5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数的平方关系与商数关系，通过单位圆定义情境导入，由x²+y²=1推导平方关系，衔接三角函数定义，为三角恒等变形构建基础学习支架。 其亮点在于以情境引入培养数学眼光，从单位圆发现数量关系，例题分层设计（如例2符号讨论）发展数学思维中的推理能力，方法总结提炼“知一求二”步骤规范数学语言表达。学生能掌握符号判断等关键技能，教师可利用丰富例题和拓展题提升教学效率。

同角三角函数的基本关系 5.2.2 同角三角函数的基本关系 · 新授课 人教A版 必修第一册 · 第五章 三角函数 平方关系与商数关系，知一求二。 封面。 学习目标 第 2 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1. 掌握同角三角函数的两个基本关系； 2. 会已知一个三角函数值求其他值； 3. 会利用关系化简和证明三角式； 4. 注意象限符号的取舍。 学习目标。 情境引入 第 3 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 情境 由单位圆定义，sin α 和 cos α 之间有什么联系？ 单位圆上 +=1。 代入 sin α=y，cos α=x，得到平方关系。 情境引入。 平方关系 第 4 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 siα + coα = 1 即同一个角 α 的正弦平方与余弦平方之和等于 1。 对任意角 α 都成立。 平方关系。 商数关系 第 5 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 tan α = 即同一个角 α 的正弦与余弦的商等于正切。 要求 cos α ≠ 0（α ≠ π/2 + kπ）。 商数关系。 例 1 · 知一求二 第 6 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 例 1 已知 sin α = 3/5，且 α 是第二象限角，求 cos α、tan α。 分析：coα = 1 − 9/25 = 16/25。 第二象限 cos<0，cos α = −4/5；tan α = sin/cos = −3/4。 答案：cos α = −4/5，tan α = −3/4。 例1。 例 2 · 符号讨论 第 7 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 例 2 已知 cos α = −3/5，求 sin α、tan α。 分析：cos<0 在第二、三象限。 第二象限 sin=4/5，tan=−4/3；第三象限 sin=−4/5，tan=4/3。 答案：第二象限 sin=4/5,tan=−4/3；第三象限 sin=−4/5,tan=4/3。 例2。 例 3 · 化简 第 8 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 例 3 化简 √(1−siα)，α 为第二象限角。 分析：1−siα = coα。 √(coα) = |cos α|，第二象限 cos<0。 答案：−cos α。 例3。 例 4 · 证明 第 9 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 例 4 求证：(sin α + cos α = 1 + 2sin α cos α。 分析：左边展开。 左边 = siα + 2sinαcosα + coα = 1 + 2sinαcosα。 答案：等式成立。 例4。 练习 1 第 10 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 练习 1 siα + coα = ？ 分析：平方关系。 答案：1。 练习1。 练习 2 第 11 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 练习 2 tan α = 2，求 sin α cos α。 分析：sinαcosα = sinαcosα/(siα+coα) = tanα/(taα+1)。 = 2/5。 答案：2/5。 练习2。 练习 3 第 12 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 练习 3 sin α = 1/3，α 为第一象限角，cos α = ？ 分析：coα = 1 − 1/9 = 8/9。 第一象限 cos>0，cos α = 2√2/3。 答案：2√2/3。 练习3。 练习 4 第 13 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 练习 4 化简 tan α · cos α。 分析：tan α = sin α / cos α。 tan α · cos α = sin α。 答案：sin α。 练习4。 思考 1 第 14 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 思考 已知 tan α，能否唯一确定 sin α？ 分析：tan α 同号对应两个象限。 sin α 正负不确定。 结论：不能，需知象限才能确定符号。 思考1。 思考 2 第 15 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 思考 1 + taα 等于什么？ 分析：1+taα = 1 + si/co = (co+si)/co。 = 1/coα。 结论：1 + taα = 1/coα。 思考2。 拓展 1 第 16 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 拓展 sin α + cos α = 1/5，α ∈ (0, π)，求 sin α cos α。 分析：两边平方。 1 + 2sinαcosα = 1/25，sinαcosα = −12/25。 答案：−12/25。 拓展1。 拓展 2 第 17 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 拓展 已知 tan α = 2，求 。 分析：分子分母同除以 cos α。 = (tanα−1)/(tanα+1) = (2−1)/(2+1) = 1/3。 答案：1/3。 拓展2。 例 5 · 综合 第 18 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 例 5 已知 tan α = −2，求 sin α、cos α。 分析：tan<0 在第二、四象限。 1+ta=5=1/co，|cos|=1/√5；|sin|=2/√5。 答案：第二象限 sin=2√5/5,cos=−√5/5；第四象限 sin=−2√5/5,cos=√5/5。 例5。 练习 5 第 19 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 练习 5 化简 (1 − sin α)(1 + sin α)。 分析：平方差。 = 1 − siα = coα。 答案：coα。 练习5。 拓展 3 第 20 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 拓展 sin α − cos α = √2，α ∈ (0, π)，求 sin α、cos α。 分析：平方得 1−2sinαcosα=2，sinαcosα=−1/2。 解得 sinα=√2/2，cosα=−√2/2。 答案：sin α = √2/2，cos α = −√2/2。 拓展3。 方法总结 第 21 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1. siα + coα = 1（平方关系）。 2. tan α = sin α / cos α（商数关系）。 3. 知一求二：先平方定大小，再定象限定符号。 4. 化简证明：切化弦、1 的代换。 方法总结。 课堂小结 第 22 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 今天学了同角三角函数两个基本关系。 关键：平方关系、商数关系、符号判断。 这是三角恒等变形的基础。 小结。 课后作业 第 23 页 人教A版 必修第一册 · 5.2.2 同角三角函数的基本关系 教材 P184 练习：第 1、2、3 题； 习题 5.2 第 4、5、6 题； 练习：sinα+cosα、sinα−cosα、sinαcosα 三者知一求二。 作业。 谢谢聆听 5.2.2 同角三角函数的基本关系 结束。 $