广东汕头市潮阳区中寨中学2025-2026学年九年级上学期选拔考试卷 数 学

**基本信息** 以文化传承与社会热点为情境，如二十四节气图形判断、全运会安检概率等，融合几何直观、运算能力与数据意识，适配初中数学月考选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、随机事件、抛物线顶点等|结合非遗文化（题1）、全运会（题6）考查基础概念| |填空题|5/15|一元二次方程求解、原点对称、无理数概率等|题15以坐标中点最值体现空间观念| |解答题|8/75|圆的切线证明、统计图表分析、利润模型、抛物线综合等|20题莲藕定价问题培养模型意识，21题正方形旋转探究发展推理能力，23题抛物线与几何综合提升创新思维|

2025~2026学年度第一学期选拔考试 数 学（参考答案） （本参考答案共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A B A B C D C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. x1＝0，x2＝1　 12. 　9 　 13. 　　 14. 　2 　 15. 21　 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解：（x﹣1）（x﹣5）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝1，x2＝5． 17.（1）AC．故答案为： ； 解：（2）如图，△A1B1C1和△A2B1C2即为所求； （3）线段AB在整个运动过程中扫过的面积＝1． 18. （1）证明：如图，连接OD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∵DE⊥BC， ∴∠EBD+∠EDB＝90°， ∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝4，， ∴AB8， ∴ADAB， ∴∠ABD＝30°， ∴∠BDO＝∠ABD＝∠DBC＝30°，∠A＝60°， ∴∠BDC＝30°，∠AOD＝60°， ∴的长为； ∴CD＝BC， ∵∠E＝90°， ∴DE， ∴BE6， ∵∠DCE＝∠CDB+∠CBD＝60°， ∴∠CDE＝30°， ∴CE， ∴CE2． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 解：（1）总人数为：150÷30%＝500人，“D”等级所占圆心角为， 故答案为：500，36°； （2）“B”等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200人， “B”等级所占百分比为：， ∴m＝40， 故答案为：40； 解：（2）如图所示： （3）此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果， 其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）， ∵，故此规则不合理． 20. 解：【任务一】由题意，∵售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个， 又涨价2元/个， ∴平均每天销售数量为：120﹣2×5＝110（个）． 又售价每下降1元/个，每天可多卖出10个， ∴当降价x元/个时，平均每天销售数量为：（120+x×10）＝（120+10x）个． 故答案为：110；（120+10x）． 【任务二】由题意，设涨价y元/份，则（25﹣5+y）（120﹣5y）＝2415， ∴y2﹣4y+3＝0．∴y1＝1，y2＝3． ∴该餐饮店将售价上涨1元/份或3元/份时，才能使每天的利润达到2415元． 【任务三】由题意，可采取降价促销．设售价下降x元/份，每天的利润为W元， ∵尽快减少库存，∴采取降价促销． ∴每天的利润W＝（25﹣5﹣x）（120+10x）＝﹣10x2+80x+2400＝﹣10（x﹣4）2+2560． ∴将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 21. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点， ∴CGFD， 同理，在Rt△DEF中， EGFD， ∴CG＝EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG， ∴△DAG≌△DCG（SAS）， ∴AG＝CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG， ∴△DMG≌△FNG（ASA）， ∴MG＝NG； ∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°， ∴四边形AENM是矩形， 在矩形AENM中，AM＝EN， 在△AMG与△ENG中， ∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG， ∴△AMG≌△ENG（SAS）， ∴AG＝EG， ∴EG＝CG． 证法二：延长CG至M，使MG＝CG， 连接MF，ME，EC， 在△DCG与△FMG中， ∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG， ∴△DCG≌△FMG． ∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG， ∴MF∥CD∥AB， ∴EF⊥MF． 在Rt△MFE与Rt△CBE中， ∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE， ∴△MFE≌△CBE ∴∠MEF＝∠CEB． ∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°， ∴△MEC为直角三角形． ∵MG＝CG， ∴EGMC， ∴EG＝CG． （3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下： 过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N． 由于G为FD中点， ∵∠GCD＝∠GMF，∠CGD＝∠MGF，GF＝GD， ∴△CDG≌△MFG（AAS）， ∴CD＝FM， 又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC， ∴△EFM≌△EBC（SAS）， ∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC ∵∠FEC+∠BEC＝90°，∴∠FEC+∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°， ∴△MEC是等腰直角三角形， ∵G为CM中点， ∴EG＝CG，EG⊥CG． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. （1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；故答案为：AC； 解：（2）如图所示． 证明：∵点P为AC中点， ∴PA＝PCAC． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴BP＝DPAC， ∴PA＝PB＝PC＝PD， ∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上； （3）∵菱形ACEF， ∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD， ∴四边形ABCD为损矩形， ∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴， ∴AD＝CD， ∴四边形ACEF为正方形． ∵BD平分∠ABC，BD， ∴点D到AB、BC的距离h为4， ∴S△ABDAB×h＝2AB＝6， S△ABCAB×BCBC， S△BDCBC×h＝2BC，S△ACDS正方形ACEFAC2（BC2+9）， ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD ∴BC（BC2+9）＝6+2BC ∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去）， ∴BC＝5． 23. 