角度问题 练习-2027届高三数学一轮复习圆锥曲线的专题复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线角度问题，以5道典例系统提炼方程求解、角度证明、范围探究的通性通法，通过“概念生成-方法提炼-应用拓展”逻辑链培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程求解|3题|待定系数法（离心率、过点列方程）|椭圆/抛物线定义→基本量关系→方程构建| |角度证明|2题|斜率关系法（倾斜角互补、斜率之和为0）|直线与曲线交点→韦达定理→斜率运算→角度关系| |范围与存在性|2题|代数法（判别式、不等式、函数值域）|几何条件转化→代数表达式→参数范围确定|

角度问题 一、解答题 1．已知椭圆经过点，且离心率为，过椭圆右焦点为，的直线与E交于两点，点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，证明：. 2．已知椭圆：的离心率为，点和点 都在椭圆上，直线交轴于点． （Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）； （Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得 ？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 3．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点且倾斜角为钝角，为弦的中点，当最大时，求直线的方程. 4．已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. (1)求的方程； (2)过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向， （ⅰ）若，求直线的斜率， （ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 5．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 角度问题参考答案 1．(1) (2) 当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以， 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， 则，直线、的斜率之和为， 由，可得， 联立方程组，整理得， 所以， 则， 从而，故、的倾斜角互补，所以， 综上可得，. 【分析】(1)根据题意，得到，，结合，求得的值，即可求解； (2)当与轴重合与轴垂直时，得到，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，化简得到，联立方程组，得到所以，得到，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆经过点，且离心率为， 可得，， 又因为，解得， 所以椭圆方程为. （2）略 【点睛】知识方法总结：对于直线与圆锥曲线问题的求解策略： 1.研究直线与圆锥曲线位置关系，一般转化为研究直线方程于圆锥曲线方程组成的方程组解的问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系，结合韦达定理转化为方程的性质，进行求解； 2.对于直线与圆锥曲线的客观题解答时，注意图形的几何性质的应用，利用数形结合法求解，有时更加方便； 3.合理应用“设而不求”法，在“设而不求”的技巧中，要注意运算的合理性，目的性，同时合理应用根与系数的关系、中点坐标公式，向量平行与垂直关系等，使得思路更加清晰，运算得以简化，从而迅速地解决问题. 2．（Ⅰ），；（Ⅱ）存在点． 【详解】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，，，椭圆的方程为. ,直线的方程为：，令，； （Ⅱ），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则. 设 , , , 则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得. 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 3．（1）；（2） 【分析】（1）由题意列方程组可得，，据此可得椭圆方程； （2）设，直线的方程为：，联立直线方程与椭圆方程可得，结合向量知识可得 ，由等号成立的条件可得直线方程. 【详解】（1）由题意：，∴，，∴椭圆的标准方程为：； （2）设，直线的方程为：， 联立方程可得：，∴， 取的方向向量为，取的方向向量为， ∴ ， 当且仅当，即：时取等号，此时最大， 直线的方程为：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 4．(1) (2)（i）， （ii）由得，∴在点处的切线方程为，即 ，令，得，即，∴， 而， 于是， 因此是锐角，从而是钝角， 故直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 【分析】（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解； （2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证 【详解】（1）由：知其焦点的坐标为， ∵也是椭圆的一焦点， ∴ ①， 又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为， 由此易知与的公共点的坐标为， ∴②， 联立①，②，得，， 故的方程为； （2）如图，，，，， （i）∵与同向，且，∴， 从而，即， 于是③， 设直线的斜率为，则的方程为， 由，得， 而，是这个方程的两根，∴，④， 由得， 而，是这个方程的两根，∴，⑤， 将④⑤代入③，得，即， ∴，解得，即直线的斜率为.    （ii）略 【点睛】 5．(1) 椭圆方程为;(2) 直线l的斜率的取值范围为. 【详解】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为. （Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为. 设，由方程组，消去，整理得. 解得，或，由题意得，从而. 由（Ⅰ）知，，设，有，. 由，得，所以，解得. 因此直线的方程为. 设，由方程组消去，解得. 在中，，即， 化简得，即，解得或. 所以，直线的斜率的取值范围为. 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $