5.2.2同角三角函数的基本关系课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数的基本关系，核心内容为平方关系（sin²α + cos²α = 1）与商数关系（tanα = sinα/cosα），通过课前回顾三角函数值象限符号规律，搭建从定义到符号判断再到基本关系的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以单位圆定义为起点推导公式，体现数学眼光，通过分类讨论（如未指定象限需分情况求解）、公式联用（如“知一求二”推导）培养数学思维，课堂小结汇总变形公式助力数学语言表达。实例中例1指定象限求函数值，变式训练2结合符号条件化简，帮助学生掌握解题策略，教师可直接用于教学提升效率。

人教A版 · 高中数学必修第一册 5.2.2同角三角函数的基本关系 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 同学们好，今天我们来学习人教A版高中数学必修第一册第五章第5.2.2节——同角三角函数的基本关系。这一节是三角函数学习中的一个重要里程碑，掌握了这两个基本关系式，大家就拥有了解决大量三角函数求值和化简问题的核心工具。 1 任意角三角函数的定义 01 设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则 sinα = y，cosα = x，tanα = y/x（x ≠ 0） 02 单位圆的方程为 x² + y² = 1，这意味着 sin²α + cos²α 天然满足一个确定的等量关系 03 三角函数的符号由角α终边所在象限决定：一象限全正，二象限正弦正，三象限正切正，四象限余弦正 课前回顾 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 大家回忆一下，我们在上节课引入了单位圆的概念。设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么sinα就等于y，cosα就等于x，tanα等于y除以x，这里x不能等于零。这三个定义告诉我们一个非常重要的事实：同一个角的正弦值就是终边与单位圆交点的纵坐标，余弦值就是横坐标。这个几何直观，就是我们今天要推导公式的关键钥匙。 2 三角函数值的象限符号规律 三角函数值的正负由终边所在象限决定，这一规律是后续利用平方关系开方时判断符号的唯一依据，必须牢固掌握。 第一象限 sin α > 0 cos α > 0 tan α > 0 三个函数值均为正值 一全正 第二象限 sin α > 0 cos α < 0 tan α < 0 仅正弦为正 二正弦 第三象限 sin α < 0 cos α < 0 tan α > 0 仅正切为正 三正切 第四象限 sin α < 0 cos α > 0 tan α < 0 仅余弦为正 四余弦 课前回顾 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 在推导公式之前，我们必须熟练掌握三角函数在各个象限的符号。这一点非常重要，因为后面我们用到平方关系式开方的时候，到底取正还是取负，完全取决于角所在的象限。大家记住口诀'一全正、二正弦、三正切、四余弦'，就能快速判断。 3 1.理解同角三角函数的基本关系的推导过程； 2.掌握同角三角函数的基本关系式； 3.能利用同角三角函数的基本关系进行求解相关题型. 学习目标 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 平方关系：sin²α + cos²α = 1 由单位圆方程 x² + y² = 1 代入三角函数定义直接得到平方关系式，它揭示了同一角的正弦与余弦之间不可分割的内在约束，是同角三角函数关系的第一基石。 01、推导过程 点 P(x, y) 在单位圆上 → x² + y² = 1 → 代入 sinα = y, cosα = x → sin²α + cos²α =1 单位圆代入 02、适用范围 对任意角 α 均成立，无论 α 在哪个象限、是否为特殊角，此等式恒成立 ∀α 恒成立 教师点拨 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 我们先来推导第一个基本关系式——平方关系。大家想一想，点P(x,y)在单位圆上，所以它一定满足单位圆的方程x²加y²等于1。而我们已知sinα等于y，cosα等于x，把x和y替换进去，就得到了sin²α加cos²α等于1。这个推导虽然只有两步，但揭示了一个深刻的本质：三角函数之间并非各自独立，它们被单位圆的几何性质紧紧联系在一起。 5 03、常用变形 sin²α = 1 − cos²α，cos²α = 1 − sin²α，实现正弦与余弦之间的相互转化 正余互化 04、几何本质 单位圆上任意一点到原点的距离恒为 1，平方关系正是这一几何事实的代数表达 距离 = 1 教师点拨 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 商数关系：tanα = 由三角函数定义直接得出tanα = ，它将正切与正弦、余弦统一在一个等式中，是三角函数互化的核心桥梁，使用时须注意 cosα ≠ 0 的前提条件。 