2026—2027学年北师大版八年级数学上册9月份第一次月考重难点学情自测卷

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第一次月考卷，聚焦勾股定理与二次根式，通过基础辨析、几何综合及规律探究题，考查数学抽象、推理与应用能力，适配学情自测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、二次根式合并、无理数判断|结合数轴考查实数化简，体现几何直观| |填空题|6/18|算术平方根、折叠问题、直角三角形第三边|设置多解问题（如第14题），培养分类思维| |解答题|8/72|规律探究（21题）、四边形面积计算（20题）、几何综合（24题）|设计探究迁移类大题（24题），发展推理能力与创新意识|

2026年9月份第一次月考重难点学情自测卷北师大版2026—2027学年八年级数学上册 测试范围：第一章、第二章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列各组数中是“勾股数”的一组是（     ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．2，2，3 2．下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 3．在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 4．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．是27的立方根 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 8．若实数x、y满足y＝++4，求x+y的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 9．估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 10．在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．25的算术平方根是________，的立方根是________． 12．比较大小：______． 13．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落到斜边上，与点重合，为折痕，则的长为_________． 14．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为_______． 15．如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得_____ 16．如图，中，，，，点E是直线上一点，且，连接，过点E作，（点C，F在直线两侧），连接，则的长是 ___________. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．求下列各式中的x． (1)； (2)． 18．已知 ，且与 互为相反数，求的平方根． 19． 计算： (1) (2) (3) (4) (5) 20．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地（如图所示），学校计划在空地上种植草皮和建休息区，经测量米，米，米，米． (1)求出空地的面积． (2)现在以为一个内角建一个最大的正方形休息场地，剩余部分种植草皮，若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 21．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 22．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 23．【综合探究】如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点，点是线段上的一个动点． (1)求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 24．中，，，D为外一点． (1)【探究发现】如图1，点D在边下方，．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段、、之间的数量关系．他们的思路是这样的，作，取，连接．易证．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出的证明过程． (2)【迁移运用】如图2，点D在边上方，．猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【延伸拓展】如图3，在四边形中，，若，，请直接写出的值． 25．已知是等腰直角三角形，，．动点在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，连接． (1)如图1，点在线段上时，爱动脑筋的小明，小亮立刻想到上学期学的知识．小明：易得；小亮：易得的度数．请解答下列各小题． ①若，，则线段的长为___________；的度数为___________；线段的长为___________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)动点在射线上运动过程中，若，直接写出的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B B C D B C 11． 12． 13． 14．或5 15． 16．或/或 17．【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴． 18．【详解】解：， ，， ， 与 互为相反数， ， ， ， 的平方根为． 19．【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 20．【详解】（1）解：连接， 在中，， 在中，，， 而，即， 所以， 则（平方米）， 答：空地的面积为36平方米； （2）最大正方形面积为：（平方米）， 所需费用为（元）， 答：总共需投入5400元． 21．【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 22．【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数， ∴实数m的值是； （2）解：当时， ． 23．【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴； （2）解：如图，当时，即与重合， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，即， ∵， ∴， 在中，， 综上所述，长为或． 24．(1)证明：作，取，连接． ∵， ∴， ∵，，， ∴． (2)， 证明如下． 证明：在上截取，使， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点C作，使，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴ 25．【详解】（1）解：①，， ，， ， ； ，， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； 故答案为：；；； ②根据解析①可得：，， ， 为等腰直角三角形， ， ； (2) 解：成立；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； （3）解：当在右边时， 由（1）（2）得：， ， 点Q的运动轨迹为线段所在的直线， 作点A关于直线的对称点F，连接交于点，过点C作，如图所示： 则，，此时，取得最小值， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， 的最小值为． 当在左边时，当点与点重合时，的值最小，即为线段的长， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． ∵， 的最小值为． 综上所述：的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $