1.4 用一元二次方程解决实际问题 课时3 动态几何问题 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦动态几何问题，以6个知识点为脉络，分层设计基础理解、综合应用、拓展探究题组，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|动态几何中的动点问题、等量关系表示|选择/填空题巩固用t表示线段长度，如矩形中动点面积计算| |综合应用|存在性问题、折叠问题|解答题整合面积公式与勾股定理，如菱形中动点面积为定值的t值求解| |拓展探究|解题策略与验根|探究题强调根的合理性检验，如折叠后对应点位置的实际意义分析|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．4 用一元二次方程解决问题 课时3 动态几何问题 ▌课时目标 1. 能分析动态几何问题中的运动过程，用时间t表示相关线段长度，借助面积公式、勾股定理等建立一元二次方程。 2. 掌握折叠问题中的轴对称性质，能利用“对应线段相等”和“直角三角形勾股定理”列出一元二次方程求解。 3. 能解决动态几何中的存在性问题，通过解方程判断是否存在满足条件的时刻，并根据题意对根进行合理性检验。 ▌课时目录 知识点01：动态几何中的动点问题 知识点02：利用一元二次方程表示动态过程中的等量关系 知识点03：动态几何中的存在性问题 知识点04：几何图形中的折叠问题 知识点05：动态几何问题的解题策略 知识点06：动态几何问题中的验根 ▌知识点01：动态几何中的动点问题 在几何图形中，点沿线段以恒定速度运动。设运动时间为t秒，用t表示动点到端点的距离，进而表示相关线段的长度。 常见背景：直角三角形或矩形中，两点同时运动，形成动态三角形，求其面积等于某定值的时刻。 解题关键：确定t的取值范围（起点到终点的时间），并用t的代数式表示三角形的底和高。 1．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 2．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点为上一动点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点运动，点为上一动点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点运动．两点同时出发，一个点停止运动，则另一个点也随机停止运动． (1)试写出多边形的面积与运动时间之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当多边形的面积最小时，求点的坐标． 【答案】(1)（） (2)点坐标为 【分析】本题考查了动态几何问题中的函数关系建立和利用二次函数的性质求最值。掌握用运动时间表示相关线段长度，以及通过“整体减部分”（矩形面积减去三角形面积）的方法来构建几何图形面积的函数表达式和二次函数求最值是解题的关键。 （1）用时间t表示出动点D和E的位置，将不规则多边形的面积转化为矩形面积与直角三角形面积之差。 （2）对（1）得到的二次函数关系式，利用求对称轴即可求出面积取最小值时对应的时间t，进而得到点D的坐标。 【详解】（1）解：设运动时间为t， ∵点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点运动， ∴，， ∵点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点运动， ∴， ∴多边形的面积（）， 故答案为：（）． （2）当时，有S最小， 此时D的坐标为 故答案为：点坐标为． 3．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）矩形的和两顶点两边分别在直角坐标系的与轴的正半轴上，顶点在第一象限，点坐标为．动点从点出发，沿折线向终点运动．在上速度为每秒个单位长度．在上速度为每秒个单位长度，设点运动的时间为秒．若点为射线上一点，且．连接和，令的面积为，的面积为．回答下列问题： (1)请直接写出、之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在平面直角坐标系中，画出、的图像，并写出一条的性质； (3)请直接写出时，的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)作图见解析；在里，随着的增大而增大；在时，随着的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据题意将四边形的四个点的坐标表示出来，直接套用面积公式求出的面积；按照点在线段或线段上分类讨论，然后根据几何面积求解； （2）在平面直角坐标系中描点，然后画出图像，观察图像中的性质； （3）联立两解析式求出交点坐标，再根据图像判断符合条件的图像是在交点的左侧还是右侧，在交点左侧，小于交点的横坐标，在交点的右侧，大于交点的横坐标． 【详解】（1）解；∵四边形是矩形，且点坐标为，和两顶点两边分别在直角坐标系的与轴的正半轴上， ∴， ， ∵点为射线上一点，且， ∴， 即； ∵点在上速度为每秒个单位长度， ， ∴点在上运动的时间是， ∵点在上速度为每秒个单位长度，， ∴点在上运动时间为秒，即； 如图所示： 当点在线段上，即，此时， ， 当点在线段上，即时，此时， 综上所述：； （2）解：画图如下： ①作的图像，当时，；当时，， 在平面直角坐标系中将点描出来，连接两点并延长交原点； ②作的图像，当时，；当时，， 在平面直角坐标系中将点描出来，连接两点并延长交点； ③作的图像， 1 2 3 5 6 6 3 2 1 在平面直角坐标系中将这5个点描出来，用平滑曲线将这5个点顺次连接； 由图像可知，在里，随着的增大而增大；在时，随着的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：联立和的解析式， ，解得或（舍）； ，解得（舍），， 由图像可知，当时，， 又∵，， ∴ ． 4．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)_，_（用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． ▌知识点02：利用一元二次方程表示动态过程中的等量关系 将运动过程中的某一瞬间视为静态，找出不变量和变量。根据几何图形的性质（如三角形面积＝底×高÷2，矩形面积＝长×宽，勾股定理a2＋b2＝c2）列出含t的方程。 例如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC向C以1cm/s运动，点Q从C沿CB向B以2cm/s运动，求几秒后△PCQ面积为8cm2。 设t秒，则PC＝6－t，CQ＝2t，列方程(6－t)×2t＝8，整理得t2－6t＋8＝0。 5．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，一元二次方程的应用，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 当点P在上运动时，面积逐渐增大，当点P到达点B时，结合图象可得面积最大为6，得到与的积为24；当点P在上运动时，面积逐渐减小，当点P到达点C时，面积为0，此时结合图象可知点P运动路径长为10，得到与的和为10，构造关于的一元二方程可求解． 【详解】解：由图可知，，， ，， ， 整理得， 解得或， 当时，，，与矛盾，舍去， ， ， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 7．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 8．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)_，_（用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【分析】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． ▌知识点03：动态几何中的存在性问题 问题通常表述为：“是否存在某一时刻t，使得某线段长度等于某值”或“使得某图形面积为某值”。 解法：假设存在，设时间为t，按常规方法列出一元二次方程。 若方程有实数根，且根在t的允许范围内，则存在；若方程无实数根，或根不在允许范围内，则不存在。 例如：上例中问是否存在t使得△PCQ为等腰直角三角形，则需PC＝CQ，即6－t＝2t，这是一次方程；若问面积为某值，则需解一元二次方程判断。 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时,四边形的面积为 (2)时, (3)时, 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据勾股定理得，再列方程求解即可； （3）根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 由题意，得，，，， ， ， 整理，得， ，（舍去）， 当时，四边形的面积为． （2）解：由勾股定理，得，， 当时，， 所以， 即， 解得，（舍去）， 时，． （3）解：连接， 若， ， ∴， 即， 解得， 时，． 10．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：_，_．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为________； (2)当为何值时，的面积是12？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点， 利用分割法得到，列出方程，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点，    ∵平行四边形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 由题意，，，则， ∴， ∴， ∴ ， 解得； 此时，， ∴点与点重合，即， 故当时，的面积为12； （3）解：存在， 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：，， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或． 12．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；②存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）首先确定点，坐标，设，则，利用面积公式解得的值，即可确定点坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式； （2）①根据题意，可知，由轴可知，然后由求解即可；②首先确定，结合轴可得，将其代入直线并求解，可得点坐标，进一步可得，结合计算的值，即可获得答案； （3）①设，设直线的表达式为，将点，代入并计算，即可确定直线的表达式，进一步确定点坐标，结合求得的值，即可获得答案；②结合①确定直线的表达式，设，，设该平行四边形的对角线交点为，然后分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、以为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，可得，即， 当时，可得，解得，即， ∴， 设，则， ∵面积为7， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵点E的横坐标为t，且点E在线段上， ∴， ∵轴， ∴， 由（1）可知直线的解析式为， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵轴，， ∴， 将其代入直线，可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； （3）解：①设，设直线的表达式为， 将点，点代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； ②由①可知，直线的表达式为， 设，， 设该平行四边形的对角线交点为， 分情况讨论： 情况1，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∵，， ∴，解得， ∴； 情况2，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴； 情况3，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或． ▌知识点04：几何图形中的折叠问题 将矩形或三角形纸片折叠，折痕为对称轴，折叠前后重合的部分全等。 常见题型：求折叠后某线段长度。设未知数表示某线段，利用折叠性质（对应线段相等，对应角相等）和直角三角形的勾股定理列方程。 例如：矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，将△ABE沿BE折叠，使点A落在CD上的F点。 设AE＝x，则EF＝x，AF对应折痕垂直平分，在Rt△EDF中利用勾股定理可列关于x的方程。 13．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据将沿折叠，， 使点B落在射线上的点处，，得，故，判断①正确；由，得，可得是等边三角形，即可得，判断②正确；当点N与C重合时，可得， ，判断③错误；当最短时， ，过M作于T，交延长线于K，设，有，可求得，设，则， ， ，有，可求出， ，在中， ， ，故，在中， ，判断④正确． 【详解】解∶ 将沿折叠，使点B落在射线上的点处， ． ． 是等边三角形，， ． ．故①正确． ，， ． ． 将沿折叠，使点B落在射线上的点处， ， ，． ， 是等边三角形． ． ． 四边形为菱形：故②正确； 当点N与C重合时，如图： ，， ． 将沿折叠，使点B落在射线上的点处， ，． ． ，故③错误； 当最短时， ， 过M作于T，交延长线于K，如图： ， ， ，． 设，则， 在中，， ，解得， ． ， ． ． ． ， ， ． 设，则， ， ， ． 在中，． ，解得． ， ， 在中，， ， ． ． 在中， ．故④正确； 正确的有． 故选： C 14．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）如图，点在矩形的边上，连接，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接．若，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解方程等，能熟练掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解方程等进行推导即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ，， ∴ ∵由矩形的性质、折叠的性质可知，、 ∴ ∴设为，则、 ∵在中， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15．（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出_； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）正方形的边长为6； （3），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵点，，共线， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【分析】（1）由正方形的性质可得，由折叠的性质可得，，再由计算即可得解； （2）由折叠可知，，，设正方形边长为，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由正方形的性质可得，由折叠的性质可知，，，，证明，得出，从而得出，再求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴； （2）由折叠可知，， 所以， 设正方形边长为，则，， 因为在中，， 所以， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以正方形的边长为6； （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．（2025·河南·模拟预测）动手操作： 如图1，将纸片沿中位线折叠，点落在边上的点处，再将纸片分别沿折叠，使点和点都与点重合，得到四边形，连接． 【初探】（1）四边形的形状是___________； 【延伸】（2）若 ①试判断此时四边形的形状，并说明理由； ②求此时四边形的面积； 【拓展】（3）如图2，在四边形纸片中，，．把该纸片折叠，得到了一个无缝隙、无重合的正方形，使所得正方形四个顶点和至少有一条边都在原图边上，直接写出此时的长． 【答案】（1）矩形； （2）①四边形是正方形，理由如下： ∵是的中位线， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ②36；（3）14或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，得到，根据中位线，得，得到四边形是矩形； （2）①根据三角形的中位线定理可得，，，则可得，再根据正方形的判定即可得；②根据题意，利用勾股定理，求得正方形的边长，再计算面积即可得； （3）分两种情况：①先将四边形沿中位线折叠，点落在点处，点落在上的点处，连接，再沿着折叠，则四边形是正方形；②先将四边形沿折叠得到四边形，点落在点处，点落在上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，点与点重合，折痕分别为，则四边形是正方形，利用折叠的性质和正方形的性质求解即可得． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， ∴，， ∵是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． （2）①略 ②设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理得：，即， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． （3）∵，， ∴． ①如图，先将四边形沿中位线折叠，点落在点处，点落在上的点处，连接，再沿着折叠， 由折叠的性质得：，，，，， ∴四边形是矩形， 要使四边形是正方形，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图，先将四边形沿折叠得到四边形，点落在点处，点落在上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，点与点重合，折痕分别为， 由折叠的性质得：，，，，，，，，，， ∴，，， ∴四边形是矩形；点共线， 要使四边形是正方形，则， ∴，正方形的面积为， ∴直角梯形的面积为， ∴， 设，则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； 综上，的长为14或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、矩形的判定和性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． ▌知识点05：动态几何问题的解题策略 1. 审题：明确运动对象、运动路径、速度、时间； 2. 画图：画出起始状态和某一时刻的状态图； 3. 设元：通常设运动时间为t（单位：秒），或设某线段长为x； 4. 表示：用t或x表示其他相关线段； 5. 列方程：根据面积、勾股定理、折叠对称性等等量关系列出方程； 6. 求解：用适当方法解一元二次方程； 7. 检验：检查解是否符合题意（时间非负、点在线段上、长度合理等）； 8. 作答。 17．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1．5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 18．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：， ∴，， ∴； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 综上所述，或． 19．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 20．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． ▌知识点06：动态几何问题中的验根 解一元二次方程得到的根，必须结合实际问题进行检验： 1. 时间t必须大于等于0，且通常t有最大值（如点到达终点）； 2. 表示长度的代数式必须为正，如PC＝6－t＞0，则t＜6； 3. 折叠问题中，折痕位置必须使对应点落在线段上，不能落在线段延长线上； 4. 若解出两个根，可能都符合，也可能一个符合一个不符合，需逐一判断。 不合题意的根应舍去，只保留符合实际意义的根。 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 22．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 23．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【答案】(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 24．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，；当时，；当时，； (3)当的面积为9时或 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点P到点C时，所走路程为，根据速度可得出t的值，当点Q到终点时，P点回到中点，可直接求出； （2）分三种情况讨论：点P在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）当的面积为9时，类似（2）分三种情况进行讨论可得出结果． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， 则点到点时，所走路程为， ∵速度为每秒2个单位长度 ∴， ∵点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度， ∴当点到终点时，， 则点的运动路程为， ∵点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度， ∴此时点P在边上， ∴点回到中点， ∴， 故答案为：，； （2）解：分三种情况： ①点P在上时， 则 即，如图所示： 故； ②点P在时， 则， ∴，如图所示： 此时 ③点P在时， ∴ 则，如图所示： 此时； （3）解：①点P在上时，，如图所示： 则，，， ， 解得：，（舍去） ②点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得： ③点P在时，，如图所示： 同理得， ， 解得（舍去） 综上所述，当的面积为9时，则或． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设t秒后，的面积为，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出t的值． 【详解】解：设t秒后，的面积为， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作于，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∵点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动， ∴，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 故答案为：A． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 7．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为______时的面积为． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面积，三角形中位线定理，过点作于，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意得，然后列出方程，求出方程的解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据题意得：，， ∴，， 过点作于， ∵，即， ∴， 又∵是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得：，，即当或时，的面积是， 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 【答案】 或或6 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，在和中利用勾股定理表示出和，分，，三种情况列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 设，两点同时出发秒时，是等腰三角形， 由题意得：，，且， ∴在 中，， 点在上，为中点， ， ∴在中，， 分三种情况讨论：①当时，，即 ， 解得或， ， ； ②当时，，即， 解得， ， ∴； ③当时，，即， 解得或， ， ； 综上所述，的值为或或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） (1)当t为何值时，是等腰三角形？ (2)当F为边的中点时，求此时的长度． (3)是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)存在， 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，一元二次方程的实际应用，正确理解题意时解题的关键． （1）由矩形的性质可得，根据题意可得，则，当是等腰三角形时，，建立方程求解即可； （2）由题意得当F为边的中点时，，则，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，由（1）知，，则，利用勾股定理得到，当点D在线段的垂直平分线上时，，建立方程求解即可； （4）由（3）知知，，，，，根据的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积，结合的面积是矩形面积的，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 根据题意可得，则， 当是等腰三角形时，则， ∴， 解得； （2）解：由题意得当F为边的中点时，， 则，解得，, ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，， 在矩形中，，， 由（1）知，，则， ∵， 当点D在线段的垂直平分线上时，，即， ∴，即， 解得或（舍去）； （4）解：存在，， 由（3）知，，，，， ∵的面积等于矩形的面积减去的面积减去的面积减去的面积， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴，即， 解得． 10．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．4 用一元二次方程解决问题 课时3 动态几何问题 ▌课时目标 1. 能分析动态几何问题中的运动过程，用时间t表示相关线段长度，借助面积公式、勾股定理等建立一元二次方程。 2. 掌握折叠问题中的轴对称性质，能利用“对应线段相等”和“直角三角形勾股定理”列出一元二次方程求解。 3. 能解决动态几何中的存在性问题，通过解方程判断是否存在满足条件的时刻，并根据题意对根进行合理性检验。 ▌课时目录 知识点01：动态几何中的动点问题 知识点02：利用一元二次方程表示动态过程中的等量关系 知识点03：动态几何中的存在性问题 知识点04：几何图形中的折叠问题 知识点05：动态几何问题的解题策略 知识点06：动态几何问题中的验根 ▌知识点01：动态几何中的动点问题 在几何图形中，点沿线段以恒定速度运动。设运动时间为t秒，用t表示动点到端点的距离，进而表示相关线段的长度。 常见背景：直角三角形或矩形中，两点同时运动，形成动态三角形，求其面积等于某定值的时刻。 解题关键：确定t的取值范围（起点到终点的时间），并用t的代数式表示三角形的底和高。 1．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，点为上一动点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点运动，点为上一动点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点运动．两点同时出发，一个点停止运动，则另一个点也随机停止运动． (1)试写出多边形的面积与运动时间之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当多边形的面积最小时，求点的坐标． 3．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）矩形的和两顶点两边分别在直角坐标系的与轴的正半轴上，顶点在第一象限，点坐标为．动点从点出发，沿折线向终点运动．在上速度为每秒个单位长度．在上速度为每秒个单位长度，设点运动的时间为秒．若点为射线上一点，且．连接和，令的面积为，的面积为．回答下列问题： (1)请直接写出、之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在平面直角坐标系中，画出、的图像，并写出一条的性质； (3)请直接写出时，的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 4．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)_，_（用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． ▌知识点02：利用一元二次方程表示动态过程中的等量关系 将运动过程中的某一瞬间视为静态，找出不变量和变量。根据几何图形的性质（如三角形面积＝底×高÷2，矩形面积＝长×宽，勾股定理a2＋b2＝c2）列出含t的方程。 例如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC向C以1cm/s运动，点Q从C沿CB向B以2cm/s运动，求几秒后△PCQ面积为8cm2。 设t秒，则PC＝6－t，CQ＝2t，列方程(6－t)×2t＝8，整理得t2－6t＋8＝0。 5．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．4或6 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 7．（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 8．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)_，_（用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． ▌知识点03：动态几何中的存在性问题 问题通常表述为：“是否存在某一时刻t，使得某线段长度等于某值”或“使得某图形面积为某值”。 解法：假设存在，设时间为t，按常规方法列出一元二次方程。 若方程有实数根，且根在t的允许范围内，则存在；若方程无实数根，或根不在允许范围内，则不存在。 例如：上例中问是否存在t使得△PCQ为等腰直角三角形，则需PC＝CQ，即6－t＝2t，这是一次方程；若问面积为某值，则需解一元二次方程判断。 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 10．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：_，_．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为________； (2)当为何值时，的面积是12？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． ▌知识点04：几何图形中的折叠问题 将矩形或三角形纸片折叠，折痕为对称轴，折叠前后重合的部分全等。 常见题型：求折叠后某线段长度。设未知数表示某线段，利用折叠性质（对应线段相等，对应角相等）和直角三角形的勾股定理列方程。 例如：矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，将△ABE沿BE折叠，使点A落在CD上的F点。 设AE＝x，则EF＝x，AF对应折痕垂直平分，在Rt△EDF中利用勾股定理可列关于x的方程。 13．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·重庆潼南·期末）如图，点在矩形的边上，连接，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接．若，，则的长为__________． 15．（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出_； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 16．（2025·河南·模拟预测）动手操作： 如图1，将纸片沿中位线折叠，点落在边上的点处，再将纸片分别沿折叠，使点和点都与点重合，得到四边形，连接． 【初探】（1）四边形的形状是___________； 【延伸】（2）若 ①试判断此时四边形的形状，并说明理由； ②求此时四边形的面积； 【拓展】（3）如图2，在四边形纸片中，，．把该纸片折叠，得到了一个无缝隙、无重合的正方形，使所得正方形四个顶点和至少有一条边都在原图边上，直接写出此时的长． ▌知识点05：动态几何问题的解题策略 1. 审题：明确运动对象、运动路径、速度、时间； 2. 画图：画出起始状态和某一时刻的状态图； 3. 设元：通常设运动时间为t（单位：秒），或设某线段长为x； 4. 表示：用t或x表示其他相关线段； 5. 列方程：根据面积、勾股定理、折叠对称性等等量关系列出方程； 6. 求解：用适当方法解一元二次方程； 7. 检验：检查解是否符合题意（时间非负、点在线段上、长度合理等）； 8. 作答。 17．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1．5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 18．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 19．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 20．（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． ▌知识点06：动态几何问题中的验根 解一元二次方程得到的根，必须结合实际问题进行检验： 1. 时间t必须大于等于0，且通常t有最大值（如点到达终点）； 2. 表示长度的代数式必须为正，如PC＝6－t＞0，则t＜6； 3. 折叠问题中，折痕位置必须使对应点落在线段上，不能落在线段延长线上； 4. 若解出两个根，可能都符合，也可能一个符合一个不符合，需逐一判断。 不合题意的根应舍去，只保留符合实际意义的根。 21．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 23．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 24．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在矩形中，．点从点出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接． (1)点运动到点时，___________；当点运动到点时，的长度为___________． (2)用含的代数式表示的长． (3)当的面积为9时，求的值． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．几秒后，的面积为（　　） A．4 B．3 C．4或5 D．3或4 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 二、填空题 5．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 7．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为______时的面积为． 8．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F运动的时间是t秒（） (1)当t为何值时，是等腰三角形？ (2)当F为边的中点时，求此时的长度． (3)是否存在某一时刻t，使点D在线段的垂直平分线上？若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使的面积是矩形面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． / 学科网（北京）股份有限公司 $