推导过程 tanα = = ÷ = 直接从坐标定义得出 坐标定义 成立条件 cosα ≠ 0，即 α ≠ + kπ（k 为整数），在终边位于 y 轴时此式无意义 cosα ≠ 0 常用变形 sinα = tanα · cosα，cosα = sinα / tanα（tanα ≠ 0），可灵活实现三者互化 三者互化 与平方关系联用 将 sinα = tanα · cosα 代入 sin²α + cos²α = 1，可推导出含 tanα 的新等式 sin²α + cos²α = 1 教师点拨 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 接下来我们推导第二个基本关系式——商数关系。根据定义，tanα等于y除以x，而sinα等于y，cosα等于x，所以tanα自然等于sinα除以cosα。这个关系式看起来非常简单，但它的作用非常大——它把正切、正弦、余弦三者串联在了一起。需要注意的是，这个公式成立的前提是cosα不等于零，也就是说α不能等于π/2加kπ。 7 基本关系的联用与拓展推导 将平方关系与商数关系联立，可推导出 等重要变形， 实现"知一求二"——仅凭一个三角函数值就能求出同角的其余三角函数值。 1、联立推导 — 将 sinα = tanα · cosα 代入 sin²α + cos²α = 1 cos²α · (1 + tan²α) = 1 ⟹ cos²α = cos²α = 教师点拨 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 现在我们来看两个公式联用能产生什么。把商数关系sinα等于tanα乘以cosα代入平方关系，得到tan²α乘以cos²α加cos²α等于1，提取公因式得到cos²α乘以括号1加tan²α等于1。由此我们可以推出cos²α等于1除以括号1加tan²α。这个结论非常实用，它告诉我们：只要知道tanα的值，就能直接求出cos²α，进而求出sinα。 8 2、对称结论 — 同理可得 sin²α 的对应表达式 , 实现仅知 tanα 即可求出 sin²α 和 cos²α sin²α = — "知一求二" 基本关系的联用与拓展推导 教师点拨 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 题型一：已知一个三角函数值求其余值 “知一求二”是同角关系最基础的应用题型。核心策略是先利用平方关系或商数关系建立方程，再根据象限条件确定符号——若题目未指定象限，必须分类讨论。 类型1、指定象限 例1、已知sin α = , α ∈ (, π) 求解过程： 由 sin²α + cos²α = 1 得 cos²α = 因 α 在第二象限，cosα < 0 结论 cos α =- tan α = - 小组互助 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 第一类题型是'知一求二'。例1，已知sinα等于5分之13，且α在第二象限，求cosα和tanα。解题思路很直接：先用平方关系求cos²α等于1减去25分之169，不对，1减去169分之25，等于169分之144，开方得cosα等于正负13分之12。因为α在第二象限，cosα为负，所以cosα等于负13分之12。再用商数关系得tanα等于sinα除以cosα等于负12分之5。例2更难一点，没告诉象限，需要分类讨论：tanα等于2，α可能在第一或第三象限，两种情况都要算出来。 10 类型2、未指定象限（需分类讨论） 变式训练1、已知tan α = 2 , 求sin α , cos α的值. 求解过程 cos²α = = 1/5 α 可能在第一或第三象限 分类讨论： 第一象限 cos α = sin α = 第三象限 cos α = sin α = 小组互助 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 题型二：三角函数式的化简 化简题的核心策略是"用公式替换"——将表达式中的某一部分用基本关系式的等价形式替换， 使复杂项相互抵消或合并，最终得到最简结果。 例2：利用商数关系化简 cos²α · tan²α 将 tan²α = 代入，cos²α 与分母约去，结果为 sin²α 遇到 tanα 与 cosα 同时出现时，优先考虑用商数关系将 tanα 转化为 sinα与 cosα 分析： 原式= 小组互助 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 第二类题型是化简。来看例3，化简sin²α加cos²α乘以tan²α。我们把tan²α写成sin²α除以cos²α，代入后得到sin²α加cos²α乘以sin²α除以cos²α，cos²α约掉，就变成了sin²α加sin²α等于2sin²α。不对，让我重新看。应该是括号里提出来，实际上cos²α乘以tan²α等于sin²α，所以整个式子等于sin²α加sin²α，不对。让我仔细看一下——实际上原式应该是sin²α加上cos²α乘以tan²α，化简后cos²α乘以tan²α等于sin²α，所以结果是2sin²α。再看例4，化简括号1减sin²α括号乘以括号1加tan²α括号，1减sin²α等于cos²α，1加tan²α等于1除以cos²α，两者相乘正好等于1。 12 ∵sin α·tan α<0,∴cos α<0. 已知sin α·tan α<0,化简: 解： 小组互助 变式训练2： 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 题型三：三角恒等式的证明 证明三角恒等式的核心策略是"从复杂端向简单端推进"——将较复杂的一侧通过基本关系式逐步变形， 直到与另一侧完全一致。 例3 求证： 左边= =右边 证明： ∴原等式成立. 小组互助 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 第三类题型是证明三角恒等式。例5要证明的等式是tan²α减sin²α等于tan²α乘以sin²α。证明策略是从较复杂的一边出发，向简单的一边靠拢。我们从左边入手：tan²α减sin²α等于sin²α除以cos²α减sin²α，提取公因式sin²α得到sin²α乘以括号1除以cos²α减1括号，括号里等于括号1减cos²α括号除以cos²α，也就是sin²α除以cos²α，等于tan²α。所以左边等于sin²α乘以tan²α等于tan²α乘以sin²α，恰好等于右边，证明完毕。 14 答案:B 随堂练习 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 2.已知 求： 随堂练习 答案： 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 随堂练习 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 核心公式与常用变形汇总 同角三角函数的两个基本关系式及其变形构成了一套完整的互化工具箱，掌握这些变形是灵活运 用公式解决各类三角函数问题的前提。 平方关系及变形 核心公式 sin²α + cos²α = 1 (对任意角恒成立) 变形 ① sin²α = 1 − cos²α (由余弦求正弦) 变形 ② cos²α = 1 − sin²α (由正弦求余弦) 变形 ③ (sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα (关联和与积) 课堂小结 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 我们来总结今天学到的核心公式。第一个是平方关系sin²α加cos²α等于1，它有三个常用变形。第二个是商数关系tanα等于sinα除以cosα，它也有两个常用变形。这些变形不是让你死记硬背的，而是让你在解题时能灵活地正向和逆向使用公式。 18 商数关系及变形 核心公式 tanα = (cosα ≠ 0) 变形 ① sinα = tanα · cosα (用正切和余弦表示正弦) 变形 ② cosα = (tanα ≠ 0，用正弦和正切表示余弦) 课堂小结 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 THINK & PRACTICE 3、求证 课后作业 3、左边= =右边 答案： 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 今天的课就上到这里。给大家留一个思考题作为课后练习：已知sinα加cosα等于5分之1，且α在0到π之间，求tanα的值。提示一下，可以先用括号sinα加cosα括号的平方等于1加2sinαcosα来求出sinαcosα的值，再结合其他条件来解。这道题综合运用了今天的几个核心方法，试试看你能不能做出来。好，下课！ 20 三大核心解题策略 掌握公式只是第一步，真正的能力在于灵活运用。'切化弦''1的代换''方程思想'三大策略覆盖了三类基本题型 的核心解法，是提升解题效率的关键。 策略一：切化弦 遇到含 tanα 的式子，优先用 tanα = 转化为 sin、cos 统一处理，适用于化简与证 明。 tanα → 策略二：1 的代换 利用 sin²α + cos²α = 1 将常数 1 替换为三角函 数表达式，常用于齐次分式求值与化简。 sin²α+cos²α=1 策略三：方程思想 将基本关系式视为关于 sinα、cosα 的方程 组，已知一个量即可解出其余量，注意象限决 定符号取舍。 方程组求解 课后总结 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 除了公式本身，更重要的是解题方法。今天我给大家总结了三个核心策略。第一个是'切化弦'，就是遇到tan就转成sin和cos来处理，这在化简和证明中特别好用。第二个是'1的代换'，任何时候你看到1，都可以把它替换成sin²α加cos²α，这个技巧在很多难题中会起到意想不到的效果。第三个是方程思想，当你知道一个三角函数值的时候，把基本关系式当作方程来解另一个未知量。 21 本节课到此结束 人教A版 · 高中数学必修第一册 · 5.2.2 1.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为(　　) A.- B.- C. D. 3.化简:. 解:原式===1. 1、已知x∈(-π,0),sin x+cos x=,求tan x的值. 2、已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则sin α-cos α=　　　　　.  $