1.4 用一元二次方程解决问题 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到拓展探究，覆盖一元二次方程应用全类型，通过典例引领-梯度训练-综合应用路径，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点应用|选择/填空/解答对应增长率、面积等基础考点，如矩形面积计算| |能力提升|综合问题变式|存在性问题（如面积能否达180m²），强化实际意义检验| |拓展探究|多条件探究|成本限制综合题（如进货成本不超10000元），提升推理能力| |综合训练|跨类型整合|增长率与利润结合题，深化应用意识与数学思维|

苏科版九年级上册数学 · 课时作业 1.4　用一元二次方程解决问题　课时作业 苏科版 九年级上册 第1章 一元二次方程　（建议用时：60分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、知识点梳理 知识点1　列一元二次方程解应用题的一般步骤 审：读懂题意，分清已知量、未知量；设：设未知数（直接设或间接设）；列：找出等量关系，列出方程；解：解所列方程；验：检验方程的解是否符合实际意义；答：写出答案。 特别提醒：一元二次方程往往有两个根，必须结合实际问题进行检验，舍去不符合题意的根（如边长、时间、人数不能为负数，增长率不能使结果不合理，线段长度不能超过已知限制等）。 知识点2　常见问题类型及等量关系 问题类型 基本数量关系 增长率（降低率）问题 （ 为基数， 为两次变化后的量） 利润（销售）问题 总利润 = 单件利润 × 销售量 面积问题 利用平移，把道路、边框等“拼接”后再用面积公式 传播问题 （每轮每个传播者传给 个） 单循环比赛（握手） 总场数 双循环比赛（互赠） 总数 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 动点问题 用时间 表示线段长，再利用面积、勾股定理列方程 知识点3　几类问题的解题要点 （1）增长率问题：连续增长两次后的量为 ，而不是 ；求出的增长率为负数或使结果不合理时应舍去。 （2）利润问题：设涨价（或降价） 元时，要同时表示出单件利润和销售量，常见“每涨价1元少卖 件”，销售量为“原销量 ”。题中若有“尽快减少库存”“让顾客得到实惠”等条件，要据此取舍。 （3）面积问题：靠墙围成的矩形要注意墙长的限制；小路问题常用“平移法”，把小路平移到边上，剩余部分拼成一个矩形。 （4）动点问题：先确定点运动的时间范围，再用含 的式子表示相关线段的长，求出 后检验是否在时间范围内。 二、典例精讲 【例1】（面积问题）如图，要建一个面积为160 m²的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆总长35 m，且在与墙平行的一边上开一扇宽1 m的门（门不用篱笆）。求鸡场的长和宽。 （例1图） 解：设鸡场垂直于墙的一边长为 m，则平行于墙的一边长为 m，即 m。 由题意得 ，整理得 ，解得 ，。 当 时，，不合题意，舍去；当 时，，符合题意。 答：鸡场的长为16 m，宽为10 m。 【例2】（增长率问题）某地2023年投入教育经费2500万元，2025年投入教育经费3025万元。求该地这两年投入教育经费的年平均增长率。 解：设年平均增长率为 。由题意得 ，即 ， 所以 ，，（不合题意，舍去）。 答：这两年投入教育经费的年平均增长率为10%。 【例3】（利润问题）某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每天可卖出600件。市场调查发现：售价每上涨1元，每天就少卖出10件。为了让顾客得到实惠，同时每天获利10000元，售价应定为多少元？ 解：设售价上涨 元，则每件利润为 元，每天销量为 件。 由题意得 ，整理得 ，解得 ，。 为了让顾客得到实惠，应取 ，此时售价为50元。 答：售价应定为每件50元。 【例4】（传播问题）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感。每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果不及时控制，第三轮传染后将共有多少人患流感？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则第一轮后共有 人患病，第二轮后共有 人患病。 由题意得 ，解得 ，（舍去）。第三轮后共有 （人）患流感。 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人，第三轮后共有1331人患流感。 【例5】（动点问题）如图，在△ 中，， cm， cm。点 从点 出发沿 以1 cm/s的速度向点 移动，同时点 从点 出发沿 以2 cm/s的速度向点 移动，当其中一点到达终点时两点都停止运动。几秒后△ 的面积为8 cm²？ （例5图） 解：设 s后△ 的面积为8 cm²，则 cm， cm，其中 。 由题意得 ，整理得 ，解得 ，，都在时间范围内。 答：2 s或4 s后△ 的面积为8 cm²。 