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过三点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得，﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+2x+3； （2）∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∵PF⊥x轴， ∴PF∥y轴， ∴∠PED＝∠BCO＝45°， 又∵PD⊥BC， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴PDPE，即PE越大，PD越大， 设直线BC的解析式为y＝kx+t，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设P（p，﹣p2+2p+3），则E（p，﹣p+3）， ∴PE＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p， ∴PD（﹣p2+3p）（p）2， ∵0， ∴当p时，PD的值最大，PD的最大值为，此时，点P的坐标为（，）； （3）当点M在x轴上方时，延长CM交x轴于点E，则∠ECO＝∠BCM+∠BCO＝15°+45°＝60°， ∴∠CEO＝90°﹣60°＝30°， ∴CE＝2OC＝6， ∴OE3， ∴E（3，0）， 设CE的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0， 解得：k， ∴CE的解析式为yx+3， 与抛物线解析式联立得：x+3＝﹣x2+2x+3， 解得：x1＝0（舍去），x2， ∴M1的横坐标为； 当点M在x轴下方时，设CM交x轴于点D，则∠DCO＝∠BCO﹣∠BCM＝45°+15°＝30°， ∴CD＝2OD， ∵CD2﹣OD2＝OC2， ∴（2OD）2﹣OD2＝32， ∴OD， ∴D（，0）， 同理可得，CD的解析式为yx+3， 与抛物线解析式联立得：x+3＝﹣x2+2x+3， 解得：x1＝0（舍去），x2＝2， ∴M2的横坐标为2； 综上所述，点M的横坐标为或2． 数学试题 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期选拔考试卷 数 学 （本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A B C D 2．“翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是（　　） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定事件 3．抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，1） D．（2，1） 4．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　） A．a＞﹣1且a≠0 B．a＞1且a≠0 C．a＞﹣2且a≠0 D．a＞1 5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合）， 则∠CPD的度数为（　　） A．72° B．36° C．70° D．30° 题5图 题7图 6．第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（　　） A． B． C． D．1 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，将△ABC绕顶点A顺时针旋转，得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则旋转角的大小是（　　） A．51° B．52° C．53° D．54° 8．新能源汽车已逐渐成为人们喜爱的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商7月份至9月份统计，该品牌新能源汽车7月份销售1000辆，9月份销售1690辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1690（1﹣x）2＝1000 B．1000（1+2x）＝1690 C．1000（1+x）2＝1690 D．1000（1+x+2x）＝1690 9．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的大致图象可能是（　　） A B C D 10．如右图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（　　） A．π+2 B．π C．π+4 D．π 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．方程x2＝x的根是　 　． 12．已知点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，则ab的值为　 　． 13．从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是　 　． 14．如图，二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝　 　． 题14图 题15图 15．如图，点A、B的坐标分别为A（0，4）、B（4，0），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）解方程：x2﹣6x+5＝0． 17．（7分）在下列三角形网格图中，每个小正三角形的边长均为1个单位．格点△ABC 的位置如图所示． （1）线段AC的长是　 ； （2）将△ABC向右平移1单位长度得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转60°得到△A2B1C2，请在网格中画出△A1B1C1和△A2B1C2； （3）求线段AB在整个运动过程中扫过的面积． 18．（7分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，，求和CE的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． （1）该校九年级共有　 　 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为　 　； （2）m的值为　 　，请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 20．（9分）利用以下素材解决问题． 莲藕定价问题 素材1 2025年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达2.33米、9节9孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光．每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为5元/份，当售价为25元/份时，平均每天可以卖出120份． 素材2 经市场调研发现：售价每上涨1元/份，每天要少卖出5份；售价每下降1元/份，每天可多卖出10份． 任务1 若涨价2元/份，则平均每天的销售量为　 　份；若设降价x元/份，则平均每天的销售量为　 　份（用含x的代数式表示）． 任务2 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到2415元？ 任务3 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 21．（9分）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG＝CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．（13分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　 　． （2）在图1的线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并证明损矩形ABCD的四个顶点在同一个圆上．（友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．） （3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD，求BC的长． 23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过三点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线BC于点E，作PD⊥BC于点D，当动点P在什么位置时，线段PD的长最大，求线段PD的最大值，并求此时P点的坐标； （3）抛物线上一点M，当∠BCM＝15°时，请直接写出点M的横坐标． 数学试题 第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $密 封 班级： 内 姓 2025~2026学年度第一学期选拔考试答题卷 名： 答 座号： 数学 (本答题卷共2页，23小题，满分120分.考试用时120分钟.) 题号 三 四 五 17 22 总分 16 18 19 20 21 23 得分 四、 19. 一、 选择题：本大题共10小题， 每小题3分，共30分. 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 12. 13. 14. 15. 20. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分， 共21分. 16. 17.(1) 21. 18. D A B 1页 解答题（二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分. (1) 九年级竞赛成绩条形统计图 (2) ↑人数 300 250 200 1504 1 50l 0 A B 等级 A G 内 B 图0 A D G 共2页 E A D G E◇ 分 C 图的 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22.（1) D B C 图1 F E p B C 图2 蚁学试题 23. V P 密封线内不得答 A F B 备用图 第2页共2页