+10)2 (1+10)2·10 观察下面的三个式子，你能总结规律求出 n 轮之后共有多少人患流感吗？ 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 第一轮传染后人数 第二轮传染后人数 第三轮传染后人数 (1+10)1 (1+10)2 (1+10)3 第几轮传染后的人数就是(1+10)的几次方， 所以第n轮传染后的人数就是(1+10)n人. 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 根据前面的探究结果，如果最初有 a 个人患了流感，按照“1传10”的传染速度，n 轮传染后共有多少个人患流感？ n 轮传染后共有a(1+10)n人患流感． 　 如果最初有 a 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给 x 个人，那么 n 轮传染后共有多少个人患流感？ n 轮传染后共有a(1+x)n人患流感． 活动一：探究利用一元二次方程解决传播问题 常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： 传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数. 若 a 表示传播之前的人数，x 表示每轮每人传播的人数，n 表示传播的轮数，b 表示最终的总人数，则 a(1＋x)n＝b． 一定要理解实际的问题情境，否则会混淆“每轮中被传染的人数”与“每轮中患者人数”，因为后者=前者+原有的患者人数. 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是10 000元，生产 1 t 乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是6 000元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元，哪种食品成本的年平均下降率较大？ 2 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？ 甲种食品成本年平均下降额是：(10000-6000)÷2=2000(元)， 乙种食品成本年平均下降额是：(12000-7200)÷2=2400(元). 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？ 年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是10 000元，生产 1 t 乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是6 000元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元，哪种食品成本的年平均下降率较大？ 2 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较大？ 可以分别求出两种食品成本的年平均下降率，再进行比较. 设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 设乙种食品成本的年平均下降率为 y . 两年前成本 一年前成本 现在成本 甲 10000 乙 12000 10000(1-x) 10000(1-x)2 12000(1-y) 12000(1-y)2 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 设甲种食品成本的年平均下降率为 x .则一年后甲种食品成本为10000(1-x)元，两年后甲种食品成本为10000(1-x)2元，于是有 10000(1-x)2=6000 解方程，得： x1≈0.225，x2≈1.775.(不合题意舍去) 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 为什么选择22.5%作为答案？ 根据问题的实际意义，下降率不可为负，且不大于1. 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 设乙种食品成本的年平均下降率为 y .依题意，得 12000(1-y)2=7200， 解方程，得： y1≈0.225，y2≈1.775.(不合题意舍去) 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 两种食品成本的年平均下降率相等. 同理计算乙种食品成本的年平均下降率. 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额：属于绝对变化量，代表成本减少的具体金额； 成本下降率：属于相对变化量，代表成本下降的幅度比例； 全面比较方法：需要同时结合绝对变化量和相对变化量，才能全面比较对象的变化状况. 经过计算，成本下降额较大的食品，它的成本下降率不一定较大. 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 关于平均增长(下降)率问题，设基数为a，平均增长(下降)率为x，增长(下降)n次后的量为b，则 一次增长后的值 两次增长后的值 … n 次增长后的值 列方程 a(1+x) a(1+x)2 … a(1+x)n a(1+x)n=b 增长率可以大于100% 一次下降后的值 两次下降后的值 … n 次下降后的值 列方程 a(1-x) a(1-x)2 … a(1-x)n a(1±x)n=b 下降率不能大于100% 活动二：探究利用一元二次方程解决平均变化率问题 例题1 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有(1+x)台被感染，第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即(1+x)2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有(1+x)3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑． 依题意得：(1+x)+x(1+x)=81， 整理得：(1+x)2=81， 则1+x=9或1+x=-9， 解得：x1=8，x2=-10(舍去)， ∴(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 2022年，合肥蜀山区某商场于年初以每件25元的进价购进一批商品．当每件售价40元时，三月份售出256件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率； (1)设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量=三月份的销售量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之并取其正值即可得出结论； 例题2 (1)设四、五这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：256(1+x)2=400， 解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25(不合题意，舍去)． 答：四、五这两个月的月平均增长率为25%； 2022年，合肥蜀山区某商场于年初以每件25元的进价购进一批商品．当每件售价40元时，三月份售出256件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率； 例题2 (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加40件，当商品降价多少元时，商场月获利6240元？ (2)设商品降价m元，则每件获利(40-m-25)元，月销售量为(400+40m)件，利用商场销售该商品月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 例题2 (2)设商品降价m元，则每件获利(40-m-25)元，月销售量为(400+40m)件， 依题意得：(40-m-25)(400+40m)=6240， 整理得：m2-5m+6=0， 解得：m1=2，m1=3． 答：当商品降价2元或3元时，商场月获利6240元． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加40件，当商品降价多少元时，商场月获利6240元？ 例题2 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支. 如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支. 根据题意，得： 1+x+x2=91， 解得 x1=9，x2=-10(舍去). 答：每个支干长出9个小分支. 树干问题中的基本数量关系： 树干问题中主干长出n个支干， 第二轮主干不再分支， n个支干进行分支， 第二轮有n2个支干， 总共有(1+n+n2)个支干. 2.青山村所种水稻2020年平均每公顷产 15 000 kg，2022 年平均每公顷产 18 000 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率(结果写成a%的形式，其中a 保留小数点后两位). 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x . 根据题意，得 ：15000(1+x)2=18000. (1+x)2=1.2 解方程，得 x1≈ 0.0954，x2 ≈ -2.0954（不合题意，舍去）， 0.0954×100%=9.54% 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54%. 生活中的一元二次方程增减模型调研 自主搜集两类生活素材：一则病毒或植物分支类倍增传播案例、一则物价或产量增减两年变化案例. 仿照课本例题，设未知数、梳理数量关系，列出一元二次方程并完整求解. 对比两道题的方程结构，总结传播模型、平均变化率模型的通用公式. 手写完整解题过程，标注等量关系来源. 简要写出 200 字以内探究小结，说明两类模型区别，结合实例谈谈数学建模的实用价值，杜绝照搬课本原题. 任务 要求 1 2 1 2 3 $