三、基础巩固 （一）选择题 1．某厂一月份的产值为50万元，三月份的产值为72万元。设二、三月份产值的月平均增长率为 ，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 2．一个矩形的长比宽多2 cm，面积为48 cm²，则它的宽为（　　） A．6 cm B．8 cm C．4 cm D．12 cm 3．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．14 4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出的小分支数目是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5．两个连续偶数的积是168，则这两个偶数是（　　） A．12和14 B．和 C．12和14或 和 D．13和14 6．某商品原价为100元，连续两次降价 后售价为81元，则 的值为（　　） A．9 B．10 C．19 D．20 7．如图，在一块边长为20 cm的正方形铁皮的四个角上各剪去一个边长为 cm的小正方形，折成一个无盖的盒子，若盒子的底面积为256 cm²，则 的值为（　　） （第7题图） A．2 B．4 C．2或18 D．18 8．新年到了，某小组的同学之间互送贺卡，每人都给其他同学送一张，共送出贺卡90张，则这个小组的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 （二）填空题 9．某超市一月份营业额为200万元，一、二、三月份营业额共1000万元。设二、三月份营业额的月平均增长率为 ，则可列方程为________________________。 10．一个两位数，十位数字比个位数字小2，个位数字与十位数字之积等于这个两位数的 ，则这个两位数是________。 11．若一个直角三角形的三边长是三个连续的偶数，则它的三边长分别为________。 12．某药品原价为每盒25元，经过两次降价后每盒售价为16元，则平均每次降价的百分率为________。 13．在一块长20 m、宽15 m的长方形绿地内部的四周修筑宽度相同的小路，若剩余绿地面积为234 m²，则小路的宽为________m。 14．某人将2000元按一年定期存入银行，到期后取出1000元，剩下的钱连同利息又全部按一年定期存入。若年利率不变，到期后共得本息1320元，则这种存款的年利率为________（不计利息税）。 15．某校九年级举行篮球比赛，每两个班之间都要在主、客场各比赛一场，共比赛了30场，则九年级共有________个班。 16．用一段长40 m的篱笆和一面长25 m的墙围成一个面积为200 m²的矩形菜园（墙的一边不用篱笆），则菜园垂直于墙的边长为________m，平行于墙的边长为________m。 （三）解答题 17．如图，在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，且花园四周的小路宽度都相同。求小路的宽。 （第17题图） 18．某电商平台上一款商品3月份的销量为5000件，5月份的销量为7200件。 （1）求该商品4、5月份销量的月平均增长率；（2）如果6月份仍保持这个增长率，预计6月份的销量是多少件？ 19．某商店销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售、尽快减少库存，商店决定采取降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商店平均每天可多售出2件。若商店每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 20．某种电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。 （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 21．在例5的条件下（见例5图），几秒后 ， 两点间的距离为 cm？ 22．某班同学毕业时，每名同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送出照片1560张。这个班有多少名同学？ 四、能力提升 23．在例1的条件下（墙长18 m，篱笆总长35 m，门宽1 m），鸡场的面积能达到180 m²吗？请说明理由。 24．某水果店购进一种水果，进价为每千克20元。经市场调查，这种水果的日销售量 （千克）与售价 （元/千克）之间满足 （）。若该店每天销售这种水果获利150元，则售价应定为每千克多少元？ 25．某旅行社推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。某单位组织员工旅游，共支付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？ 五、拓展探究 26．某商场将进价为40元的某种商品按50元出售时，每月能卖出500个。经市场调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其月销售量就减少10个。 （1）为了使月销售利润达到8000元，售价应定为多少元？ （2）在（1）的条件下，若要求每月的进货成本不超过10000元，售价应定为多少元？这时应进货多少个？ 27．用一根长20 cm的铁丝围成一个矩形。 （1）能否围成面积为24 cm²的矩形？若能，求出矩形的长和宽； （2）能否围成面积为30 cm²的矩形？请说明理由； （3）你认为围成的矩形面积最大是多少？此时矩形的形状是什么？ 六、综合训练 28．某校图书馆现有藏书5万册，两年后藏书量增加到7.2万册，则这两年藏书量的年平均增长率为________。 29．一个正方形的边长增加3 cm后，它的面积增加了39 cm²，则原正方形的边长为________cm。 30．小明将一根长56 cm的铁丝剪成两段，分别围成两个正方形，若这两个正方形的面积之和为100 cm²，则两段铁丝的长分别为多少？ 31．某村2023年人均收入为1.6万元，2025年人均收入为2.5万元。 （1）求这两年该村人均收入的年平均增长率；（2）若保持这个增长率，预计2026年该村人均收入是多少万元？ 参考答案与解析 三、基础巩固 1．B　解析：二月份产值为 万元，三月份产值为 万元。 2．A　解析：设宽为 cm，则 ，，，（ 舍去）。 3．B　解析：设有 人，，，，（负值舍去）。 4．B　解析：由题意得 ，，，（负值舍去）。 5．C　解析：设较小的偶数为 ，则 ，解得 ，，所以两数为12和14或 和 。 6．B　解析：，（负值舍去），所以 。 7．A　解析：，（ 时 ，此时 ，舍去），所以 。 8．B　解析：，，（负值舍去）。 9．　解析：注意是三个月营业额的“和”。 10．24　解析：设个位数字为 ，则十位数字为 ，由题意得 ，整理得 ，解得 ，（不是整数，舍去），所以这个两位数是24。 11．6，8，10　解析：设中间的偶数为 ，则 ，整理得 ，（ 舍去）。 12．20%　解析：，，（另一根大于1，舍去）。 13．1　解析：，整理得 ，解得 ，（此时 ，舍去）。 14．10%　解析：设年利率为 ，则 。设 ，得 ，解得 ，（舍去），所以 。 15．6　解析：，，（负值舍去）。 16．10；20　解析：设垂直于墙的边长为 m，则 ，，，平行于墙的边长为20 m，小于25 m，符合题意。 17．解：设小路的宽为 m，则花园的长为 m，宽为 m。 由题意得 ，整理得 ，解得 ，。 当 时，，不合题意，舍去。答：小路的宽为2 m。 18．解：（1）设月平均增长率为 ，则 ，，，（舍去）。 （2）（件）。答：月平均增长率为20%，预计6月份销量为8640件。 19．解：设每件衬衫应降价 元，则每件盈利 元，每天售出 件。 由题意得 ，整理得 ，解得 ，。 为了尽快减少库存，应降价20元。答：每件衬衫应降价20元。 20．解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑，则 ，，（舍去）。 （2）3轮感染后被感染的电脑有 （台），，所以会超过700台。 21．解：设 s后 cm，则 cm， cm（）。 在Rt△ 中，，即 ，整理得 ， 解得 ，，都在时间范围内。答： s或2 s后 ， 两点间的距离为 cm。 22．解：设这个班有 名同学，则 ，，，，（舍去）。答：这个班有40名同学。 四、能力提升 23．解：不能。理由：设垂直于墙的一边长为 m，则 ，整理得 。因为 ，方程没有实数根，所以鸡场的面积不能达到180 m²。 24．解：由题意得 ，整理得 ，解得 ，，都满足 。 答：售价应定为每千克25元或35元。 25．解：因为 ，所以参加旅游的人数超过25人。 设共有 名员工去旅游，则人均费用为 元。由题意得 ， 整理得 ，解得 ，。 当 时，人均费用为 ，不合题意，舍去；当 时，人均费用为 ，符合题意。 答：该单位这次共有30名员工去旅游。 五、拓展探究 26．解：（1）设售价上涨 元，则 ，整理得 ，解得 ，。所以售价应定为60元或80元。 （2）当售价为60元时，月销量为400个，进货成本为 （元）>10000元，不合题意； 当售价为80元时，月销量为200个，进货成本为 （元）<10000元，符合题意。 答：售价应定为80元，这时应进货200个。 27．解：设矩形的一边长为 cm，则另一边长为 cm。 （1）能。，，，，所以矩形的长为6 cm，宽为4 cm。 （2）不能。，，，方程没有实数根。 （3），当 时面积最大，为25 cm²，此时矩形是边长为5 cm的正方形。 六、综合训练 28．20%　解析：，，（负值舍去）。 29．5　解析：，展开得 ，。注意：此题化简后是一元一次方程。 30．解：设其中一段铁丝长为 cm，则另一段长为 cm。 由题意得 ，整理得 ，解得 ，。 答：两段铁丝的长分别为24 cm和32 cm。 31．解：（1）设年平均增长率为 ，则 ，，（负值舍去），。 （2）（万元）。答：年平均增长率为25%，预计2026年人均收入为3.125万元。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $