25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦韦达定理的推导与应用，通过数学家韦达生平介绍及励志语句导入，第一课时从定理推出到求代数式值，第二课时深化至参数取值与根的符号问题，构建递进式学习支架。 其亮点在于例题分层设计，结合推理能力与运算能力，如通过(x₁+2)(x₂+2)等代数式变形培养推理，问题研讨中结合判别式求参数体现模型意识。采用讲练结合法，学生能提升解题与探究能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

致亲爱的同学们： 1、人生像一只风筝，只有努力向上飞的那只， 才能成为天之骄子。 2、江河有流尽之时，毅力无倒塌之日。 弗朗索瓦·韦达,1540年－1603年， 法国数学家，十六世纪最有影响的数 学家之一,被尊称为“代数学之父”. 他发现了一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0(a≠0) “两根的和”、 “两根的积”与系数a、b、c之间的关系. 我们把这个定理叫做“韦达定理”. 25.2.4 韦达定理（1） 张磊 学习目标 1、理解“韦达定理”的推出. 2、能利用“韦达定理”解决“求代数式的值”的问题. 3、培养自己思考、探究能力. 思考与归纳 1、利用所学知识，填空. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在有实数根的前提下： ①x＝ (即:x1＝ ，x2＝ )； ②x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 2、由此可以得出： 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)在有实数根的前提下， x1＋x2＝ ，x1x2＝ . （韦达定理） 3、利用“韦达定理”可以不解一元二次方程，快速算出其 “两根之和”与“两根之积”的值！ 例题讲析 1、不解方程，求下列方程两根的和与积. ① x2-6x-15=0 ② 5x-1=4x2 解： a＝ ，b＝ ，c＝ 1 －6 －15 x1+x2= = - 1 -6 = 6 x1x2= = 1 -15 = -15 解： 4x2-5x+1=0 原方程可化为： a＝ ，b＝ ，c＝ 4 －5 1 x1+x2= = - 4 -5 x1x2= = 4 1 = 2、若一元二次方程x²-mx-12＝0，有一根为3，则另一根为____, m的值为______. -4 -1 3、已知x1、x2是方程x2-x-1=0的两根，求下列各式的值： ①(x1+2)(x2＋2) ② ③x12+x22 ④ 例题讲析 解： x1+x2= = - 1 -1 = 1 x1x2= = 1 -1 = -1 ①(x1＋2)(x2＋2) x1x2 ＋2x1 ＋2x2 ＋4 ＝ ＝ x1x2 ＋ 2 ( x1 ＋ x2 ) ＋ 4 ＝ －1 ＋ 2 × 1 ＋ 4 ＝ －1 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 5 ② ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ -1 ③x12+x22 ＝ (x1+x2)2 －2x1x2 ＝ 1² － 2 ＝ 1 × (-1) ＋ 2 ＝ 3 ④ a＝ ，b＝ ，c＝ 1 -1 -1 练习与展示 1、已知x1、x2是一元二次方程 2x²－4x＋1＝0 的两根， 则 的值为________； 的值为________. 2、已知关于x的一元二次方程x²－2x－m²＝0. ①求证：方程总有两个不等的实数根； ②若方程的两个实数根a、β满足a＋2β＝5，求m的值. 3、“降次”是解一元二次方程的核心思想方法，请利用 此种思想方法解题： 若m、n是一元二次方程x²＋x－5＝0的两个实数根， 则m³－6n²＋40＝_______. -1 课堂小结 你对本节课所学的内容存在疑问吗？ 致亲爱的同学们： 学习是一条漫长的路，要有坚韧不拔的毅力和勇气， 不断追求卓越和进步。 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)在有实数根的前提下， x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 知识回顾 韦达定理： 25.2.4 韦达定理（2） 张磊 学习目标 1、理解“韦达定理”的应用； 2、能利用“韦达定理”解决计算求值、求参数取值范围的问题； 3、培养自己思考、探究能力. 问题1：关于x的一元二次方程x²＋2(k-1)x＋k²-k＝0的两个 实数根m、n满足m²＋n²＝12，求k的值. 问题研讨 解： a＝ ,b＝ ,c＝ 1 2(k－1) k²－k △ ＝ b²－4ac ＝ 2(k－1) ² [ ] － 4 · 1 · k²－k ( ) ＝ －4k＋4 由题意得： －4k＋4 ≥ 0 解得： k≤1 ∵m²＋n²＝12 ∴(m＋n)²－2mn＝12 ∵ m＋n＝ ＝ － 1 2(k－1) ＝ －2k ＋ 2 mn＝ ＝ 1 k²－k ＝ k²－k ∴ ( －2k＋2 ) ² － 2 ( k²－k ) ＝ 12 解得： k1＝4 ，k1＝－1 （舍去） ∴ k＝－1 问题2：若关于x的一元二次方程x²＋2x－2m－1＝0的两根同号， 则实数m的取值范围是______________. 变式：若关于x的一元二次方程x²＋2x－2m－1＝0的两根异号， 则实数m的取值范围是______________. 问题研讨 ①首先方程要有两个实数根； ②然后两个实数根同号； △ ≥ 0 x1x2 ＞ 0 知识归纳 关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0） ①两根同时为正 ⇔ △___0，x1x2___0，x1＋x2___0 ③两根同号 ⇔ △___0，x1x2____0 ⑤两根异号，且正根的绝对值大于负根的绝对值 ⇔ △___0，x1x2____0，x1＋x2____0 ⑥两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值 ⇔ △___0，x1x2____0，x1＋x2____0 ②两根同时为负 ⇔ △___0，x1x2___0，x1＋x2___0 ≥ ＞ ＞ ≥ ＞ ＜ ≥ ＞ ④两根异号 ⇔ △___0，x1x2____0 ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ 1、已知关于x的一元二次方程x²＋(2m＋1)x＋m²-2＝0， 的两个实数根x1、x2满足(x1-x2)²＋m²＝21，求m的值. 对应练习 2、已知关于x的一元二次方程x²－(m－3)x－2m＝0 ． ①求证：方程总有两个不等的实数根； ②若该方程的两根异号,且负根的绝对值较大,求整数m的值． 课堂小结 你对本节课所学的内容存在疑问吗？ 1、已知x1、x2是方程x2-x-3=0的两根，求下列各式的值： ①(x1-1)(x2-2) ② ③x12+x22 ④ 作业 3、关于x的方程x²＋bx＋2＝0有两个不等的实数根x1、x2， 求证：x1²＋x2²＞4. 2、已知关于x的一元二次方程x²＋(2m+3)x＋m²＝0 有两个实数根a、β，若 ，求m的值. 4、①已知m、n是一元二次方程x²-x-3＝0的两个实数根， 则m²＋2n²＋m的值为______. ②若关于x的一元二次方程x²＋2x＋a＝0的两根同号， 则实数m的取值范围是_____________. ③若关于x的一元二次方程x²＋2x＋a＝0的两根异号， 则实数m的取值范围是_____________. $